高三数学复习要立足基础才能厚积薄发

刘光辉

[摘  要] 高中数学复习是一个“厚积薄发”的过程，只有经历了前期基础知识的积累，后期才能从容自如地灵活运用. 然高三复习阶段部分师生只重视“解题”，忽视了基本知识、基本方法的提炼、加工、总结和整理，这样不利于学生知识体系的建构，势必会影响知识迁移效果. 为此，在教学中应重视基础、重视方法、重视规律，以此推动解题效率提升.

[关键词] 厚积薄发;知识体系;解题效率

为了在高考中取得好成绩，高三数学课堂重点围绕着运算能力和解题能力这两大主题展开. 为了提升学生的运算能力和解题能力，部分教师依然重复着“题海战术”，学生被大量的例习题包围着，课堂上充斥了消极、烦躁的情绪，课堂沉闷、压抑，课堂效率低. 究其原因，就是教学的重心放置于重复的机械练习，忽视了对题目的思考、总结和提炼，仅仅就题论题的讲解，对知识的把握缺乏整体性和系统性，致使课堂看起来内容丰富，然因学生缺少深层的理解，所以收获甚微. 数学课堂往往给人浅尝辄止的感觉，只有简单评价，而没有更深层的引导，也没有对知识的拓展和延伸，使数学课堂过于碎片化，影响了知识迁移能力的提升，故解题能力也难以提升. 为此，高三阶段必须重视系统化和专题化的训练，让学生对数学形成基本的认识，通过几根主线将知识点进行串联，使知识脉络更加清晰化、系统化. 同时，注意挖掘知识点之间的联系，这样将线编织成网，使知识体系更加全面化、系统化、简洁化，为解题能力的提升做好充分的知识储备.

笔者就如何提高复习质量、提升复习效率，有几点自己的粗浅认识，供参考.

[⇩] 掌握基础知识

众所周知，好的基础决定上层建筑，数学学习亦是如此，然部分师生往往认为“刷题”更高效. 不可否认，短期内这种方法是有效的. 熟悉的题型、熟悉的知识点更容易提升学生的自信心，然高考主要考查学生的综合知识应用能力，题目往往灵活多变，各知识点更是紧密相连. 若单纯地“刷题”而不重视基础的积累，那么当学生遇到陌生题时就会感觉束手无策. 为此，若想提高解题效率，学生对基础知识必须有一个整体的、全面的认识，知晓每个章节的大纲，当涉及该板块内容时可迅速调用相关的概念、公式、通法形成解题思路，进而顺利解决问题.

例1 若已知点P（x，y）的坐标满足

x-y<0，

x-y+2<0，

y≥0，则的取值范围为________.

解析：本题的难点是对中分子几何意义的解读，考虑到点P（x，y）到直线x+y=0的距离h=，即

x+y=2h;又设点P（x，y）到原点的距离d=，所以=

（x+y≥0），

-

（x+y<0），这样问题就能顺利求解了.

显然本题是一道线性规划问题，数形结合是解决此类问题的一个通法，寻找的几何意义是解决本题的重点. 在解题时不是急于求解，而是先观察题目的特点，根据知识的“落脚点”寻找恰当的“切入点”，进而调用已有经验寻找解题的突破口. 例如，本题的“落脚点”即为的几何意义. 又如，在研究三角函数问题时，无论是研究周期问题还是单调区间问题，抑或是对称中心坐标、对称轴方程等问题，首先必须将已知函数进行转化，转化为形如y=Asin（ωx+φ）+B或y=Acos（ωx+φ）+B的形式，那么此类问题的“落脚点”即为一般形式的转化. 又如，用导数研究函数y=f（x）的单调性时往往是f′（x）与“0”相比较，那么“0”就是解决此类问题的“落脚点”. 只有对这些基础知识有着清晰的认识，解题时才能结合已知条件将未知向熟悉的模式转化，进而提高解题效率.

[⇩] 掌握基本方法

有了基础知识的储备后也要重视基本方法的积累，若仅重视知识的积累而不掌握解题方法，那么学生很难找到解题方向，也就无从求解. 例如，解析几何是高考的重要考点，也是高中数学的一个难点，解决此类问题往往涉及交点问题，交点在坐标系中又以“坐标”表示，自然“坐标”在解题时就显得尤为重要了，“坐标法”就是解决此类问题的一个基本方法.

例2 已知实数p>0，直线3x-4y+2p=0与抛物线x2=2py和圆x2+

y-

2=有四个交点，从左到右依次为A，B，C，D，则的值为________.

解析：解决此题的关键是如何把用A，B，C，D的坐标表示出来. 设A（x，y），B（x，y），C（x，y），D（x，y），则有如下几个解题方法：

解法1：分别求出A，B，C，D的坐标，进而得到的值. 显然，分别求出四个坐标，运算太复杂，难以求解.

解法2：根据弦长公式，设直线的斜率为k，则AB=

x

-x·，CD=

x

-x·，则===. 虽然解法2的解题思路比解法1更加清晰，然若想最终求解依然需要求出四点的横坐标，运算量依然很大.

