从“简单”到“不简单”

卜俊

【摘 要】深度学习是相对于浅层次学习而言的，旨在克服当前教学中的肤浅化、浅层化问题。在实际教学中，由于教师容易将教学的关注点局限于基础知识和基本技能的层面，在理解和处理教材的方式上较为简单，导致学习过程出现浅层化。因此，教师应基于对学科知识和结构的深度理解，让单一的表征丰富起来，让程式化操作生動起来，让刻板的练习灵动起来，从而帮助学生提升思维品质，真正成为学习的主人。

【关键词】小学数学 深度教学 策略探微

郑毓信教授在谈到数学深度教学时指出：“数学教学必须超越具体知识和技能深入思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升。我们还应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习，逐步转变为学会学习。”依据数学深度教学的含义，我们可以看出：“深度教学”的一个重要目标就是帮助学生学会“深度学习”。

因此，数学的深度教学应当避免肤浅化、浅层化，从“简单”到“不简单”，引领学生经历“围绕具有挑战性的学习主题，参与、体验成功、获得发展的有意义的数学学习过程”。

一、数学教学中的“简单”现象举隅

在实际教学中，由于教师对深度学习的理解不够系统与深入，对深度教学的对象和教学内容也没有清晰的认知，很容易出现对教学内容简单处理的现象，使学生学习浅层化。

（一）单一表征：对知识的简单化理解

概念教学是数学教学中的重要内容，对知识理解的简单化体现在概念学习始终停留于直观感知层面。如在苏教版数学二年级下册“认识线段”的教学中，教师常常会首先创设情境：把一根线拉直，让学生指一指并说一说这段线的特征;接着电脑演示，由实物抽象出线段;最后通过丰富的活动如找一找、折一折、用尺子画一画、数一数等帮助学生抽象得出线段的概念。

这种教学方式遵循从感知经表象到概念这一认知顺序，但是在表征方式上却比较单一，只有实物表征。教师没有超越直观深入地去研究如何丰富表征以及研究表征系统内的相互作用，而这就会引发浅层学习。

（二）机械操作：对教材的简单化处理

教材是数学知识与数学思想的浓缩精华，呈现给学生的往往都是高度概括与抽象化的静态知识。如果教师对教材的处理比较简单，学生获得的也只能是静态的知识。

如教学苏教版数学三年级下册“长方形和正方形的面积计算公式”时，教材中有一个探究长方形、正方形面积计算公式的操作过程。教师往往按照教材中提供的步骤进行教学：首先让学生用1平方厘米的正方形任意拼出3个不同的长方形，并把拼成的长方形的长、宽、面积以及它所包含的小正方形的个数填在一张表里，引导学生初步体会长、宽的数量与所需小正方形的个数，以及小正方形的个数与拼成的长方形面积的关系。表面上看，学生动手操作了，但实际上学生只是按照要求拼一拼、写一写，并没有进行实质性的猜想与创造。教师很显然已经把这个操作过程看成一个静态的“结果”进行教学，学生只是充当了数学知识结果的“搬运工”。这也是“浅层学习”的一个重要表现。

（三）“熟”能生巧：对习题设计的简单化定位

习题是学生把知识用于生活实践的桥梁，但是在实际教学中，教师容易偏重习题的知识功能与评价功能而轻视习题的教育功能。在这种简单化的定位之下，教师常常会在课堂教学中设置大量的练习，认为“高强度”的操作性训练是提高成绩的有效途径。

但是，数学学习不能等同于流水线作业，过量的操练会让学生因为疲于完成作业而没有时间进行梳理与反思，无法形成更高的思维与探索能力。为了“记住”结论而重复操练，会使学生感到枯燥无味、望而生畏，创造力和思维能力被遏制，学习停留在浅层次水平。

二、指向“不简单”的数学深度教学策略

作为一线教师，当因简单化处理带来太多碎片化、浅表化的数学教学而感到疲惫无趣时，我们渴望能看到有深度的数学课堂。为了达成促进深度学习的数学教学，从“简单”到“不简单”，需要教师在理解学科知识、教材、学生、教学法知识的基础上，对教学内容进行二度开发。

