例谈直线系方程的应用技巧

徐东辉

直线系是指具有某种共同特征的直线的集合，表示这个直线系的方程叫做直线系方程，其特点是直线方程中含有一个参数.在解答有关直线的问题时，灵活运用直线系方程，可以起到化难为易、化繁为简的效果.下面主要谈一谈几种常见的直线系方程在解题中的应用.

一、与一条直线平行或垂直的直线系方程

若已知直线l：Ax +By + C =0 ，则与 l 平行的直线系方程为： Ax +By +t =0（ t ≠ C， t 为参数）;与 l 垂直的直线系方程为为： Bx -Ay +t =0（ t 为参数）.在解答平行或者垂直问题时，可引入参数，根据已知的直线方程，设出与其平行或垂直的直线系方程，将其代入题设中，便可快速求得问题的答案.运用直线系方程解题，能避免求直线上点的坐标、斜率、倾斜角等麻烦，有利于提升解题的效率.

例1.已知正方形的中心为 E（-1，0），一条边所在直线的方程为 x +3y -5=0 ，求正方形另外三条边所在直线的方程.

分析：我们知道，正方形的对边平行，邻边互相垂直，可根据已知的一条边的直线方程，用直线系方程表示出正方形的另外三条边，再根据正方形的边到中心的距离相等建立关系式，求得参数的取值，即可求得正方形另外三边所在直线的方程.

解：设 AB 的方程为 x +3y -5=0，

∵AB∥ CD，AD∥BC ，且 AD⊥AB .

∴可设 CD 的方程为x +3y +t =0 ，

AD，BC 的方程为3x -y +λ=0.

∵中心 E（-1，0）到 AD，BC，CD 的距离均为 d ，

且 d =     =

|3×（-1）-y ×0+λ| 6|（-1）+3×0+t| 6

，

解得：λ=9或-3， t =7或-5（-5舍去）.

∴正方形 ABCD 另外三边的方程分别为： x +3y +7=0 ， 3x -y +9=0 ， 3x -y -3=0.

二、过两直线交点的直线系方程

若直线l1：A1x +B1y + C1=0与直线l2：A2x +B2y + C2=0相交，那么过 l1与 l2交点的直线系方程为： A1x +B1y + C1+λ（A2x +B2y + C2）=0（λ为参数）.若遇到经过两条直线交点的直线问题，就可以直接设出过两直线交点的直线系方程，再根据已知条件求得λ的值，进而求得过交点的直线方程.

例2.求过两直线：2x -3y =1与3x +2y =2的交点，且与直线 y +3x =0相平行的直线方程.

解：设所求的直线方程为：2x -3y -1+λ（3x +2y -2）=0 ，即（2+3λ）x +（2λ-3）y -1-2λ=0 ， 因为此直线与直线 y +3x =0平行，所以-= -3，解得λ= ，

将其代入2x -3y -1+λ（3x +2y -2）=0中，可得：39x +13y -25=0 ，

故所求直線的方程为39x +13y -25=0.

先运用直线系方程来表示所求的直线，再根据题意求得参数的值，就能求得直线的方程，该方法能有效地简化运算.对于此类型的题目，还可以采用另一种方法解答，即先求出两直线的交点以及所求直线的斜率，最后根据直线的点斜式方程得出所求的直线方程.

三、过定点的直线系方程

一般地，过定点（x0，y0）的直线系方程为：y -y0= k（x -x0）（k 为参数）.在遇到求过定点的直线方程问题时，首先要对直线系方程的斜率存在性进行分类讨论.当斜率存在时，可直接运用上述直线系方程表示出过定点的直线方程，然后将其代入题设中，求得参数 k 的值，即可求得直线的方程.

例3.求过点 P（a，b），且在 x 轴上的截距为1的直线方程.

解：若所求直线的斜率不存在，则x =1;

若所求直线的斜率存在，设斜率为k ，则所求直线方程为： y -2=k（x -1）.

因为在x 轴上的截距为1，可得：1- =1，方程无解，

故只有 x =1的直线方程满足题意.

解答此类问题的关键在于明确所求直线的特征，根据已知的直线方程、交点和定点的坐标，选择恰当的直线系方程设出直线方程，求得参数的值，即可求得直线的方程.在解答直线方程问题时，灵活运用直线系方程，可改变常规的解题思路，简化解题的过程，提高解题的效率.

（作者单位：江苏省沭阳高级中学）