初中数学“数学建模”素养测评的实践探索

樊向阳 徐德同

摘要：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。在2020年江苏省义务教育学业质量监测中，初中数学项目组特别注重创设真实性情境，充分关注数学建模素养与情境特征的明确关系，确定合理的任务呈现方式，提供恰当的支撑性材料或信息。试题经多次研讨打磨，呈现方式基于学生的知识水平，能够促进学生运用已学习的知识去解决，增加与数学建模的亲近感，实现学以致用的目的，体验数学知识的实际价值。

关键词：数学建模;学业质量监测;素养测评;初中数学

一、 数学建模素养测评的实践依据

（一） 数学建模的内涵和表现

《普通高中数学课程标准（2017年版）》对“数学建模”的描述为：“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题……数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题。”

（二） 数学建模的评价要素

数学核心素养比数学知识或技能更具有综合性，在具体内涵和表现机制上也更为复杂。核心素养是学生内在的能力、品格或特征，它指向学生在情境任务中的外在表现，但其本身并不等同于这种表现。核心素养无法被直接观测，但可以通过学生在具体任务中的实际表现来评价。要确保这种评价的合理性，就要基于素养的内涵和外延，厘清素养的评价要素，建立素养与具体任务上的外在表现之间的关联。基于数学建模的内涵和表现以及初中生的认知水平，我们厘定了数学建模素养的评价要素，包括：在实际情境中明确实际问题;分析实际问题中的相关因素（变量）;合理分析相关因素，作出适度的假设;将实际问题用数学语言进行表述;分析数学问题，建立数学模型;用数学方法求解模型;对数学结果进行分析、解释;根据模型结果，对实际问题进行分析、解释;结合实际问题，分析数学模型的合理性或局限性;分析模型结果，结合实际问题，对模型进行适当的完善。

二、 数学建模素养测评的表现水平

（一） 在实际情境中从数学的视角发现问题，用数学语言表达问题

1. 水平描述

水平A：能在实际情境中用符号语言准确描述数学对象;能利用数学语言对复杂情境中的现象进行解释。

水平B：能在实际情境中用符号语言准确描述数学对象;能利用数学语言对复杂情境中的现象进行表达。

水平C：能用自己的语言描述数学对象的特征;能利用数学语言对简单情境中的现象进行表达。

水平D：不能选择适当的形式描述数学对象，或选用其中的一种方式表达不完整;不能描述数学对象或用数学对象对简单情境中的现象进行解释，或描述、解释不完整，有明显错误。

2. 相关示例

甲、乙两家葡萄园采摘葡萄的收费标准如下：

甲葡萄园：入园采摘葡萄不超过4千克需付费40元，超过4千克的部分每千克需另付5元。

乙葡萄园：入园门票为每人12元，采摘葡萄每千克另付b元，总费用y与采摘质量x之间的关系如图1所示。

若分别在甲、乙两家葡萄园采摘8千克葡萄，所付费用相同，求y与x之间的函数表达式。其他小问主要考查的不是数学建模素养，故没有在此呈现（后同）。

（二） 在实际情境中发现和提出问题，针对问题建立数学模型

1. 水平描述

水平A：能通过信息的重组，获取解决问题的有效信息，并作出合理的假设与推断;能根据问题情境中的信息提出数学问题;能通过分析情境中的数学关系，发现内在联系，构建数学模型，并运用知识、方法等解决非常规问题。

水平B：能获取给定问题情境中的信息，并作出合理的假设与推断;能根据问题情境中的信息提出简单的数学问题;能通过图表等分析问题情境中的数学关系，选择适当的形式表达数学关系，并运用相关知识、方法等解决非常规问题。

水平C：能读懂问题情境中的数学信息，并从给定的信息中作出简单的假设与推断;能利用生活现象、直观模型等解决常规问题。

水平D：不能读懂问题情境中的数学信息，或不能有效提取问题情境中的数学信息;不能利用生活现象、直观模型等解决常规问题。

2. 相关示例

水果店张阿姨以每千克2元的价格购进某种水果若干，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图2所示。

求降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式。

（三） 运用數学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型，最终解决实际问题

1. 水平描述

水平A：能在学习过程中自主发现和提出新问题，并进行质疑;能将多种信息联系起来，体验解决问题方法的多样性，能作出恰当的选择，并将模型进行拓展。

水平B：能在现实情境中发现和提出问题，并将问题抽象成数学问题;能综合运用数学知识解决简单的实际问题，获得分析问题和解决问题的一些基本方法。

水平C：认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题;能利用数学的概念和方法解释现实生活中的现象，解决现实生活中的简单问题。

水平D：不能读懂问题情境中的数学信息，或不能有效提取问题情境中的数学信息;不能运用知识和方法解决问题，或解决问题的基本策略与方法有明显错误。

2. 相关示例

为预防病毒性感冒，某校对教室进行药熏消毒。测得药物燃烧阶段和燃烧后的一段时间内，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（分钟）之间的关系如图3所示。

每立方米空气中的含药量低于6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经过多长时间学生才可以回到教室？

三、 数学建模素养测评的研究思路

数学建模素养的形成源于数学知识的习得和运用。数学建模素养的测评与一般的测验不同，内容上力求淡化单纯对知识点理解和掌握情况的考查，强调在真实情境下解决问题的能力因素的考量;力求改变单纯在数学内部情境中命题的思路，削弱模式化的题型，将多元化的情境、问题和答案的开放性渗透于测评试题中，考查思维的深刻性、创造性元素。在命制试题时，要特别注重创设真实性情境，充分关注数学建模素养与情境特征的明确关系，确定合理的任务呈现方式，提供恰当的支撑性材料或信息，同时考虑设问指向和设问方式对问题解决的影响。