（一）指向数学知识的深刻理解：让单一的表征丰富起来

在数学学习中，学生如果要深刻理解数学概念，可以借助多元表征来帮助丰富认识，进一步发展有关的数学素养。

例如，教学苏教版数学一年级下册“认识100以内的数”第一课时，教材借助“用小棒摆二十四和二十九”来帮助学生初步感知两位数的组成（见图1），这让学生觉得比较简单。一个环节结束，学生并不能体会到十进制计数法的简洁与美妙。

因此，笔者尝试对这部分内容进行加工：

师：我们还没有学过二十四，你能用学具表示这个数吗？老师给大家准备了三种学具，分别是小棒、方格条和数表，请你选择用不同的方式试一试，并和同伴交流你的表示方法。

请同学上台展示（见图2）。

实物操作表征

符号表征

师：原来记数的方式可以有很多种，请小朋友们仔细观察，这些方法有哪些相同的地方？

生：都用到了两个计数单位，十和一，都有2个十和3个一。

师：下面，老师想请大家用学具摆一摆二十九，你能快速用多种方法表示出来吗？想到几种就用几种，看谁的方法多。

（全班反馈时，让学生看其他同学摆的结果，说说他是怎样表示的）[图像表征]

师：请你比较这些方法，都用到了哪两个计数单位呀？

生：十和一。

师：怎样很清楚地表示出几十几呢？

生：我们只要确定几个十和几个一，就能很清楚地表示出几十几。[语言表征]

师：你还想表示几十几呢？给大家15秒的时间，请你快速地试一试。[情境表征]

在这样的多元表征与交流中，让学生对数的概念有了深入的认识和理解，让学生感受到用计数单位计数的合理性与优越性，有效地发展学生的数感，让“简单”的知识变得生动有趣、有深度。

（二）指向活动过程的深度体验：让程式化操作生动起来

动手操作是解决数学学科的抽象性与学生以具体形象思维为主要认知水平之间矛盾的重要手段。在实际教学中，教师不妨重新审视操作的过程，细化操作层次，通过主动的、有目的的活动，让学生获得全身心投入的深刻体验，真正成为探究过程的主体。

下面以苏教版数学一年级下册“两位数减两位数（退位）”的核心问题“围绕怎样计算50-26展开动手操作”为例，重新梳理操作的三个层次。

1.第一层次：行为操作

行为操作，即根据经验完成行动尝试，如拨一拨、摆一摆、剪一剪、拼一拼等。在学生描述操作过程的时候，教师应当引导学生厘清思路，有条理、尽量保持简洁地把过程描述清楚。具体过程如下：

教师提出操作要求：

（1）怎样用学具表示从50枚里拿走26枚的过程呢？

（2）一人用小棒，一人用计数器，边说边操作。

（学生小组合作完成）

师：谁用小棒来摆一摆？

（学生上台展示）

师：你看清楚他是怎样操作的了吗？为什么这样做呢？

生：把1个十变成10个一，用10去减6。0减6不够减，所以从十位上借。先去掉6根小棒，再去掉2捆小棒，还剩两捆加4根小棒，所以50-26=24。

（教师结合学生反馈辅助板书，见图3）

师：谁能在计数器上拨一拨？

（学生上台展示）

师;你看清楚他是怎样拨珠的了吗？为什么这样拨呢？

生：把1个十变成10个一，用10去减6。0减6不够减，所以从十位上借。个位上先拨走6颗珠，十位上再拨走2颗珠，结果是24。

（教师结合学生反馈辅助板书，见图4）

2.第二层次：表象操作

表象操作，即通过课件呈现引领回忆，根据问题帮助学生理解算理。在这一操作层次中，理解算理的核心即提炼问题，要通过引导让学生更加聚焦核心问题。在反馈的过程中，教师要有问题引领意识与聚焦意识，避免让学生无目的地回答。如此才能通过表象进一步强化算理，让操作过程成为发展思维的支柱。具体过程如下：

师：50-26，个位0-6不够减，该怎么办呢？我们先结合小棒图来说一说。

生：把一捆小棒拆开，变成10根小棒。先从10根小棒中去掉6根小棒，再从剩下的4捆小棒中去掉2捆，结果是24。

师：个位0-6不够减，该怎么办？谁能再结合计数器来说一说呢？

生：把十位上的一颗珠去掉，在个位上拨10颗珠。先在个位去掉6颗珠，再在十位上去掉2颗珠，结果是24。

师：无论是摆小棒还是拨计数器，个位0-6不够减，我们都是怎么处理的呢？

生：退一作十。

3.第三层次：符号操作

符号操作，即根据摆小棒等操作经验自由用符号（在本节课中指的是竖式）来记录过程。由于符号操作其实大多数是人为的约定俗成的方式，以下（见图5）便是中国、美国、英国三个国家对竖式的不同规定。

