高中数学排列组合中四种基本模型的探究

孟弦

【摘要】排列组合问题在高中数学中是一个特别的内容，知识点不多，但题型灵活多变，对学生的分类讨论能力、转化与化归等综合能力要求比较高。本文是笔者在教学中对学生易错点归纳出来四种模型：分组分配模型、指数模型、不相邻模型、隔板模型。

【关键词】高中数学;分组分配模型;指数模型;不相邻模型;隔板模型

一、分组分配模型

1.基本模型题

例1：将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法共有（  ）种。

A.480     B.360     C.240     D.120

解析：本题易错点是其中一个盒子里面有两个球，这两个不同的球位置与顺序无关。按照先分组后分配方法，5个球分为4组有  种，分给4个不同盒子有A44种排法，共有C25A44=240种。按照缩倍除法先把5个不同的球全排列，其中有一个盒子2个球与顺序无关，有盒3盒子里面都是相同数量的球，共有A44=240种，故选C。

2.模型迁移

例2：（2017年高考全国新课标Ⅱ卷理科第6题）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式有（  ）种。

A.12     B.18     C.24     D.36

解析：题目中“4项工作”看成是“4个不同的球”，把“3名志愿者”看成是“3个不同的盒子”。此题的本质就是将4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，先分组为（2，1，1）有C24==6种，放到3个不同的盒子有A33=6种，共有36种，故选D。

结论1：一般的，将n=m1+m2+…+mk（m1≠m2≠…mk）个不同的球放入k个不同的盒子中且分组为（m1，m2，…mk），则不同的放法有种;将mn个不同的球平均分到n个不同盒子中，不同放法有  种;如果只是部分平均分组，则除以相应组数的阶乘即可。

二、指数模型

1.基本题型

例3：将5个不同的球放入4个不同的盒子中，则不同的放法共有多少种？

解析：本题学生容易混淆的点在于是“球选盒子”还是“盒子选球”，题目的目的是球放进盒子里面，所以是“球选盒子”，每一个球都有4个盒子可以选择，由分步乘法原理可得共有45=1024种。

2.模型迁移

例4：（2007年高考全国Ⅱ卷文科第10题）5名同学报名参加两个课外小组，每个同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有（  ）种。

A.10     B.20     C.25     D.32

解析：把“5名同学”看成是“5个不同的球”，把“两个课外小组”看成是“2个不同的盒子”。此题的本质就是将5个不同的球放入2个不同的盒子中，共有25=32种，故选D。

结论2：将n个不同的球放入k个不同盒子中，不同的放法共有kn种。

三、不相邻模型

1.基本模型

例5：有9个大小、形状完全相同的小球，其中5个白球，4个黑球。现将这9个球排成一排，其中任何两个黑球彼此不相邻，有多少种排法？

解析：本题的思考角度选择正确是关键。既然黑球任意两个不相邻，所有黑球的左右两边都是白球，那就先把5个白球排成一排，黑球排在6个空位就可以保证两两互不相邻，共有C46=15种。

2.模型迁移

例6：（2014年高考辽宁卷理科第6题）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的座法种数为（  ）。

A.10     B.20     C.25     D.32

解析：本题是很明显的“不相邻模型”，学生对这一模型是否熟悉是解题关键。任意两人不相邻，先将3把空椅子排成一排，然后3人放到4个空位上进行排列，共A34=24种。

例7：若（1+x）（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，在展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有多少种不同的取法（用数字作答）？

解析：解题中需要转化与化归的思想，大部分学生很难想到，只能一一列举出来，但此题本质就是“不相邻模型”。题意是取出三项剩下六项，取出的三项在原来的位置均不相邻，可以看作有六个研究对象先排成一排，再将另外三个研究对象插入进去，并且两两互不相邻，这两种方式是一一对应关系，所以共有C37=35种。

结论3：有m+n（m≥n-1）个大小、形状完全相同的小球，其中m个白球，n个黑球，现将这m+n个球排成一排，其中任何两个黑球彼此不相邻的排法共有Cnm+1种。

四、隔板模型

1.基本模型

例8：將5个相同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法共有多少种？

解析：本题与例1只有球是相同和不同的区别，但解法截然不同，学生容易对条件混淆导致解题错误。本题的实质是把5个相同的球分成4组，5个相同的球有4个空位，用3个隔板放在这4个空位上，恰好把5个相同的球分成4组，共有C34=4种。

2.模型迁移

例9：已知集合A={a1，a2，…，a100}与集合B={b1，b2，…，b25}，建立映射f：A→B，使得B中每个元素都有象，且满足f（a1）≥f（a2）≥…f（a100），则能建立多少个这样的映射？

解析：此题本质就是将100个相同的球放入25个不同的盒子中，每个盒子不能为空，共有C2499个。

结论4：将n（n≤k）个相同的球放入k个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，共有Ck-1种。

结论4.1：将n个相同的球放入k个不同的盒子中，每个盒子可以任意放球，共有Ck-1     =Cnm+n-1种。

解析：该结论是“隔板模型”的一个推广，先在k个盒子中每个盒子放一个球，就可以转化为将n+k个相同的球放入k个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，共有Ck-1     =Cnm+n-1种。

结论4.2：将n（n﹥）个相同的球放入编号分别为1，2，…，k的盒子中，其中每个盒子放球数不得少于编号数，共有Ck-1           种放法。

解析：该结论实质是“隔板模型”的另一个推广，先在编号为2的盒子里面放1个球，编号为3的盒子里面放2个球，依次如此，最后在编号为k的盒子里面放k-1个球，就转化成将n-个相同的球放入k个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，共有Ck-1  种放法。