对一道不等式证明题解法的探究

张春笋

不等式证明问题侧重于考查同学们的逻辑思维和推理分析能力.证明不等式成立的方法有很多种，如比较法、基本不等式法、配方法、三角换元法等.本文结合一道例题，来探讨一下求解不等式证明题的方法.

例题：已知 f （x）= |x + 1| + |2x - 1| - 12 的最小值为m .

（1）求 m 的值;

（2）若a，b为正实数，且 a2 + b2 = |m| ，证明：

本题的第一个问题较为简单，只需求得函数 f （x）的最小值，便可求得 m 的值.解答第二个问题，需结合第一个问题中的结论进行分析.仔细分析可发现第二个问题为双变量不等式问题，可采用基本不等式法和比较法来求解.

方法1：基本不等式法

基本不等式是证明双变量不等式问题的重要工具.一般地，当 a，b ∈ R+ 时，a + b ≥ 2 ab ，当且仅当a = b 时，上式为基本不等式.运用基本不等式证明不等式要注意“一正”“二定”“三相等”三個前提条件;要建立已知条件和所证目标之间的联系，合理配凑出两式的和或积.若其中之一为定值，则可利用基本不等式求得最值，进而证明不等式成立.

证法一：由（1）可知 a2 + b

由基本不等式可得a4 + b

本题中 a，b均为实数，可以使用基本不等式的变形式 a + b2 ≥ ab 进行求证，将 a4 + b4 转化为 （a2 + b2）22 ，并建立待证不等式与 （a2 + b222 之间的联系，结合a2 + b2 = 1，即可证明不等式成立.

证法二：由（1）可知，a2 + b2 = 1，由基本不等式可得，当且仅当 a = b 时等号成立，

则

因此不等式成立.

首先将待证不等式左侧的式子变形，将其配方成为，再利用基本不等式得到两式之和：，从而证明不等式成立.运用基本不等式证明不等式的关键在于配凑出两式的和或者积.常用的配凑技巧有：（1）配方法.即通过恒等变形将不等式的某一部分化为完全平方式或几个完全平方式的和;（2）拆项、补项.证法一就是通过拆项来配凑出两式的和;（3）凑系数.即在和式或积式的某一个单项式前面乘以一个常数.

方法2：作差法

作差法也称作差比较法.运用作差法证明不等式，需将不等式两边的式子相减，然后通过恒等变形将差式化简，并将所得的结果与0进行比较.若 A - B > 0 ，则A > B ;若 A - B < 0 ，则 A < B .作差法一般适用于求解不等式中含有多项式的题目.

证明：由（1）可知，a2 + b

解答本题的关键是比较 a3a 与1的大小，将待证不等式左右两边的式子作差，采用作差法来求解.通过通分、因式分解，便可证明 a33a ≥ 1 ，从而证明不等式成立.运用作差法比较不等式的步骤是：作差——化简——与0比较——得出结论.

相比较而言，作差法较为简单，基本不等式法比较常用.但无论运用哪种方法来证明不等式，都要将已知关系式与所证目标关联起来，以明确不等式变形的方向，然后将不等式进行合理的变形，如配凑两式的和或积、作差等，从而证明结论.

（作者单位：江苏省阜宁县第一高级中学）