解法3：通过前面两个解题思路可以发现，若直接采用“坐标法”显然求解困难，因此需要重新审题，挖掘已知中的“隐含条件”. 结合已知及图1可知，圆x2+

y-

=的圆心为

0，

，抛物线x2=2py的焦点坐標为

0，

，直线3x-4y+2p=0与y轴的交点为

0，

，可见三点为同一点，即点F. 过点A，D分别作抛物线准线y=-的垂线AM，DN，由抛物线的定义得AF=AM，DF=DN，所以=====，这样接下来求解就水到渠成了.

本题的求解过程围绕“坐标法”展开，先用通法进行分析，找到合适的出发点，通过一步步分析找到最优解决方案. 考试时若遇到计算过程较复杂的题目，可以尝试换个思路，重新审视已知，如本题中的解法3就是因解法1和解法2运算复杂而换取的思路. 要知道，高考题量大，若计算消耗太多的时间势必会影响整体成绩. 因此，在解题时一定要认真审题，充分挖掘已知进而顺利求解.

[⇩] 掌握基本规律

数学是一门规律性较强的学科，这也是数学的魅力所在，掌握数学的基本规律不仅能给解题带来便利，而且有利于提升学习兴趣. 例如，对二次函数图像的开口方向、对称轴、最值等基本规律学生了如指掌，那么在三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）中又能发现什么规律呢？解题时往往需要从这些一般化的规律入手，逐渐推广，进而借助于“双基”逐层推进，最终成功解决问题.

例3 已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致.

（1）设a>0，若函数f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围;

（2）设a<0，且a≠b，若以a，b为端点的开区间在函数f（x）和g（x）上单调性一致，求a-b的最大值.

本题是一道立意新颖的新定义题目，学生需要自学掌握定义的内涵和外延，通过挖掘隐含的规律而找到解题的突破口. 解决此类问题需要学生较强的分析能力，要学会抓住问题的本质特征，进而利用已有经验解决问题.

第（1）问较简单，其主要根据新定义研究动态函数单调性的问题，求解得b≥2，这里就不再详细阐述了. 第（2）问中因含a，b两个参数，其参数的大小关系未指定，因此在求解时需要分类进行讨论，本题较难.

第（2）问求解时一般有以下两种解题思路：

思路1：应用含参不等式的思路进行求解，将条件转化为以a，b为端点的开区间不等式f′（x）g′（x）≥0恒成立.

思路2：将条件转化为以a，b为端点的开区间不等式组f′（x）≥0，

g′（x）≥0或f′（x）≤0，

g′（x）≤0恒成立.

因为a，b的大小不定，因此无论应用上面哪种解题思路都需要对参数大小进行分类讨论，即分成a>b和b>a. 不仅如此，若继续思考会发现接下来依然需要进行分类讨论，如对于思路1，光讨论b>a还不够，还要继续分类，即分成b>0和b≤0进行讨论;当b≤0时，还要分成0≤-≤和->进行讨论;当b<a时，要成分0≤-≤和 ->进行讨论. 虽然问题越来越清晰，但分层较多，大大增加了出错的概率，那么思路2是否可以有效避免较多的分类呢？

由已知可得f′（x）g′（x）=（3x2+a）·（2x+b）=6x3+3bx2+2ax+ab是关于x的三次函数. 记h（x）=f′（x）g′（x），则h′（x）=18x2+6bx+2a. 因为a<0，则h′（x）=0有两个异号的实根x，x，不妨设x<0，x>0，得0∈（a，b）.

又f′（0）g′（0）=ab<0，所以函数f（x），g（x）在区间（a，b）上不是单调性一致的，因此b≤0. 所以，以a，b为端点的开区间应该在x的左侧.

因为以a，b为端点的开区间在x的左侧，所以在这个开区间内，以a，b为端点的开区间上h（x）图像的开口方向是向下的，这样h（a）≥0且h（b）≥0就等价于h（x）≥0在以a，b为端点的开区间上恒成立. 由h（a）≥0且h（b）≥0结合a<0，b≤0，解得-≤a<0，-≤b≤0，所以a-b≤. 当a=，b=0时，f′（x）g′（x）=6x

x2-

，从而当x∈

-，0

时，f′（x）·g′（x）>0，故函数f（x），g（x）在区间

-，0

上单调性一致，因此a-b的最大值为.

本题求解时就是從三次函数f（x）的三次项系数入手，当a>0时，函数的图像是先增后减再增的，而a<0时正好相反，利用开口方向来研究闭区间的最值成了解题的关键. 三次函数就是在二次函数的基础上再推广的，因此，在学习时要善于在原有知识的基础上进一步延伸和拓展，注意基本规律的挖掘和拓展，进而发散思维广度，拓宽视野.

总之，要学好数学就要对数学各章节、各分支形成清晰的知识脉络，对学过的知识进行反复推敲、提炼、消化，进而理清问题的来龙去脉，使各知识点融会贯通.