基于PCK分析初中数学概念的教学对策

李桂荣

摘要：初中数学概念的学习，有助于发展初中学生的逻辑推理、对比分析和归纳总结等学科素养.初中数学教师将概念教学内容、方法有机结合，立足实际生活，构建生活情境，提升学生学习数学概念的技巧，让学生更加深刻地理解数学概念.同时，基于PCK分析的数学概念时教学过程，发展了学生的逻辑推理、抽象概括和归纳总结等学科素养，也解决了相关的实际问题，落实了初中数学概念教学的目标.

关键词：PCK；数学概念;教学对策

1 引言

如何对抽象、复杂的初中数学概念教学进行形象、简单的教学设计，从而有效保证教学成效呢？如何设计概念教学策略，从而有效区分概念教学重点和难点，明确概念教学目标、方向和教育价值呢？如何让初中学生有效界定和区分数学概念，深入、全面地掌握数学概念的难点、重点，收获主次清晰的学习效果呢？

PCK是将初中数学教师的学科专业知识与教学专业知识进行有机结合.本文中基于PCK分析初中数学概念的教学对策.

2 PCK和初中数学概念教学的联系

2.1 数学概念和数学概念教学

数学概念主要从思维方式上反映数学研究对象的本质属性.数学概念教学主要从过程上反映教师通过横向观察、归纳总结和抽象概括等教学活动指导学生了解和掌握数学研究对象的本质属性.

初中数学概念的特点主要有三点，一是概念内容比较抽象、繁杂，二是概念教学过程比较繁琐，三是概念理解也比较容易产生偏差.初中数学概念教学过程一般包括概念的引入、获得和运用三个环节.其中，概念的引入主要是提出其必要性，概念的获得是经过新旧概念的同化形成其本质属性的过程，概念的运用主要指在运用中理解数学概念［1］.

以人教版七年级数学（上）“一元一次方程”的概念教学为例.“元”为未知数，“一元”为一个未知数.方程为测度实际生活情境中数量关系的模型，其本质属性在于构建不同生活情境中已知变量和未知变量之间的数量关系，并且借助已知变量求解未知变量的过程.方程的概念教学是通过“不同情境中已知变量和未知变量之间的等量关系的构建过程”的训练，让学生可以抽象地概括出方程概念的本质属性——“构建实际生活情境中的未知变量和已知变量之间的等量关系，并借助等式解答未知变量”，并进一步领会生活情境中数量关系测度模型的方程思维，从而发展学生建模思维的学科素养，实现了初中数学概念教学的教育价值.

2.2 PCK和数学概念教学的联系

结合PCK“六要素理论”的内涵，以及初中数学概念教学的本质和面临的困境，笔者探究PCK教学理念和初中数学概念教学的关联性，以及基于PCK进行初中数学概念教学的必要性和可行性分析.

初中数学概念的内容比较抽象、繁杂.立足初中数学课堂，基于PCK分析的教学理念可以将抽象、复杂的初中数学概念教学进行形象化、简单化的教学设计，从而有效地保证概念教学的成效.

初中数学教师的教学任务繁重，概念教学过程比较繁琐.如果教师不能清晰地区分教学重点和难点，那么，学生对于数学概念的理解比较容易产生偏差，学习数学概念的效果也会参差不齐.运用PCK的支撑体系，帮助初中教师全面梳理教学过程中有关数学概念的内涵、外延和应用等，在深入分析上述数学概念有关的逻辑推理、归纳总结、抽象概括等思维能力培育和学科素养发展的基础上，有效界定和区分数学概念的本质属性、重点和难点，指明了数学概念教学的方向，呈现出了主次清晰的概念教学效果，还帮助学生全面、深入地理解数学概念，有助于构建全面、深入的知识框架，也让教师进一步明确初中数学概念教学的目标.

3 基于PCK的初中数学概念教学策略

基于PCK分析的初中数学概念教学策略，是初中数学教师在明确教学目标和重点、难点的基础上，在对初中学生的认知发展和年龄特点进行分析的基础上，实施的初中数学概念教育.它强调初中学生在“实际生活运用中学习数学概念”.

3.1 基于PCK分析保证概念教学成效

在考虑初中学生理解能力的情况下，基于PCK分析的教学理念摒弃了初中数学教师仅仅依靠自身的专业教学技能进行反复“填鸭式”或“灌输式”的教学方式.它指导初中数学教师对所教班级学生的特征和理解能力进行初步摸底的基础上，通过引导式或探究式或自主式教学，调整和优化可以让学生更加容易理解的教学方法.

以人教版九年级数学（下）“反比例函数”的数学概念教学为例，借助反比例函数概念来解释函数概念的本质属性.一般情形下，如果两个变量x和y，二者之间的函数关系为y=kx（k=c，k≠0），则y是x的反比例函数.若将上述反比例函数的一般形式进行变形，在特殊情形下，若x，y的乘积为一个常数c，则xy=k（k=c，k≠0），从而可以更加容易理解该函数概念的本质属性.