可以看出：退位点只是人为的约定俗成的方式，所以尽管大部分学生已经知道竖式怎么写，但是教师在这里不能因此就简单处理，而应使教学过程更加开放，关注学生是否理解这样规定的道理。具体过程如下：

师：下面我们头脑中带上小棒或计数器，来看看竖式中是怎么列的。

（教师板书：     50

- 26    ）

生：在十位上画一个点。现在个位上就是10-6=4，十位上是4-2=2。

师：为什么要在十位上画一个点呢？

生：提醒我们注意从十位退一当作十。

师：你的这个办法很好。这个点叫作“退位点”，我们数学中用来表示从这一位退1。

师：其实，退位减法只是一种人为的规定，让我们来看看其他国家在遇到竖式中需要退位是怎样规定的。（展示美国与英国的竖式）请看懂的同学向大家介绍一下。

师：请和同桌说一说，这几种规定有什么共同点。

生：个位不够减，从十位退一。

（三）指向思维品质的深层培养：让刻板的练习灵动起来

“深度教学”强调了数学教育的内在要求：我们必须超越具体知识和技能深入思维的层面，由具体的方法与策略过渡到一般性思维策略的教学与思维品质的提升。而数学习题使学生的思维活动有一定水平的目的性、方向性、确定性和辨别性，是培养学生良好思维品质的重要工具。

在设计习题时，我们应当更多地关注习题背后所蕴含的对于培养学生思维品质的价值所在。教师可以设计运用“概念”“判断”“推理”等基本思维形式展开抽象逻辑思维的练习，让学生经历分析与综合、比较与分类、抽象与概括、具体化与系统化等丰富的思维过程，培养思维的深刻性。如围绕“确定數”与“平均数”两个概念设置判断题：“小芳和小丽的平均体重是35千克，小芳的体重不可能超过35千克。”以此检测学生对“确定数”与“平均数”两个概念理解的深刻性。教师也可以通过设置可逆性习题、策略开放题、变通性习题等培养学生思维的灵活性。如设置以下逆向练习：有五筐梨，每筐质量一样。从每筐中拿走60千克的梨，剩下的梨正好是原来两筐的质量。每筐梨重多少千克？正向的想法是：要求每筐梨有多少千克，必须知道每筐重多少千克，也就是要先求剩下梨的质量。但是剩下的不好求，只知道拿走的梨的质量是可以求的，即60×5=300（千克）。反过来想：剩下的梨是原来两筐的质量，那么拿走的梨便是原来三筐的质量。因此，每筐梨的质量为：300÷3=100（千克）。很多问题，顺着想不易解决，反过来想想，常常很容易找到解决的方法。这道习题就能够很好地通过培养学生思维的可逆性进而发展思维的灵活性。

教师在设计习题时不仅要关注习题的知识功能和评价功能，更要关注习题的教育功能。通过练习培养学生正确的数学观念及良好的数学素养，形成科学的思维方法与合理的思维习惯，提高学生强烈的应用意识、创造能力以及运用数学语言进行交流的能力，从而让学生在灵动的练习中体验深度学习。

“杰出的教学，要求教师对学科知识和结构有深刻的理解。”为达成促进深度学习的数学教学，教师需要科学、准确地把握学科知识，对学生学习数学学科的概念障碍有深刻的认识，对与学生共同交往的有效策略有深刻的理解。之后，在理解数学知识、教材、学生、教学法的基础上，对教学例题进行二度开发，让单一的表征丰富起来，让程式化的操作生动起来，让刻板的练习灵动起来，让学生感受到动态的、火热的、生动的知识，从而吸引学生深度参与，真正成为学习的主人。

【参考文献】

[1]郑毓信.数学深度教学的理论与实践[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.

[2]田慧生.深度学习：走向核心素养（理论普及读本）[M].北京：教育科学出版社，2019.

[3]郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践[J].数学教育学报，2019（5）.