如何应用类比推理思想提升数学素养

张洁

[摘  要] 应用类比推理思想可以将新知直观化和熟悉化，其有利于学生自学能力和实践能力的提升，因此其在高中数学教学中得到了广泛应用. 教学中教师要善于根据知识结构特点，结合学生认知在各教学环节中进行引导和渗透，发挥好类比推理承上启下的作用，进而提升学生的学习效率和学习能力，促进学生综合素养全面发展.

[關键词] 类比推理;教育效率;学习能力

类比推理在高中数学教学中最为常见，因为将两个属性相同或相似的对象进行类比，不仅可以实现巩固知识的目的，而且通过类比推理使知识点间的联系和区别变得更加清晰，有利于新知内化和旧知迁移. 同时，通过类比推理，学生可以利用已有经验或已知规律对新知进行合情推理，虽然推理过程存在一定的主观性，结论也有一定的偶然性，但其对学生思维能力和创新能力的发展发挥着不可替代的作用. 因此，在高中数学教学中，教师要注意启发学生多观察、敢猜想、重联系，充分发挥类比推理的优势，促进学生综合素养全面发展.

[?]类比推理实施的重要性

首先，类比推理有利于学生学习能力提升. 比如教学双曲线时，由于学生有学习椭圆的经验，因此本节内容可引导学生通过类比推理进行自主探究. 椭圆作为圆锥曲线章节的重点内容，因此前面详细讲解了其定义、标准方程、准线方程、切线方程等相关内容，学生对椭圆相关知识点的推理过程已了如指掌. 为了拓宽学生的视野，提升学生的知识运用能力，在双曲线教学时可以学生为主、教师为辅，让学生利用已有的椭圆学习经验通过猜想和类比进行自主探究，这样通过自主探究和师生合作可轻松地理解并掌握新知.

其次，类比推理有利于学生学习效率的提升. 教学中应用类比推理有利于学生获取新知，同时与已有经验或生活实践相类比可以淡化数学的抽象感，降低数学学习的难度，使学生更易于参与新知的推理和验证，这样拓展学生思维的同时也提升了学习效率.

可见，应用类比推理有助于学生学习能力和创新能力的提升，有助于学习质量和学习效率的提高，因此教学中应引起教师足够的重视.

[?]类比推理的应用

在数学教学中应用类比推理有利于实现新知的内化和旧知的拓展，其可以应用于概念教学、公式和定理推导、总结归纳等各个教学环节，因此，在教学的各个环节中，教师都应注意类比思想的渗透，最终实现学生学习能力的提升.

1. 应用于概念教学

高中数学中学生会学习很多概念，这些概念分散于每个章节，虽然各章节有着明显的划分，但概念相互之间存在着一定的联系，若概念讲解中不注重类比，仅从本章节的概念内容出发，忽视概念间的联系，则会使学生概念学习过于分散，不仅难以记忆，而且容易搞混淆. 因此，在概念教学中，教师要重视知识的整体性和系统性，通过类比淡化概念的抽象性，促进完整的知识脉络的建立.

例如，在“二面角”概念教学中，教师先带领学生回忆何为角，类比平面角与二面角，进而理解和掌握“二面角”的定义;然后让学生动手实验，通过观察书本开合的过程理解“二面角”角度的变化. 此过程不仅调动了原有认知方便学生理解，而且联系生活实践使听起来抽象的、复杂的概念通过类比变得简单明了.

2. 应用于公式和定理推导

得到数学公式和定理往往需要经历猜想、试验和推理等过程，其蕴含着丰富的内涵，为了提升学生应用公式和定理的能力，教学中教师要多引导学生关注公式和定理的推理过程.

案例1 等比数列性质的推理.

师：在等差数列{an}中，若p+q=m+n（p，q，m，n∈N*），则a+a=a+a. 这个性质的推理过程大家还记得吗？

生齐声答：记得！

师：很好，这是等差数列的一个重要性质，在解题中有着重要的应用. 试猜想一下，等比数列中是否也存在这样类似的性质呢？会是什么呢？

教师引导学生通过小组合作、收集整理，学生猜想的结果大概有以下几种：

猜想1：在等比数列{an}中，若pq=mn（p，q，m，n∈N*），则apaq=aman.

猜想2：在等比数列{a}中，若p+q=m+n（p，q，m，n∈N*），则apaq=aman.

猜想3：在等比数列{a}中，若p+q=m+n（p，q，m，n∈N*），则a+a=a+a.

猜想4：在等比数列{a}中，若pq=mn（p，q，m，n∈N*），则a+a=a+a.

从猜想的过程可以看出，学生运用的就是类比推理的思路，即将条件和结论进行类比后重新组合，从而得到了上面4种猜想.

