提升“看、想、做”的水平 提高学习数学的能力——以二次函数与一元二次方程教学为例

郭敏丽, 洪昌强

(1.临海中学，浙江 临海 317000;2.台州市第一中学，浙江 台州 318000)

1 问题提出

21世纪初，世界各国都将教育质量确定为教育改革的重心.回首过去的20多年,我国的中学教育改革路途坎坷,社会对高质量教育资源的渴求趋高,学校的教育压力在变大,提升和开发高质量教育资源非常迫切.

1.1 学生学习行为的现状

学习数学困难生的表现:没看清,没看懂,没看透;没去想,没想法,没想全;没去做,没做对,没做好.学习时虽在动手、动脑,但没在真想或没“好好”想.学习处于记、套、仿状态,缺少实质性和有意义的学习,花费学习时间较多,但效果并不好,学生的数学学习能力薄弱.教师在教学反思中,对学生所学的知识、所想的问题、所做的习题及其背后的真实思路以及犯困、出错的原因常忽视,更没有关注如何去改变现状，导致课堂教学中提升学生“看、想、做”水平的机会缺失.

1.2 培养“看、想、做”的意义和要求

我国有句古话：“授人以鱼,不如授人以渔.”《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标》)提出：数学教学活动应激发学生的兴趣,调动学生的积极性,引发学生思考,鼓励学生的创造性思维;要注重培养学生的良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.学习不仅是接受的过程,更是创造的过程,培养学生的学习能力,有利于学生的持续发展.认知心理学认为:通过思维操作、活动和内化过程的协调成为系统,认知才能发展.简单地看是感知阶段,想是理性认知阶段,做是知识的运用和实践阶段,不仅动手做，更重视用脑做.“看、想、做”是学习数学的基本功，在学习数学中有什么要求?首先,要有目的,有方向，即看到了什么,想到了什么,能做什么；其次，要有联系观和发展观,即看未知与已知的异同和联系，想差异的原因是什么，应做怎样的修正,是否有其他的结论和方法.

1.3 数学是一门“关系”学

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学,数学的概念是从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出来.数学知识可分为两类：一类是数学内容,可以认为是看得见的,如概念、法则、性质、公式、公理、定理等,这些内容之间是相互联系的；另一类是蕴涵在这些内容中的各种关系、逻辑结构和数学思想,在学习知识的过程中，需要经历体验和感悟,不断总结、反思、提炼和概括,并逐步加深认识.这就要求教师在教学中,立足于数学知识的系统性,引导学生自主探索、发现各数学知识之间关系的交接点,主动构建数学知识的逻辑关系,形成有组织、脉络清晰的知识体系.数学学科的特征,决定了学习数学不仅是为了获得新知识，更重要的是在学习数学知识的过程中，把握数学知识“关系”之脉络,提升“看、想、做”的水平，提高学生学习数学的能力.

2 教学实践

2.1 教学内容解析

本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册第22章第2节:二次函数与一元二次方程.学生学习过一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程及它们的解法，二次函数及图像，对方程、元、未知数、次数和变量的概念以及一次函数与一次方程之间的关系有初步的了解.但这些知识常常处于孤立、片面、零碎的状态,对于“一元二次方程与二次函数二者有无联系、有何联系”，学生往往处于迷惘之中.

2.2 教学活动过程

活动环节1直观知觉，感知关系.

方程和函数都是抽象思维的产物.学生对解方程的理解是代数式运算，玩的是各种数和字母之间的演算推理,对函数的认识既有解析式又有图像,玩的是“数”和“形”.教师先让学生观察实际问题和数学模型,从中联想到数学知识.

引例如图1,以40 m/s的速度将小球沿地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h=20t-5t2.

问题1从这个实例你可以得到哪些信息?球什么时候飞行高度达到21 m?请说明理由.

学生活动通过解一元二次方程，只要知道小球飞行的时间,就可以求出球的飞行高度；反之，知道球飞行的高度也可以求出球的飞行时间.还可以得到小球在空中飞行时间共为4 s，飞行高度不能达到21 m.也有学生从二次函数知识得到小球飞行最高高度只能达到20 m.

师:以上这些结论有些是通过观察函数图像得到的，有些是通过解一元二次方程得到的，说明二次函数与一元二次方程有联系.

