指向数学建模素养培养的教学路径探寻

杜晓琳

[摘  要] 文章以“二次函数”教学为例，提出初中数学建模素养的培养路径，即培养学生的观察能力，用数学的眼光审视世界;培养学生的表达能力，用数学的语言表达数学问题;培养学生的思考能力，用数学的思维去分析解决问题;培养学生的应用能力，尝试在现实背景中解决实际问题.

[关键词] 数学建模;核心素养;教学路径

新课标指出，数学建模教学可以简化为三个阶段，一是根据现实生活或具体情境，提出一个数学问题;二是用数学的语言表示数学问题中的数量关系或空间形式，在这一阶段，学生需要经历观察分析、抽象概括、选择判定等数学活动，进而获得数学模型;三是利用模型求得数学问题的结果，用数学问题的结果去解释现实问题的意义[1]. 如何提高学生的建模素养呢？对此，笔者以“二次函数”教学为例进行探讨.

培养学生观察能力，用数学的眼光审视世界

从现实生活中抽象出数学问题是数学建模的重要环节，对于具体的情境，观察问题不能流于形式，要培养学生一双数学的眼睛，用数学的眼光审视世界，形成用数学思考的意识，看出其中存在的数学模型.

比如，在九年级下册的“二次函数”教学中，笔者设计如下现实情境：请同学们根据以下现实问题列出相应的函数表达式. （1）生物园饲养小白兔，用16 m长的篱笆围成一个长方形的兔舍，已知围成的长方形的长为x m，请用含x的关系式表示围成的长方形的面积. （2）今年一月份某工厂防疫护目镜的产量是20万件，计划之后每月增加产量，且月平均增长率均为x，求第一季度防疫护目镜的产量y万件与x之间的关系. （3）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为160元时，房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲. 若游客居住房间，则宾馆须对居住的房间每天支出20元的各种费用. 设每间房每天定价为x元，宾馆每天利润为y元，求y与x的函数关系式. 设计的情境旨在让学生通过思考现实问题，实现从现实生活到函数模型的过渡. 在教学中，笔者首先让学生带着上述目的去观察列出的三个现实问题;其次，引导学生掌握科学的观察方法，而观察的方法比较多，有全面观察法、对比观察法等，在观察之前，要有目的地选择观察方法，有重点、有针对性地观察;最后，要求学生一边观察一边做好记录，并根据上述情境列出相应的函数表达式，当然对于数据较多的数学实验，需要用表格的形式把每一项的结果表述清楚，有了观察结果，后面的总结便有了方向.

在教学中，观察是必需的教学环节，但仅限于观察远远不够，还要进行数学思考，发现隐含在现象背后的数学本质. 爱因斯坦曾言，学习者能否获得眼前的现象，不是肉眼决定的，而是取决于学习者用什么样的思维去思考，有了什么样的思想，才会有什么样的观察[2]. 因此，教师在设置情境时，要提出有数学思考的问题，让学生带着思考去观察，培养学生拥有一双慧眼，并让学生的观察成为一种习惯，习惯养成了，素养的生成自然水到渠成.

培养学生表达能力，用数学的语言表达数学问题

数学语言是数学思维可视化呈现的有效载体，因此，培养学生的数学语言表达能力就显得尤为重要. 在教学中，教师要引导学生在课堂上有秩序、有逻辑地表达思维过程，进而提高用专业的数学语言表述数学问题的能力.

在创设了“二次函数”的教学情境后，笔者引导学生用函数关系式表达其中的数量关系.

生1：因为长方形兔舍的周长为16 m，所以两邻边长之和为8 m，其中长为x m，宽为（8-x）m. 根据长方形面积公式，得长方形兔舍的面积S=x（8-x），即S=-x2+8x.

生2：因为第一季度包括三个月：一月、二月、三月，一月份的产量为20万件，其后每月的增长率为x，所以二月份的产量为20（1+x）万件，三月份的产量为20（1+x）（1+x）=20（1+x）2万件. 所以y=20+20（1+x）+20（1+x）2.

生3：因為每天每个房间需要支出20元，所以每天每个房间的利润是（x-20）元. 当定价160元时可以住满40个房间，房价每增加10元，就空闲一个房间，当定价x元时，就增加了（x-160）元，空闲了个房间，所以还有

40-

个房间. 根据总利润=每间利润×间数，所以每天的总利润=（x-20）

40-

，化简得y=-x2+58x-1120.

师：以上三个函数表达式有何共同特点？请用数学语言概括“二次函数”的概念，列举有关“二次函数”的生活实例.

