数学教学如何让学生“想得到”

摘要：数学学习的最高层次是知何由以知其所以然，即“想得到”。已有知识、一般观念（或者说基本思想方法、研究“套路”）以及最终目标、差异消除等，都是“想得到”的重要影响因素。数学教学中，要让学生从已有知识出发，运用一般观念，自主探究发现新的知识;从最終目标出发，实现差异消除，自主探究得到解题思路。这样，学生才更能“想得到”。

关键词：数学教学;“想得到”;学会学习;知识发现;问题解决

数学学习有三个递进的层次：知其然，即知道是什么;知其所以然，即知道为什么;知何由以知其所以然，即知道怎么想到。它们分别指向记住、懂了、会了。显然，最高的层次即“想得到”，是培养自主学习能力（“带得走”的素养）的关键。那么数学教学中，如何让学生“想得到”呢？已有知识、一般观念（或者说基本思想方法、研究“套路”）以及最终目标、差异消除等，都是“想得到”的重要影响因素。因此，要让学生通过自主探究，体会到它们对“想得到”的作用。本文从知识发现教学与问题解决教学两个方面举一些案例来说明。

一、知识发现“想得到”：基于已有知识，运用一般观念

数学知识之间充满联系。新知识不是从天而降的，而是以旧知识为“生长点”与“延伸点”，在一般观念的指引下得到的。知识教学中，教师不能告知或预设知识结果，而要让学生从已有知识出发，运用一般观念，自主探究发现新的知识。这里的一般观念通常包括从一般到特殊的演绎、从特殊到一般的归纳以及各类数学对象（各个数学领域）研究“套路”的类比迁移。

例如，教学“完全平方公式”时，教师通常这样引导学生发现公式：（1）让学生用两种方法计算如图1所示的正方形的面积;（2）让学生从数到字母、从特殊到一般逐步计算（m+2）2、（3+2b）2、（2m+3n）2、（a+b）2。这样的教学虽然没有直接告知，但是已经预设了结果，过度牵引学生按照教师的指令操作，使学生缺少探索的空间，虽然“做得到”，但是“想不到”。比如，这样的正方形哪里来的？为什么要计算这些式子的结果？

实际上，完全平方公式等乘法公式是多项式乘法的特例。学生前面已经学习了多项式的乘法，完全可以由此出发，运用从一般到特殊（演绎推理）的一般观念，自主探究发现完全平方公式。具体教学设计如下石树伟.数学课堂教学立意的“层次”“关系”及“提升”——由“完全平方公式”同课异构引发的思考[J].数学教育学报，2013（1）：74-76。：

1.前面已经学习了多项式的乘法，能说说运算法则吗？运算的依据是什么？

2.（x+b）（x+d）可以利用公式直接写出结果，它是（a+b）（c+d）在a=c=x时的特例。（给出“先行组织者”，让学生更容易“想得到”。）在（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪些特殊情形？你能得到什么？（完全放手让学生探究，学生的结论多种多样，包括完全平方公式和平方差公式。）

3.今天我们主要研究完全平方公式，完全平方公式有什么特征？请用自己的语言表述公式。

再如，教学“三角形的中位线定理” 时，教师通常这样引导学生发现定理：（1）让学生按步骤取中点、画中位线、测量角度和长度、发现结论，然后证明结论;（2）让学生动手操作，将三角形纸片剪拼成平行四边形（如图2所示），从而引出三角形中位线的概念，发现三角形中位线的性质（定理）并得到证明的思路。这样的教学依然存在过度牵引的问题，使学生虽然“做得到”，但是“想不到”。比如，为什么要测量角度和长度？为什么要将三角形剪拼成平行四边？

实际上，学生对等边三角形（如图3所示）和等腰直角三角形（如图4、图5所示）等特殊的三角形比较熟悉，从中发现三角形中位线的性质也比较容易（当然，从图3中不太容易想到中位线与第三边的长度关系）。因此，可以让学生由此出发，运用从特殊到一般（归纳推理）的一般观念，自主探究发现（猜想）三角形的中位线定理，然后严格证明。王玉宏.在数学知识学习中培养创新思维——以三角形中位线的教学为例[J].数学通报，2017（2）：2629。