设计意图数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.怎样让学生想到二次函数与二次方程有联系？教材直接给出了4个问题,通过解决这4个问题,从中得知二次函数与二次方程关系密切.本节课没有照本宣科，把教材原原本本地“和盘托出”,而是借助小球斜抛运动和二次函数模型,以问题1为引子,在问题1的引导下,学生敞开思维,去观察、去联想，根据自己已有的学习和生活经验,通过观察,理解、获取各种信息.通过问题的提出和解决,促使学生觉察二次函数与二次方程之间的联系，为下面探究二次函数与二次方程之间的关系奠定了基础，体现了教学要用好教材，而不是教教材.

活动环节2回顾比较，识别关系.

问题2你熟知二次函数中的哪些内容?对于一元二次方程，又熟知哪些内容?

学生活动二次函数内容中学习了二次函数解析式、图像和性质.一元二次方程中学习了实根的个数与判别式的关系，解方程的方法有因式分解法、配方法、求根公式法.

教师根据学生所提供的内容形成表格(略),并呈现给学生.

设计意图学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者.以表格形式将两块内容进行有序组织，为研究函数与方程的关系起到了引航作用.后续的活动可围绕下列问题展开讨论:函数与方程的根的存在性、根的个数的关系;函数与方程的各种解法之间关系.通过分类列表的形式表征知识,有助于学生观察、比较和发现它们之间的联系，把教学内容转化为引领性的学习主题，给学生探索问题指明方向,避免活动的盲目性，体现了教师在教学中的主导作用.

活动环节3探究关系，揭示本质.

问题3二次函数图像与坐标轴公共点和方程的根有怎样的关系?请说明理由.

问题4判别式与一元二次方程、二次函数图像之间有何关系?

问题5与y=x2+x-2关系比较密切的一元二次方程有哪些?请举例说明.由此你能得到更一般的结论吗?如何从二次函数的图像看一元二次方程的3种解法?

师:解方程的过程就是等式变形的过程，变形的目的是降次或化简.而解方程过程中每一个等式变形后,所对应的图像也可能发生了变化,但直线与抛物线的“公共点”的横坐标不变.也就是说解方程变形不变“解”.因此在解方程和处理与函数有关的问题时,有时要根据解题的需要,为了公共点位置“好看”“能用”,需要调整函数,让函数更“美”一些.

设计意图教育应该被认为是经验的继续改造.知识是数学活动的结果,问题3、问题4和问题5既是本节重点的内容，又是这节课学习的骨架，环环相扣,由此及彼,步步深入,契合学生的学习需要,引导学生积极主动地参与问题的探究.有些学生先看到数再想形,有些是先看到形再想数.学生通过自主探究的方式,找到二次函数与一元二次方程的各种关系,同时，对知识进行深度加工,促进学生对二次函数和二次方程的理解，实现从形象思维到抽象思维的转化.

活动环节4确认关系，形成逻辑.

学生活动完成“关系表”(如表1)栏目中内容.

表1 二次函数与一元二次方程的关系

设计意图美国教育心理学家布鲁纳曾说过:“获得的知识如果没有完美的结构把它连在一起,那是一种多半会被遗忘的知识.一串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命.”通过知识自我建构和师生协同建构的整合,将问题3、问题4和问题5所得到的结果分为4个看点(看点5待完成例2后填补),按知识的逻辑关系,以表格的结构形式汇总在一起,让学生思考：自己正在做什么，已做了什么，还需要做什么.这样，不仅从函数的观点认识方程，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性,领悟数形结合和转化思想,而且对二次函数与二次方程的关系有了更深刻的理解,实现了知识的系统化,树立了普遍联系的观点,提高了用联系观和整体观看问题、想问题、解决问题的能力.

活动环节5运用关系，解决问题.

(例1、例2可选做其一.)

例1画出函数y=x2-2x-3的图像,利用图像回答下列问题:

1)方程x2-2x-3=0的解是多少?

2)当x取多少值时,函数值大于0?

3)当x取多少值时,函数值小于0?

例2已知关于x的二次方程2x2-6x-m+2=0.当m为何值时，

1)方程有两个不等实数根；

2)方程的两个实数根都大于1.

例3利用函数图像求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).

解答过程此处略，将函数值的符号与根之间的关系归纳到表1中看点5.

设计意图例1比较容易,基础较薄弱的学生可选用；例2较难,学习能力较强的学生可选用；例3难度较大,学生可在教师的引导下完成.例2涉及方程根的存在和大小范围问题,解决方法既可用代数法,也可用图像法.例2和例3在利用图像处理时,函数的选择比较灵活.通过这3个例题的学习,巩固和深化对二次函数与二次方程的关系的认识,领会运用二次函数研究二次方程的根是由定性到定量的研究思想,体会化归思想、逼近思想在处理函数和方程有关问题的重要作用，从而促进学生对二次方程和二次函数的原有认识,由孤立的知识向系统的知识转变.

