浅析如何利用高中数学创新题提升创造力

陈庆菊

[摘  要] 为了更好地考查学生的自学能力和综合知识运用能力，高考数学题中涌现出了许多立意新颖的创新题. 文章剖析了新定义、新运算等几类常见的创新题，以期引起师生对创新题的重视，引导学生更好地适应创新题并发展独创力，提高学生的核心素养.

[关键词] 自学能力;独创力;核心素养

随着新课改的深入，高考所考查的内容也有所变化，数学创新题以其新颖别致、生动灵活等特点获得了命题者的青睐. 创新题一般立意新颖，具有一定的深度和广度，更能激发学生的潜能，更能彰显学生的综合能力和数学素养. 然要做好创新题需要学生具有良好的独立思考习惯和自主分析能力，在面对不同的创新题目时可以选择行之有效的方法和手段进行问题的分析和提取，并灵活运用所学知识进行合理的探究，从而创造性地解决问题. 为了学生能更好地适应创新题，笔者以几类常见的创新题为例进行了简单的剖析，以期引起共鸣.

[⇩] 定义新概念

所谓“新”是因为其在教材中不曾出现，其背景新颖，构思灵活，同时又蕴含着丰富的信息，可以更好地考查学生的综合能力和综合素质. 然而，虽表面上看是从未学过的概念或定义，但仔细阅读后不难发现新概念或新定义往往可以转化为熟悉的数学模型，结合新概念或新定义加以分析，往往可以轻松地解决问题.

例1 定义“等和数列”：在数列{a}中，若a与a的和均为常数d，那么数列{a}为等和数列，常数d为数列的公和.

已知{a}为等和数列，且a=2，公和d为5，则a的值为______，该数列的前n项和为______.

题目解析：虽然等和数列是学生从未接触的概念，然学生有等差数列的学习经验，在解题时可以将已有的等差数列的学习经验迁移至等和数列，通过二者相类比而发现解决方法. 根据已知不难看出，a+a=5，已知a=2，故a=3，以此可知a=3. 当n为奇数时，a=2，S=;当n为偶数时，a=3，S=.

题目评注：本题定义了等和数列这一新概念，学生在求解a及其前n项和时就要充分利用好这一定义. 因为学生有学习等差数列的基础，故可以充分利用a+a=d这一个本质特征. 解答此类问题时，学生首先要与已有知识进行类比和迁移，进而发现新概念的本质特征，然后围绕关键点找到解题的突破口，利用原有认知将其内化，从而顺利求解.

[⇩] 设计新运算

对于新概念或新定义的运用法则和运算方法，学生多因运算新颖而感觉该类题目变化莫测，无从下手，故在解决此类问题时教师要引导学生先进行观察和分析，然后理解运算法则并挖掘出运算规律，进而为后期的推理打下坚实的基础.

例2 设S为一集合（该集合至少含有两个元素），在S上定义一个二元运算“∗”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）. 若对于a，b∈S，有a∗（b∗a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式不恒成立的是（  ）

A. （a∗b）∗a=a

B. [a∗（b∗a）]∗（a∗b）=a

C. （b∗b）∗b=b

D. （a∗b）∗[b∗（a∗b）]=b

题目解析：由“a，b∈S，有a∗（b∗a）=b”可知，变量取任意值恒成立，故解此题可以直接应用赋值法.

①将已知条件中的a换成b，则有b∗（b∗b）=b，故选项C恒成立;

②将已知条件中的a换成a∗b，则有（a∗b）∗[b∗（a∗b）]=b，故选项D恒成立;

③将已知条件中的a换成b，b换成a，则有b∗（a∗b）=a，于是选项D可变成（a∗b）∗a=b，故选项A不恒成立;

④对于选项B，[a∗（b∗a）]∗（a∗b）=b∗（a∗b）=a，恒成立.

题目评注：例2定义了新的运算法则，若不是新定义的内容，学生根据选项进行运算和推理就可以得到答案;然本题定义了新的运算法则，因此在解题前应先理解运算法则，理解后不难发现，其类似于抽象函数问题，故将其转化为熟悉的数学模型后，赋值法的应用也就水到渠成了. 在解决新定义的运算法则和运算关系时，学生常感觉到陌生和压力，因其更加新颖，而学生在日常的学习和训练中已经习惯了套用，继而产生了心理障碍，故在教学新概念或新定义时不妨以阅读方式给出，让学生自己去领悟新内容，从而培养学生的自学能力.

