巧借数字对换，增强数学素养

封功敏

[摘  要] 数学知识千变万化，蕴含各种各样的规律。在数字对换中，有很多规律值得学生探索。探求规律，理解运算法则，提升运算能力，可以直接增强学生的数学素养。文章主要探討了数字对换在数学课堂中的运用。

[关键词] 小学数学;数字对换;数学素养

对于单个的数字来说，数字对换可以是个位、十位、百位上的数相互对换。对于不同的数来说，数字对换可以理解为在算术运算中，两个数交换位置。比如，减数与被减数位置的交换等。

[⇩] 一、设置课堂冲突，激发探究欲望

小学生的探究欲望是非常强烈的。当新知与旧知碰撞，当学习中产生知识矛盾时，他们会十分渴求一个可以解决疑惑的答案。所以，他们会想办法解决认知冲突。教师要做的就是揭示认知冲突，引导他们解决数学问题。

例如，针对“估算”这一内容的教学，教师可以让学生把两位、三位数看成与它最接近的整十数或者整百数，再把这个数和其他的数相乘。“估算”是一种简便运算，也是一种近似运算，它可以帮助学生减少一定的计算量，但得到的只是大致结果而不是精确结果。教学时，笔者向学生出示一个题目：请同学们估算对比这两个算式的大小，“26×31”与“ 62×13”。

生：26近似30，31近似30，算式1可估算为30×30=900。62近似60，13近似10，算式2可估算为60×10=600。显然，900大于600，第一个算式的结果大。

师：最近，我们学习了两位数乘两位数，同学们还记得计算法则吗？现在不妨先来算一下这两个算式的精确结果。

生：奇怪。26×31=806，62×13=806，两个算式的结果相等。这是为什么呢？按照估算法则，第1个算式的结果明显大于第2个算式的结果。但使用运算法则精确计算，这两个算式的结果又确实相等。到底估算错了，还是我们计算错了呢？

师：同学们，我们刚刚就是按照四舍五入的法则估算的，这肯定没有错。我们也是按照运算法则来精确计算的，也没有错。为什么这两个算式会相等？那么我们交换一个算式乘数的个位和十位，相乘的结果不变，这是不是通用的呢？

笔者的这个问题瞬间勾起了学生的好奇心，学生纷纷拿出草稿本，验算起来。学生发现，大部分算式都不符合刚刚所说的“对换结论”。难道刚刚那个算式只是碰巧吗？这时，有学生还是凑出了相等的算式，说明“数字对换”有一定的规律可循。这样的情况让学生的好奇心越来越重，也让他们迫不及待地想要知道其中的奥秘。因此，为了激发学生的探究欲望，教师在开展课堂活动时可以多设问题，引发学生思考、探索。探究欲望和学习热情都是数学核心素养的要素，我们应该让学生在学习中时刻带着热情，时刻保留探究的欲望。

[⇩] 二、给予思考时间，探求数学真理

学习成绩比较优秀的学生在日常的学习和生活中都很愿意开动脑筋，思考问题。而学习成绩相对落后的学生则大多情况相反。不思考怎么能够领略数学学科的精髓呢？教师可以在课堂上预留思考的时间，让学生自行探索数学真理。

以上文的教学为例。笔者先提出问题：“目前，我们收集到了4个算式，分别是‘23×35’‘33×17’‘21×48’和‘32×69’。前两个算式，我们交换两个两位数的十位和个位，最终得到的计算结果不相同。但后两个算式，我们交换两个两位数的十位和个位，得到的计算结果相同。这是为什么呢？”学生针对这个问题提出了猜测：两个乘数至少要有一个是2的倍数。一般来说，偶数更容易满足数字中的数学规律。前两个算式中的乘数都是奇数。这可能是它们不满足“对换结论”的原因所在。此外，还有学生又发现了两个算式：“26×35”和“36×17”，这两个算式含有偶数，不全都是奇数，但还是不满足“对换结论”，这说明前面的猜想也是不成立的。此时，笔者进一步引导：“同学们，‘对换结论’交换的是十位上的数和个位上的数。那么十位上的数和个位上的数会不会满足一些定律？是不是有一些特殊的地方？”据此学生发现，后两个算式的两个两位数，其十位上的数相乘的结果和个位上的数相乘的结果相等。根据这个发现，学生又写出了几个算式进行进一步的求证，发现交换算式中两个两位数的十位和个位上的数后相乘的结果相等，于是得到刚刚所说的交换定律的结论。针对学生的探索思路，笔者又提出了一个新问题：“我们能不能用数学语言表示交换结论呢？什么是数学语言呢？我们原先学过‘用字母表示数’，字母就是我们常用的数学语言。你们有没有发现书上很多结论、定理都是用字母表示的？数学语言的说服力比文字更大、更浅显易懂。有没有同学愿意尝试一下？”这样的问题对于学生并不难，他们很快就给出了答案：ab×cd，如果ac=bd，那么ab×cd=ba×dc。