问题6在探究二次函数与一元二次方程关系的过程中,你看到了什么，想到了什么，做到了什么，感悟到了什么……请谈谈你的学习体会.

学生相互交流,师生互动，总结归纳出:函数可以用图像表示,具有几何直观性.若将方程用函数视角去审视,可以借助函数图形的几何直观性,运用函数知识研究方程的解,感悟数形结合思想，体会数学知识之间的关联性,加强对数学的整体性理解,提高用联系的观点看问题、想问题、解决问题的能力，感悟到数学学习的真正意义.

设计意图每个学生回头看整节课的流程,回想每个环节是怎样提出和探究的,划出重点内容和重要的数学思想方法,再通过同学之间相互交流完善优化认知结构.这样不仅强调反思性学习的重要性,还有利于让学生的学习从“学会”转变到“会学”的转变.

活动环节6自主选择，巩固关系.

过关性作业:教科书第47页习题22.2.

自主性作业:

1.m,n是(x-a)(x-b)-1=0两个实根，且m

2.若2b-4a=3,则y=ax2+bx+1的图像必过点______.

3.若关于x的方程x2+(m-1)x-m=0有两个不等的实数根,求m的取值范围.

4.若关于x的方程x2+3x-4+m=0有两个实数根都大于-2,求m的取值范围.

5.已知二次方程的两个实数根之差的绝对值为2,两根之和为-1,求此方程.

设计意图魏书生认为:教育的最高境界，是让学生自育自学.因材施教要求尊重学生的差异,尊重教育和教学的规律.设计差异性作业,给学生自主选择,让不同层次的学生根据需要进行选择.自主性选择的作业题目难度适当高于教材,偏向数学思维能力的训练,要求学生能深层次地思考问题,加深对二次函数与一元二次方程关系的理解.以上通过自我评价、自我选择、自我调节,将有利于提高学生的元认知能力.

3 教学感思

3.1 给足学生“看、想、做”的机会

教学需要学生的思考,更需要给学生表达思想的机会.因此,教师的任务要创设问题情境,为学生提供“看、想、做”的机会.如本节课教学活动环节1中,问题1是开放性的,让学生看材料、提问题、做答案.教师放手给学生充足的自主活动的时空,并引导学生探索新问题和发现新结论.在教学活动环节5中,教师提供的例2和例3,解法多种,思维开放,讨论热烈，意图是让学生释放较高的思维能量,增强学习数学的自信心.

3.2 以问题驱动“看、想、做”

“看什么，想什么，做什么”要以问题为驱动思维,不然的话“看、想、做”就失去了方向.问题提出不仅可以作为数学教学目标,同时也可作为一种教学手段促进学生的数学学习[1].“问题从哪里来，提什么问题，怎样算是‘好’问题，以怎样的方式提出，由谁提出”，这是教学的关键也是教学的难点.数学问题应从知识“关联”中寻找关系.《课标》提出“要培养学生的问题提出能力”的重要目标,教师要鼓励学生提问题.当教师提问时,要将知识逻辑与学生的认知经验逻辑有机结合,问题要适切学生的认知水平和心理认知需求.一个好的问题，能驱动学生在看中持续往高里看,在想中持续往深里想,在做中持续往实里做.以高水平的“看、想、做，促进优质学习,最终获得学习的优质.

3.3 融“看、想、做”三位一体

史宁中教授曾说：“在数学学习中，很重要的一点是培养学生的数学直观.因为数学的结论常常是‘看’出来的，不是‘证’出来的，这种‘看’依赖的就是数学直观.”[2]但不用脑看东西等于白看,俗话说:慧眼识珠，看东西需要用脑、用心、用手,在看中想问题.如看代数式:主元是谁，是几次，式子结构特征怎样，有无同类，能否拆分重新组合，变元范围，代数值趋向等.如看形:有无对称，过定点吗，图像呈上升还是下降，有界线吗，与熟悉的图形有何联系.做题不能盲目解答,要在详看、细看的前提下多想,经过思辨后决定解决问题的策略,然后准确选择解决方法.做数学也是一个消化过程,知识和经验在消化中筛选、吸收、积累,数学思维在看、想、做中茁壮成长.如本节课的教学,在知识层面是数与形的结合,从思维上是直觉与逻辑的融合.因此,在学习活动上需要“看、想、做”三位一体协调发展,做到:让“重视看”成为自觉,把“要我看”转化为“我要看”;让善于思考成为爱好,把“要我想”转化为“我要想”;让踏实做成为责任,把“要我做”转化为“我要做”.