[⇩] 创设新探索

探索性问题因其具有一定的开放性，更能考查学生思维的广阔性，然在长期应试教育影响下，师生过于追求解题效率，对探索性题目的关注度较低，使得学生在面对有不确定因素的开放性问题时常出现畏难情绪. 基于此，教学中教师应多引导学生进行自主探究和小组探究，引导其大胆猜想和假设，通过类比、拓展等思维活动提升学生的数学应用能力.

例3 已知两相交平面α，β与两直线l，l，在α内的射影为s，s，在β内的射影为t，t. s，s與t，t满足什么条件时可以确保l，l为异面直线.

题目解析：本题看似较难，然若学生熟知两直线的三种位置关系并拥有良好的作图能力，则此题并不难求解. 作图后容易得到使l，l为异面直线的条件为：s∥s，且t与t相交;或t∥t，且s与s相交.

题目评注：此题为探索性问题，其主要考查学生的观察能力和分析概括能力，将已知与结论相结合，从整体观察，将本题转化为熟悉的平面问题，进而总结出条件. 探索性问题的结论大多不是唯一的，因此教学中应鼓励学生多角度进行思考，应用好已知和结论，尽量多地找到满足结论的条件，这样不仅可以深入理解本题，而且可以培养思维的多样性和广阔性.

[⇩] 引导新类比

类比是探索问题、解决问题的重要手段之一，通过类比发现问题之间的区别与联系，进而经过猜想、推理、验证提出并解决新问题，其有利于学生自学能力和创新能力的提升.

例4 已知数列{a}是公差为d（d≠0）的等差数列，S是{a}的前n项和. 若S-S，S-S，S-S也是等差数列，且其公差为100d. 与上述等差数列相类比，若数列{b}是等比为q（q≠1）的等比数列，T是{b}的前n项积，则T，T，T，T可以得出什么样的结论？

题目解析：与等差数列相类比不难知道，，是公比为q100的等比数列.

题目评析：本题乍看是新定义的题目，即定义S-S，S-S，S-S为等差数列，然细细品味却不难发现，其为基本运算的描述，故求解并不难. 在解决此题時充分应用了类比，如“等差”与“等比”相类比，“和”与“积”相类比，展现的是学生良好的分析并解决问题的能力.

[⇩] 跨学科融合

随着时代的进步，教育走向了多元化、开放化的道路，对人才的考核也从单一的应试型转化为应用型和创新型，为了更好地实现学科融合，发挥各学科优势，在教学中要注意学科之间的相互渗透，进而实现优势互补，提升学生的综合素质.

例5 已知从椭圆的焦点F发出的光线，遇椭圆发生反射，反射后经过焦点F. 现有一个椭圆形的桌球台，点A，B为椭圆的焦点，椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，放在点A的小球从点A出发，那么小球第一次回到点A时，小球所走的路程为（  ）（此题不需要考虑小球的半径）

A. 4a B. 2（a-c）

C. 2（a+c） D. 均有可能

题目解析：本题在求解时不难发现，因题目未制定小球的具体运行轨迹，因此解题时需要进行分类讨论.

①放在点A的小球从点A出发，沿直线运动，当碰到椭圆的左顶点后返回A，则其所走的路程为2（a-c），故选项B正确.

②放在点A的小球从点A出发，沿直线运动，当碰到椭圆的右顶点后返回A，则其所走的路程为2（a+c），故选项C正确.

③放在点A的小球从点A出发，沿直线运动，其并未经过椭圆的左右顶点，碰到椭圆壁后反弹经过椭圆的右焦点B，由焦点B再回到焦点A，则其所走的路程为4a，故选项A正确.

综上可知，本题的答案为选项D.

题目评注：根据学生的反馈来看，大部分学生因受已知的干扰选择了选项A. 本题是一个跨学科的创新题，其与物理的反射相结合，物理中的反射既是解题的已知，也是解题的干扰. 本题的顺利求解需要学生仔细审题，不仅要找到学科之间的融合点，而且要灵活应用已有经验对指代不明的问题进行分类讨论，进而成功解决问题. 数学常与物理、化学、地理等学科内容相融合，要解决好此类问题学生应多关注生活，多角度进行思考，从已知中抽象出数学模型，用数学思维思考问题，用数学知识解决问题. 虽然各学科在教法和学法上有着明显的不同，但学科之间互相交叉、相互融合不仅可以开阔学生的视野，也可以更好地提高学生的核心素养.

总之，创新题虽灵活多变，但其与已有经验和已有知识是紧密相连的，只要认真思考、仔细观察、找准方向，定能有所突破.