下页表1即2020年江苏省义务教育学业质量监测中数学建模素养测评试题命制的多维细目表。

四、 数学建模素养测评的试题改进

2020年江苏省义务教育学业质量监测中关于数学模型素养的测评共6小题23分。本文以M8SS182和M8SS183（为同一大题的2个小问）第（1）问不是数学建模素养的测评试题，为了体现试题完整性，后面仍整体呈现。为例，说明数学建模素养测评试题的编改过程。

该题重点考查“运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型，最终解决实际问题”的数学建模素养，要求学生利用数学知识从生活经验中抽象出不等式模型。表1数学建模素养测评试题命制多维细目表

题号题型分值预估难度核心素养行为表现情境类型具体内容M8SS141解答60.70根据具体问题中的数量关系建立数学模型，并解决简单的实际问题生活情境

学科情境分式方程模型M8SS142解答40.50根据具体问题中的数量关系建立数学模型，并解决简单的实际问题生活情境

学科情境不等式模型M8SS173解答40.63在实际情境中建立数学模型，运用数学知识求解模型，解决实际问题生活情境一次函数模型M8SS174解答20.45在实际情境中建立数学模型，运用数学知识求解模型，解决实际问题生活情境

学科情境一次函数模型M8SS182解答30.45运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型，最终解决实际问题生活情境

学科情境不等式模型M8SS183解答40.40运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型，最终解决实际问题生活情境

学科情境综合应用（一） 试题初稿及说明

尝出来的不等式：数学来源于生活，生活中处处有数学问题，就拿我们平时喝的糖水来说，里面也包含着数学问题，并且是不等式的问题。

（1） 假设在a克糖水中含有b克糖（a>b>0），则糖的质量与糖水的质量比（即糖水的浓度）为。再加入m克糖，则糖的质量与糖水的质量比（糖水的浓度）为。

（2） 生活经验告诉我们，糖水添加糖后会更甜，于是得出一个不等式： 。我们趣称之为“糖水不等式”。

（3） 请尝试证明“糖水不等式”。

学生只有了解情境，才能产生探究的兴趣。通过300人试测和访谈，我们了解到：学生对这一真实情境比较熟悉，觉得贴近生活，很喜欢这道题;但尝试证明“糖水不等式”比较困难，学生解答正确率非常低，说明问题设计的台阶太高，中间没有很好的铺垫。

（二） 试题过程稿及说明

尝出来的不等式：数学来源于生活，生活中处处有数学问题，就拿我们平时喝的糖水来说，里面也包含着数学问题。

（1） 假设在a克糖水中含有b克糖（a>b>0），则糖的质量与糖水的质量比（即糖水的浓度）为。现再加入m克糖，则糖的质量与糖水的质量比（糖水的浓度）为。

（2） 生活经验告诉我们，糖水添加糖后会更甜，于是得出一个不等式： 。我们趣称之为“糖水不等式”。请你证明这个“糖水不等式”。

（3） 数学上有一个等比定理：若b1a1=b2a2=…=bnan，则b1+b2+…+bna1+a2+…+an=b1a1。请尝试用生活中的糖水实验说明该定理成立。

过程稿经多次研讨打磨，任务的呈现方式基于学生的知识水平，学生能运用已学知识解决问题。这样的设计，既可以消除学生对数学建模的疏离感、陌生感，又可以实现学以致用的目的，让学生体验到数学知识的实际价值;但总体立意上还是缺乏“从数学到生活”的意蕴。

（三） 试题定稿及说明

数学来源于生活，生活中处处有数学。用我们平时喝的糖水做“糖水实验”，也能验证发现一些数学结论。

（1） 糖水实验一：现有a克糖水，其中含有b克糖（a>b>0），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为ba，加入m克水，则糖水的浓度为。

生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式，我们趣称为“糖水不等式”。

（2） 糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入m克水”改為“加入m克糖”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：。

（3） 糖水实验三：请设计一个“糖水实验”，说明等比定理“若b1a1=b2a2=…=bnan，则b1+b2+…+bna1+a2+…+an=b1a1”成立。

定稿试题的设计难度恰当、层次合理，充分考虑到学生的个体差异，让不同水平的学生都能尝试解决不同的数学建模问题。同时，由易到难的梯度设置，符合学生的认知规律，能够帮助学生树立数学学习的信心。实测结果也表明，调整了第（2）问后，学生对“从生活到数学”的理解更加充分。从全省监测数据来看，后两小问学生的得分率分别为0.35和0.37，与预设难度基本吻合。

数学建模素养的测评旨在通过学生在具体任务上的表现，推断其数学建模素养的表现水平。这一推断过程会比传统测评方式的推断过程更为复杂，体现在整个推断过程的诸多环节。一方面，要准确把握数学建模的内涵和表现水平;另一方面，要基于真实情境，创设能够引发数学建模素养表现的评价任务;同时，也需要以学业质量标准为依据，研制等级性、多元化的评分标准，提高评分标准的科学性和合理性。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

[3] 义务教育学科核心素养与关键能力研究项目组.义务教育学科核心素养·关键能力测评与教学（初中数学）[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2018.

[4] 喻平.数学关键能力测验试题编制：理论与方法[J].数学通报，2019（12）.（樊向阳，江苏省中小学教学研究室。教育部国家质量监测实施及结果运用专家，江苏省义务教育质量监测初中数学命题专家。曾获国家科学技术部NOC教育信息化发明创新奖。徐德同，江苏省中小学教学研究室，正高级教师。中国数学会奥林匹克高级教练员，江苏省教育学会中学数学教学专业委员会副秘书长，江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象。）