在以上的探究过程中，笔者先给学生时间思考，提出猜想，又让学生对猜想进行验证，并在探讨的过程中对猜想进行修正。最后，笔者还引导学生使用数学语言进行总结。总的来说，培养数学语言的表达能力是核心素养的重要目标。而在实际学习过程中，学生对于数学语言非常陌生，不习惯用字母和符号等数学语言进行表达。学生看到题目中有较多的字母和符号，就会感到紧张和害怕，使解答效率进一步降低。在笔者的引导下，学生第一次尝试用数学语言来表达所探索的定理就收获了成功，在一定程度上肯定了数学语言的效用。

[⇩] 三、出示相关变式，力求解后反思

基于年龄和经历的不同，同一个问题，教师可以在短时间内就想到这个数学问题的更多面，因此教师要有意识地引导学生进行更全面的思考，也即是解后反思。比如，针对刚刚探讨的结论对两位数有用，对三位数却不成立的情况，教师就可以继续引导学生探索三位数交换的结论。

师：我们刚刚探讨的是两位数乘两位数的交换结果，如果是三位数乘两位数呢？交换结果会怎么样？是否还满足我们刚刚所探索出的定律呢？

生：三位数有三个数，我们应该交换哪两个数位呢？是百位、十位，还是个位呢？

师：现在交换三位数中的百位和个位，并且交换两位数中的十位和个位，交换之后结果是否依然相等？

（学生再提出猜想时就更明确了，直接看三位数和两位数中某个数位的乘积。）

生1：对于一个三位数abc和一个两位数de，如果ad=ce，那么abc×de=cba×ed。

生2：对于一个三位数abc和一个两位数de，如果ad+b=ce+b，那么abc×de=cba×ed。

生3：对于一个三位数abc和一个两位数de，如果ad=ce，且a+c=b，那么abc×de=cba×ed。

（针对学生的猜想，笔者引导学生进行实践验证。如153×62这个算式，153×62=9486，交换三位数中的百位和个位，并交换两位数中的十位和个位，351×26=9126，9126不等于9486。所以生1的猜想是不正确的。这个验证同样也适用于生2的猜想。因为如果ad=ce，那么ad+b也一定等于ce+b，它们加的都是同一个数字。所以，生1和生2的猜想可以归为同一类。因此生2的猜想也不正确。再研究143×62这个算式，1×6=2×3，且1+3=4，这个算式满足生3的猜想的条件。143×62=8866，341×26=8866，143×62=341×26，因此生3的猜想是正确的。除此之外，学生还根据生3的猜想写了很多新的算式，如154×82，396×21等。）

生1：我发现，三位数乘两位数的对换结论和两位数乘两位数的对换结论相类似，只是比它多了一个条件，即三位数的十位上的数要等于个位上的数加百位上的数之和。

师：其实，我们用文字还是不好表述，很容易混淆。但我们刚刚用字母提出的猜想就很清楚、易懂。

生2：我也是这样认为，而且我觉得四位数乘两位数的对换结论也可以探讨一下。

如果学生掌握了“数字对换”的精髓，那么无论是三位数乘两位数的变式，还是四位数乘两位数的变式，学生都可以在正确的轨道上提出猜想并实践验证，这就是所谓的“举一反三”。无论是在学习新知，还是解决问题的过程中，我们都需要找到知识点中“变”和“不变”的地方——“不变”的是考点，是根本知识，“变”的则是形式。在引導学生求解问题，探究定理之后，教师还需要引导学生反思总结，这样才能够提升学生的学习力与数学思维。

总之，在小学数学教学中，数字蕴含的规律是无穷无尽的。我们可以在数学书上或者练习题中寻找一些有规律的题目，引导学生进行探究，激活学生学习数学的热情。