PCK教学理念进一步指导教师构建或创设生活情境，将抽象、枯燥的数学概念与实际生活相结合，激发学生学习数学概念的兴趣和热情.以人教版八年级数学（上）“三角形”的概念教学为例，借助生活中的三角板、三角尺、三脚架、三明治、三角粽子、小彩旗、平房的屋梁、自行车的前后轮和座子构成的图形等，生动、形象地引出了三角形的数学概念——三条线段任意两条首尾依次相接后构建的图形.

3.2 运用PCK有效界定概念教学难点

运用PCK支撑体系，教师系统梳理数学概念教学过程中有关概念的内涵、外延和应用等.在领域交叉的教学情境中，PCK能帮助教师及时、有效地联系其他教学情境.在深入分析上述数学概念有关的逻辑推理、归纳总结、抽象概括等思维能力培育和学科素养发展的基础上，PCK能帮助教师有效界定和区分概念的本质属性、概念教学的重点和难点，并且帮助教师设计概念教学的策略.

以人教版九年级数学（上）“一元二次方程”的概念教学设计为例.首先，分解概念教学目标到每一节课，并将每一节课概念的教学内容准确地与教学目标联系起来.纵向联系七年级数学（上）的“一元一次方程”和七年级数学（下）的“一元二次方程”来看，一元二次方程是“次数”的增加.同时，跨章节横向联系下一章的“二次函数”，一元二次方程是二次函数的基础.同时，跨学科横向联系勾股定理等几何学科章节来看，一元二次方程是解决勾股定理的运算工具.由此可见，一元二次方程概念的教学目标是了解新概念，掌握可以解决实际生活问题的方程模型，了解新概念的一般形式——ax2+bx+c=0（a≠0），并能将不同形式的一元二次方程进行化简.

其次，概念学习的必要性在于可以为实际生活中遇到的问题提供解决方案，围绕初中数学相关概念教学的主题内容，充分发挥教师的主观能动性和引导作用，适度把握数学概念的教学重点和难点，进行有层次、有节奏的教学设计.

为什么方程式的未知变量的次数是“二次”呢？基于PCK分析，教师面对学生提出的疑问，并启发学生自己寻求答案.一是让学生体验运用已知概念构建新概念的过程，并体会新旧概念的同化过程.二是通过构建班级生活情境，掌握解决实际问题的方程思维模型，了解新概念的一般形式及其不同形式的化简［2］.

例如，构建班级生活情境：班级要组织一次秋季乒乓球比赛，所有参赛的队伍中任意两队都要进行一场比赛，比赛日程计划为3天，每天计划5场比赛， 请问若你是班级球赛的组织者，应当组织多少支参赛队伍？全程计划多少场比赛呢？

首先，掌握解决实际问题的方程思维模型.假设应当组织x支参赛队伍，每支球队需要参与的场次为x－1次，全程计划比赛的场次为 x（x－1）2 .

根据已知条件，比赛日程计划为3天，每天计划5场比赛，那么，全程计划比赛的场次为x（x－1）2=15.

其次，了解一元二次方程的一般形式并进行化简.将方程化简为x2－x－30=0，求得x=6.

再次，解决实际问题.若你是班级球赛的组织者，应当组织6支参赛队伍，全程计划15场比赛.

最后，体验运用已知的“方程”概念构建新概念.通过构建班级生活的实际情境，掌握解决实际生活问题的思维模型，了解新概念的一般形式及其不同形式的化简，并体验运用已知概念构建新概念的过程，以及新概念的本质属性在于未知变量之间相乘增加了次数，新旧概念的同化形成了一元二次方程.

综上，运用PCK支撑体系，教师不仅明确了概念教学的方向，指导学生更加深入地学习概念，更加有效地掌握数学概念学习的难点，收获了主次清晰的学习效果，还帮助学生更加全面地理解概念，构建全面、深入的知识框架，最终达成概念教学的目标.

4 结语

基于PCK分析，初中数学教师将概念教学内容与教学方法有机结合，从实际生活出发，构建生活情境，提升学生学习数学概念的技巧，让学生更加深刻地理解数学概念.同时，基于PCK分析的初中数学概念教学过程，发展了学生的逻辑推理、抽象概括和归纳总结等学科素养，也解决了相关的实际问题，落实了概念教学的目标.因此，基于PCK分析进行初中数学概念的教学是有必要的和可行的.

参考文献：

[1]朱小清.基于PCK视角的初中数学教学设计——以“绝对值的概念”为例[J].中学数学，2021（10）：54-55，70.

[2]郝建凯. 初中数学教师TPACK水平对课堂教学质量的影响研究[D].武汉：华中师范大学，2020.