……

在数学建模教学中，不论是方程模型、不等式模型还是函数模型，教师一般的做法是先出示相关实际问题，让学生总结数学表达式;然后，让学生说出表达式，并观察这些数学表达式的共同特点;最后，总结概括概念. 但在实际课堂中，学生不主动表达成为一种常态，基于此，教师在课堂教学中要创造激励机制，进行积极的正面引导，鼓励学生表达，并对表达给予积极的评价;同时要给学生创造表达的机会，让不同层次的学生在课堂上拥有话语权，都能在课堂上表达观点，放飞思维;要加强数学语言的教学，要求学生表达观点时，做到有条理、合乎逻辑，能准确无误地揭示数学本质.

培养学生思考能力，用数学的思维去分析解决问题

数学没有思维就失去了灵魂，失去了生命与活力. 因此，学习数学要以思维为基础，如此，思维能力提升才能真正落地. 章建跃认为，为了从根本上实现数学育人，数学教学要特别注重思维教学，培养学生的思维精神，学生有了数学思维才能对事物做出正确判断，进而形成分析问题、解决问题的方法论.

过去的“二次函数”教学，教师比较重视“二次函数”的概念与一般形式等显性知识的教学，对于隐性知识，如程序性知识与策略性知识的教学存在缺失，致使学生无法体会概念形成的过程，导致学生的思维能力得不到培养. 本教学中，笔者通过建立生活情境引导学生把客观世界的数量关系抽象为函数关系，学生形成了对于“二次函数”的层进式理解，从而构建了“二次函数”的模型. 从领悟数学建模的思想来看，基于学生认知特点的情境引入，有利于调动学生的学习兴趣，有利于培养学生的数学思维. 通过生活实例来列不同形式的“二次函数”，学生对概念的认识由模糊到清晰，逐渐建立起“二次函数”的模型，不难发现，现实生活的情境起到了模型化的作用，学生在列“二次函数”表达式的过程中，经历了发现、提出、分析与解决问题的过程，从而培养了他们动脑思考的能力.

数学知识是对现实知识的提炼与升华. 学生应从现实生活出发，构建属于自己的数学知识，需要注意的是，在教学中，教师要注意学生的年龄特征与不同学段的课标要求，培养学生的思维能力和模型化素养，进而使他们用数学的思维去分析解决问题.

培养学生应用能力，尝试在现实背景中解决实际问题

心理学研究表明，学生获得数学模型后，一旦不及时巩固与内化，很快就会遗忘. 数学建模要求学生从实际情境设计解决问题的方案，然后加以实施. 教学中，教师可以设置具有层次性的现实问题，让学生在解决问题中，培养运用数学建模解决现实问题的能力.

比如，在“二次函数”的综合运用教学中，笔者设计了两个层次的问题：

（1）如图1所示，一座桥孔为抛物线形的拱桥，当水面宽AB为12m时，桥孔顶部离水面4m，若水面上涨1m，求此时桥孔的宽.

（2）某店进购一种红酒，每瓶进价为50元，该店月销售量y（瓶）与每瓶的售价x（元/瓶）满足一次函数关系，如表1：（售价不低于进价），（1）求出该店月销售量y（瓶）与售价x（元/瓶）之間的一次函数关系式;（2）若这种红酒的每瓶利润不允许高于进价的30%，设此店销售这种红酒每月的总利润为w（元），那么售价定为多少可获得最大利润？最大利润是多少？

第一个问题考查学生能否建立适当的坐标系，求得抛物线的“二次函数”关系式，然后利用抛物线的对称性求得桥孔的宽度，旨在考查学生数学建模的能力. 第二个问题考查学生能否根据实际问题建立“二次函数”关系式，然后利用“二次函数”最值的性质求得最大利润，旨在考查学生数学建模的能力. 问题1和问题2都是“二次函数”在生活中的具体应用，笔者让学生先独立思考，再小组合作讨论，既认识了“二次函数”的一般化形式，又体会了“二次函数”的应用价值. 从中领悟到现实情境是生活化的数学，数学模型是形式化、简约化的生活的奥妙.

总之，数学建模教学的目的是培养学生敏锐的观察力、精确的表达力、灵活的思维力与综合的运用力. 教学中，教师应以学生为主体，以问题为主线，以核心素养为目标，调动学生学习数学的积极性，发挥学生的学习能动性.

参考文献：

[1]吴香秀. 培养数学建模能力 落实数学核心素养[J]. 初中数学教与学，2020（10）：16-18.

[2]沈磊. 数学建模：从方法到思想——兼对初中数学核心素养落地的思考[J]. 数学教学通讯，2019（32）：37-38.