数形结合，打通知识间联系的桥梁

吴丽琴

摘要：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”教学时教师要有意识地加强数与形的联系，帮助学生逐步树立起数形结合的观念，提高学生主动运用的意识，并使这一观念扎根到学生的认知结构中去，从而提高学生的数学素养和解题能力。

关键词：数形结合;大数与凑整;数射线;日常运用

学生学习、理解和掌握“大数与凑整”时要经过从具体到抽象、从感性到理性的过程，这就需要我们在教学过程中，不仅要关注结果，还要关注得到结果、得到方法的思维过程。这个思维过程就是学生理解凑整方法的过程。因此，我们不仅要关注学生技能的形成，还需要有机渗透数学思想方法，让学生在掌握知识的同时感悟数学思想方法，为今后持续发展奠定坚实的基础。

一、路径梳理

（一）单元教材分析

“大数与凑整”是沪教版小学数学“数与运算”模块的学习内容。“数与运算”模块贯穿小学数学学习的始终。一年级学生认识10以内，20以内，100以内的数及相应的加减运算;二年级学生认识万以内的数及加减法，理解乘除法的意义等;三年级认识分数，乘、除数是两三位数的乘除法等;四年级认识多位数，用合理的方法凑整，认识小数;五年级学会小数四则运算，认识正、负数等。在学生认识数的过程中，数射线清晰地反映出数的排列顺序与大小，作为数学思维方法-数形结合的一种工具从一年级起就发挥着重要作用。

（二）教学价值分析

“大数与凑整”这一单元，教材安排了我国近五十年来的人口增长图，让学生在现实背景中复习大数的认识，接着以买衣服时的价格问题和尺寸问题两个凑整实例，引导学生探究“去尾法”和“进一法”凑整。在探究过程中，学生可以体会到数学来源于生活，生活中处处都有数学知识。

在数的认识过程中，教材反复借助数射线这一工具，让学生对数的顺序和大小有直观的体验。特别是“大数与凑整”，数射线化抽象为具象，让学生初步感受数域，体会三种凑整方法的本质、联系和区别。数射线是渗透数形结合的一个很好的载体。

（三）单元学情分析

四年级数学第一学期第七册教材中介绍了三种凑整方法：四舍五入法、去尾法、进一法。它们都是通过“舍”或“入”近似地估写数。找“相邻的整万数、整十万数……”是这三种凑整方法的学习准备。学生在一年级第二册教材中就接触过找相邻的整十数，借助数射线利用已有的知识找出相邻的整万数，对学生而言是熟悉的问题情境，不难解决这个问题。学生借助数射线直观地比较整万数与各数的距离，也可以很快找到最接近的整万数。

《大数与凑整》这节课是在学生已经学会用“四舍五入法”凑整的基础上，继续学习新的凑整方法：“去尾法”和“进一法”。学生在解决生活实际问题的过程中，依据自己的生活经验，加以观察、分析，主动建构“去尾法”和“进一法”，正确运用这两种方法对大数进行凑整，并感知三种凑整方法的异同点。这也为后续第八册“小数与近似数”的学习打下扎实的基础。

二、案例呈现

（一）片段一：复习大数，并借助数射线复习“四舍五入法”。

出示754386

师：这个数你们会读吗？与它相邻的整万数是谁？

生：七十五万四千三百八十六，与它相邻的整万数是75万和76万。

师：我们到数射线去看一看，（在数射线上标出75万和76万的位置）754386在哪里？

生在数射线上找到754386的大概位置。

师：如果把这个数用“四舍五入法”凑整到万位，你怎么想？

生：75万。

师：用“四舍五入法”凑整，如果被省略的尾数最高位是4或者比4小，就要凑整到前一个整十、百、千…数。如果尾数的最高位是5或者比5大，就要凑整到后一个整十、百、千…数。

