优化活动设计 增加思维含量——苏科版数学九（上）“弧长和扇形的面积”教学设计及改进

■陈燕军

教学设计的着力点应放在活动设计上，以此来引发学生深度思考。笔者以苏科版数学九年级上册“弧长和扇形的面积”教学设计的修正前后比较为例，浅谈自己的一些思考。

一、原教学设计简述

环节1：生活引学。

在200米短跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员的实际运动距离相同吗？

环节2：探索弧长计算公式。

已知⊙O的半径为2，则圆的周长为___。

180°圆心角所对的弧占整个周角的___，因此，它所对的弧长是圆周长的___，弧长是___。

提炼总结：在半径为R的圆中，弧长l与所对的圆心角度数n之间的关系是___。

环节3：试探索扇形面积计算公式。

已知⊙O的半径为2，则圆的面积为___。180°圆心角的扇形面积占整个圆的面积的___，因此该扇形面积是___；

提炼总结：在半径为R的圆中，扇形面积S扇与所对的圆心角度数n之间的关系是___。

环节4：教师助学。

环节5：例题展示（略）。

二、优化后的教学设计

【活动1】激活旧知，引入课题。

师：我们学过了圆和扇形，知道扇形是圆的一部分。圆的周长公式和面积公式各是什么？

［设计意图］激活旧知，做好知识铺垫。

师：扇子（如图1）是一个扇形，试指出该扇形的半径、圆心角、弧。扇形的面积和弧长分别是指什么？

图1

［设计意图］强化关键，明确弧是一段曲线，是圆周的一部分，弧长是这段曲线的展直长度。

师：将闭合的扇子徐徐打开，圆心角逐渐变大，扇形弧长和扇形的面积如何随着圆心角的变化而变化？它们之间有怎样的关系呢？

［设计意图］自然引入课题，为后面的函数视角埋下伏笔。

【活动2】探索弧长计算公式。

如图2，扇形的半径为R，圆心角度数为n，试求该扇形的弧长lAB。

图2

师：当圆心角度数n为多少度时，扇形的弧长最容易求？请举例，并说明理由。

［设计意图］研究一个问题，常常是从最简单或者最特殊的情形入手。例如，引导学生从圆心角为180°、90°、45°等简单情形入手。

师：上述例子中我们是根据什么来求弧长的？请说明理由。

［设计意图］引导学生感悟局部与整体的关系。例如，弧长占整个圆周的几分之几，圆心角是周角的几分之几。

师：当圆心角度数为n时，我们该如何求该扇形的弧长？请写出推导过程。

［设计意图］从1°的弧长到n度的弧长，学生自主推导，得到公式l

师：观察公式，当半径R为定值时，弧长与圆心角是什么函数关系？当圆心角度数n为定值时，弧长与半径又是什么函数关系？弧长、半径、圆心角三个量中，知道其中的任意几个量，就可以求出其他量？

［设计意图］公式的再认识和强化，呼应前面的“徐徐打开”，渗透函数观点和方程观点。

【活动3】探索扇形面积计算公式。

师：经历弧长公式的探究，你能否设计一个探究扇形面积公式的方案？

［设计意图］引导学生利用类比思想，自主设计方案，讨论交流，展示结论，得到公式S扇=，进一步扩大思维空间。

师：从前面扇子徐徐打开的过程可以知道，扇形的面积同样随着弧长的变大而变大。你能否用一个扇形的半径R和弧长l来表示该扇形的面积？试写出推导过程。

［设计意图］让学生自主推导，得到公式S扇=。然后将该公式与三角形的面积公式对比，发现其结构上的相似性，培养学生对含字母式子推理的能力。

师：用函数观点和方程观点看扇形面积的两个公式，你可以得出什么结论？

［设计意图］进一步渗透函数观点和方程观点。

【活动4】小题练学。

1.已知圆心角为30°、半径为4的扇形，求弧长l=___，S扇=___。

设计意图：公式的及时应用，加深印象，进一步感悟“知二求三”的方程观点。

【活动5】例题精练（略）。

三、教学思考

结合实际教学效果，对比两次教学设计，笔者认为修正后的教学设计有三点成功之处。

1.直达本质，减少认知负荷。

原设计以短跑场景引出弧长，该情境不直观。其实，学生已经会求一些特殊扇形（如四分之一圆）的面积，知道扇形是圆的一部分，关键是激活旧知，为新课探究做好知识铺垫，同时引导学生利用局部与整体的关系，探索弧长和扇形的面积公式，为学生提供方法上的引导。

修正后的教学设计以学生熟悉的扇子引入新课，激活旧知，突出重点，直达本质，减少不必要的认知负荷，把更多的时间放在公式的探索和应用上。

2.问题驱动，增加思维含量。

原设计探索弧长和扇形面积公式都以教师设计的教案为路径展开，整个探究过程看似以学生为主体，以教师为主导，但都是伪探索、伪自主、伪思考，学生被教案牵着鼻子走，按照教师意图完成任务。教师将自己的“高见”灌输给学生，试图施加“外力”让学生掌握函数观点和方程观点，学生被迫接受，没有思维空间。

修正后的设计采用“问题驱动”，以问题串驱动目标达成，每个问题都有明确目标指向，有一定思维空间，尤其关注“得出结论难易”与“思维空间大小”之间的平衡点。如：“当圆心角度数n为多少度时，扇形的弧长最容易求？”“上述例子中我们是根据什么来求弧长的？”问题起点低，但直指目标，有数学思维，学生通过特殊到一般、局部与整体的关系得到弧长公式最后，学生类比弧长的探究，自主设计探索扇形的面积方案，进一步扩大思维空间。

学生在课堂中积累的发现问题、思考问题、提出问题、设计方案、解决问题等经验，将成为他今后探究和解决数学问题的宝贵经验和方法，这样的课堂才具有学习动力。