师：大家的想法都很好，那么是否所有的猜想都成立呢？（教师引导学生思考等差数列的相关内容，如对称性的证明、通项公式的证明）

生1：“猜想1”是不成立的.

师：请说一下你的思路.

生1：我是用举例法证明的. 若等比数列{a}的前6项分别为1，2，4，8，16，32，取p=1，q=6，m=2，n=3，则有pq=mn，但apaq=32，aman=8，显然apaq=aman不成立.

利用同样的方法，学生又验证了其他3个猜想，发现只有“猜想2”是成立的. 那么“猜想2”是否真的成立呢？虽然学生利用举例法得到“猜想2”是成立的，然其推理过程并不完整，因此教师带领学生利用等比数列通项公式继续进行证明：因为等比数列中apaq=abp+q-2（b为等比数列的公比），aman=abm+n-2（b为等比数列的公比），由于p+q=m+n，则apaq=aman.

在猜想形成和利用通项公式证明的过程中都应用了类比推理，此过程中学生既体验到了合情推理拓展思路的过程，又感受到了演绎推理的严谨;既发散了思维，又提升了推理能力.

3. 应用于问题解决

众所周知，数学解题的过程就是一个合情推理的过程，学生结合已有经验，根据已知和结论的特点，通过观察和猜想找到问题解决的切入点，再通过类比、联想找到问题解决的突破口，最终解决问题.

案例2 設f（x）是定义在R上的函数，且f（x）的图像关于直线x=a和直线x=b对称（a>b），问f（x）是否为周期函数？

题目解析：根据“f（x）的图像关于直线x=a和直线x=b对称”容易联想到函数y=sinx，进而类比f（x）与y=sinx. y=sinx有两条对称轴，即x=和x=-，周期为2π，恰好是-

-

的2倍. 结合类比结果提出猜想：函数f（x）是周期函数，且周期为2（a-b）. 猜想得出后，需要进行推理验证：由于函数f（x）关于x=a对称，则f（x）=f（2a-x）;又函数f（x）关于x=b对称，则f（x）=f（2b-x）. 故f（2b-x）=f（2a-（2b-x））=f（2a-2b+x），所以f（x）=f（2b-x）=f（2a-2b+x）. 故函数f（x）是以2（a-b）为周期的周期函数.

可见，通过类比推理可找到问题解决的新思路，发现新结论. 面对一些抽象的数学问题时，要鼓励学生善于联想与之相关的知识内容，通过大胆猜想先得到新结论，再将抽象的问题具体化后经过逻辑推理证明和验证结论. 这样既可以发散学生的思维，拓展学生的眼界，又可以提升学生的综合知识应用能力，这对学生学习能力的提升有着积极的推动作用.

4. 应用于知识拓展

数学解题能力主要考查的就是学生的综合知识应用能力，谈到综合应用就需要明确各知识点之间的联系，只有知识体系更加系统化和全面化，学生解题时才能根据题目的特点捕捉和提取有用的信息，根据已有经验重组知识，找到解题的突破口，高效解决问题. 为了让学生更加明晰知识点之间的区别和联系，在日常教学中，尤其在复习阶段要鼓励学生善于通过类比进行知识点的整理和归纳，从而使知识结构更加完整和清晰，提升解题效率.

案例3 在△ABC中，求sinA+sinB+sinC的最大值.

题目解析：本题通过联想试图利用基本不等式直接求解显然很难，但与不等式a+b≥2进行类比却有新的发现.

若α，β∈（0，π），则sinα+sinβ=2sin·cos≤2sin，当且仅α=β时等号成立.

由于sinA+sinB+sinC+sin≤2sin+2sin（当A=B=C及C=时等号成立）;而2sin+2sin≤4sin=2（当A=B=C及C=时等号成立），从而sinA+sinB+sinC≤，即sinA+sinB+sinC的最大值为.

当然，根据基本不等式还可以得出：若α，β∈（0，π），则cosα+cosβ≤2cos;若α，β∈（0，π），则sinαsinβ≤sin2. 若将结论进行类比还可以得出：在△ABC中，cosA+cosB+cosC≤，sinAsinBsinC≤等.

将基本不等式应用于三角不等式中，通过类比可以找到新的解决方法，拓展解题思路，有助于学生解题能力的提升.

可见，新知与旧知相类比可以降低新知的难度，数学知识与生活实践相类比可以淡化数学的抽象感，类似的知识点相类比可以促进知识的迁移和知识体系的完善，类比推理在数学学习中的好处多多. 因此，在高中数学教学的各个环节中，教师要重视类比推理的引导和渗透，进而促进学生的数学能力提升.