师：这么表示你们看得懂吗？揭题（大数与凑整）

（二）片段二：借助数射线，进一步理解“去尾法”和“进一法”的本质。

通过讨论“怎么给特卖服装定价？”、“小胖应该买哪种T恤？”，学生初步掌握了两种新的凑整方法“去尾法”和“进一法”。

师：我们已经学会了两种新的凑整方法“去尾法”和“进一法”。你能不能指着数射线来说一说，你怎么理解“去尾法”，又怎么理解“进一法”？同桌讨论。学生上来指着数射线说，自己对去尾法的理解。

师：直观表示

师：在数射线上如何理解“进一法”呢？学生用手比划后，学生上黑板把自己的理解画下来。

（三）片段三：借助数射线，从数与形的两个角度，不断体会三种凑整方法的联系与区别，形成形结合的数学思想方法。

師：小亚将“80692”这个数凑整到万位得到了8万，你知道她可能用了什么凑整方法？你怎么想的？

生1：“四舍五入法”，尾数的最高位是0，四舍凑整为8万。

生2：“去尾法”，把万位后面的尾数全部去掉，也是8万。

师：把这个数放到数射线上，能不能从图中解释一下，80692用“四舍五入法”和“去尾法”凑整到万位都是8万？

生到数射线上指一指，找到这个数大概的位置，发现80692用“四舍五入法”和“去尾法”凑整到万位都是8万。

师：想一想在这两个整万数8万和9万之间是不是只有这一个数有这样的情况。找到这些数的范围，上来指一下这些数的范围。

师：在“四舍五入法”中，“四舍”范围内的这些数凑整的结果和“去尾法”凑整的结果一样。这有没有给你一些新思考。

师：“五入”跟“进一法”也能凑整为相同的结果。这些数在哪里？范围在哪里？跟同桌说。（PPT演示）

师：“四舍五入法”中“四舍”和“去尾法”都是找到与该数相邻的整数中小的那个数，“五入”和“进一法”都是找到与该数相邻的整数中大的那个数。

三、案例反思

徐利治先生说：“数学直觉既是抽象思维的起点，又是抽象思维的归宿。通过抽象性思维，对数学对象的本质有所洞察，有所概括，这样就形成了更高层次的直觉，从而又可进行更高层次的创造性思维活动。”可见，用形象来滋养抽象，用直觉来涵养思维，是帮助学生清晰地掌握数学知识的重要“法宝”。

（一）渗透数形结合思想，深刻理解凑整方法。本节课从衣服特价和定衣服尺寸这两个生活情境引入“去尾法”和“进一法”，引导学生经历知识形成的过程，主动建构这两种凑整方法。在探究、学习并初步掌握“去尾法”、“进一法”的凑整方法后，又引导学生到数射线上理解“去尾法”、“进一法”，有了数射线这根拐杖，学生对两种凑整的方法理解更深了，用“去尾法”凑整得到的是前一个整十、百、千…数，用“进一法”凑整得到的是后一个整十、百、千…数。

（二）运用数形结合，打通知识间的联系。数形结合的思想帮助学生厘清凑整的道理，有效打通知识间的联系，形成知识串。跟进练习中，首先通过生活问题丰富学生对“去尾法”、“进一法”这两种凑整方法的认识，接着通过开放问题“你知道，小亚可能用了什么凑整方法？”，引发学生思考，使学生初步体会三种凑整方法之间的联系。借助“数射线”这一工具，把三者之间的关系“可视化”，利用直观图进行比较，利于学生发现三种凑整方法的本质，从而打通三者之间的联系，帮助学生构建了大数与凑整的知识网络。这样数形结合的事例在不同的年段学习中均能寻觅其踪影。

（三）通过数形结合，加强学生对数学知识的记忆。对于学生来说，大数比较抽象，三种凑整方法也比较容易混淆。可能学得快，忘得也快。借助数射线比较三者之间区别与联系，学生不仅知其然，也知其所以然，形象思维和抽象思维协同应用，帮助学生在脑海里形成了清晰的数学模型。可见，数形结合有助于学生进行比较、交流与反思，从而促进学生对知识的深度理解。