又如，教学“平行四边形的性质”时，教师通常直接要求学生将平行四边形绕其中心旋转180°，观察哪些点、线段、角重合，从而依次发现其关于边、角、对角线的性质。这样的教学依然存在探究空间过小的问题，使学生虽然“做得到”，但是“想不到”。

而实际上，我们可以引导学生基于对性质的理解，从已经学过的三角形性质出发，总结图形性质研究的一般“套路”，再运用这样的一般观念，自主探究发现平行四边形的性质。具体教学设计如下：

1.性质是指事物内部元素之间稳定的联系。（给出“先行组织者”，让学生更容易“想得到”。）一般三角形的性质有哪些？是从哪些方面来研究的？（如三角形的内角和为180°，任两边之和大于第三边，外角等于不相邻的两个内角的和，三条高交于一点，等腰三角形“三线合一”等，是从三角形的组成要素、相关要素的数量和位置关系上来研究的。）

2.那么，平行四边形的性质可以从哪些方面来研究？（从平行四边形的组成要素和相关要素——边、角、对角线之间关系的角度研究。）

3.前面研究过一般的四边形，你是怎么研究的？（将四边形转化为三角形。）根据这些方法与经验，请尝试研究平行四边形的性质。

二、问题解决“想得到”：围绕最终目标，实现差异消除

问题解决和知识发现主要的不同在于，问题解决时往往有一个明确的目标，而知识发现时往往目标不够明确。解题教学中，教师不能告知或预设解法结果，也不能简单归类题型、套用解法，而要让学生从最终目标出发，实现差异消除，自主探究得到解题思路。这里的差异消除，指的是消除最终目标和已知条件或已有知识之间的差异，基本手段是转化。

例如，教学“解方程x-14-1=2x+16”时，不应让学生套用解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等），而要让学生先明确解方程的最终目标（得到“x=a”的形式），再分析已知方程与最终目标的差异（如两边都有未知数和常数、未知数和常数作为整体在参与运算等），思考如何（依据什么）转化可以消除差异（如移项、去分母和去括号等）。由此，学生便能自己想到解方程的步骤（知道解法步骤是怎么来的）。

再如，“证明三角形的中位线定理”的教学。发现（猜想）了三角形的中位线定理后，学生便有了证明的目标。教学中，可以让学生从这个目标出发，分析其与已知条件或已有知识的差异。学生从已知条件考虑，会发现“平行于第三边，并且等于第三边的一半”的目标与“三角形”“两边中点”的条件差异较大;而从已有知识考虑，会发现目标与“对边平行且相等”的平行四边形性质差异较小。由此，学生可以想到将中位线延长为原来的两倍，构造待证的平行四边形（如图2中的DBCF）。然后，由这个新的目标出发，分析其与已知条件的差异，学生可以发现“中位线延长为原来的两倍”“一边中点”的条件决定了一个平行四边形（如图2中的ADCF），从而“另一边中点”的条件又决定了一个平行四边形，即上述新的目标。如此，学生便找到了证明三角形的中位线定理的思路。

又如，有这样一道题：

如下页图6，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P 作PE⊥PA，交CD所在直线于E。

（1）在图中找出一对相似三角形，并说明理由;

（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围。

作为铺垫，对第（1）问，易得△ABP∽△PCE。

教学第（2）问时，可以让学生从“求m的取值范围”这个目标出发，分析其与已知条件的差异。学生会发现“点E总在线段CD上”这个条件蕴含着“CE≤CD=1”这个不等关系，与目标的差异最小。进而，发现在梯形ABCD中，点E随点P的运动而运动，点E的位置（CE长）由点P的位置（BP长）决定。于是，想到利用△ABP∽△PCE，得到ABPC=BPCE，进而得到CE（y）与BP（x）之间的函数关系：