明考向 提素养——基于2021年八省联考数学试卷的分析与思考

⦿安徽省宣城中学 沈张军

1 引言

随着高中数学新课程标准的进一步推进与全面实施，高考数学命题越来越回归本质，越来越注重对核心素养的考查.因此，只有全面聚焦数学核心素养的养成，才能从容应对高考的变化.

2 数学抽象

例1(2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练(八省联考)数学·15)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)=______.

分析：满足题目条件的函数是最小正周期为2的奇函数，合理联想，数学抽象，可以考虑三角函数中的正弦型函数，再结合这两个条件(最小正周期为2，奇函数)分别确定对应的参数值，即可确定满足条件的一个函数解析式.

点评：数学抽象在高考数学命题中的具体表现主要体现在以下几个方面：(1)形成数学概念与规则；(2)形成数学命题与模型；(3)形成数学方法与思想；(4)形成数学结构与体系.

3 直观想象

例2(2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练(八省联考)数学·11)(多选题)图1是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中( ).

图1 图2

A.AE∥CDB.CH∥BE

C.DG⊥BHD.BG⊥DE

分析：借助平面几何图形的折叠加以还原，由平面展开图还原为正方体，结合直观想象与空间想象，根据正方体的基本性质加以分析与处理.

解析：由正方体的平面展开图还原正方体的直观图ABCD-EFGH，如图2所示，由图形可知AE⊥CD，故选项A错误；

由HE∥BC，HE=BC，可得四边形BCHE为平行四边形，所以CH∥BE，故选项B正确；

因为DG⊥HC，DG⊥BC，HC∩BC=C，所以DG⊥平面BHC，又BH⊂平面BHC，所以DG⊥BH，故选项C正确；

因为BG∥AH，而DE⊥AH，所以BG⊥DE，故选项D正确.

故选：BCD.

点评：直观想象在高考数学命题中的具体表现主要体现在以下几个方面：(1)利用图形描述数学问题；(2)利用图形理解数学问题；(3)利用图形探索和解决数学问题；(4)构建数学问题的直观模型.

4 逻辑推理

例3(2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练(八省联考)数学·3)关于x的方程x2+ax+b=0，有下列四个命题：

甲：x=1是该方程的根；乙：x=3是该方程的根；

丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.

如果只有一个假命题，则该命题是( ).

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

分析：对于涉及方程的命题真假的判断，破解的关键就是进行合理的逻辑推理.对甲、乙、丙、丁分别假设是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.

解析：若甲是假命题，则乙、丙、丁是真命题，则关于x的方程x2+ax+b=0的一根为3，由于两根之和为2，则该方程的另一根为-1，两根异号，合乎题意；

假若乙是假命题，则甲、丙、丁是真命题，则x=1是方程x2+ax+b=0的一根，由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；

假若丙是假命题，则甲、乙、丁是真命题，则关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3，两根同号，不合乎题意；

假若丁是假命题，则甲、乙、丙是真命题，则关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3，两根之和为4，不合乎题意.

综上所述，甲命题为假命题.故选：A.

点评：逻辑推理在高考数学命题中的具体表现主要体现在以下几个方面：(1)发现和提出命题；(2)掌握推理的基本形式和规则；(3)探索和表述论证的过程；(4)构建命题体系；(5)表达与交流.

5 数学运算

例4(2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练(八省联考)数学·17)已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an.

(1)证明：数列{an+an+1}为等比数列；

分析：第(1)问证明等比数列比较容易；而第(2)问求解数列的通项公式，可以合理借助第(1)问的结果，结合数列的递推关系式的变形，从而破解相关问题.

解析：(1)由an+2=2an+1+3an，可得an+2+an+1=3an+1+3an=3(an+1+an).因为数列{an}的各项都为正数，则有a1+a2>0，所以数列{an+an+1}是以a1+a2为首项，公比为3的等比数列.

点评：数学运算在高考数学命题中的具体表现主要体现在以下几个方面：(1)理解运算对象；(2)掌握运算法则；(3)探索运算思想；(4)设计运算程序.

6 数学建模

例5(2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练(八省联考)数学·6)(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)9的展开式中x2的系数是( ).

A.60 B.80 C.84 D.120

分析：利用等比数列加以数学建模，通过转化法破解本题的关键是巧妙借助二项式展开式的通项公式规律，结合等比数列的定义以及求和公式进行求和处理，再结合和式的特征，通过确定相关二项展开式的系数来达到转化的目的.

点评：数学建模在高考数学命题中的具体表现主要体现在以下几个方面：(1)发现和提出问题；(2)建立模型；(3)求解模型；(4)检验结果和完善模型.

7 数据分析

点评：数据分析在高考数学命题中的具体表现主要体现在以下几个方面：(1)数据获取；(2)数据分析；(3)知识构建.

8 结语

明确高考新动向，全面提升核心素养，这就要求我们在平时数学教学与数学学习过程中，切实融入数学核心素养的培育，重视阅读能力的培养，学会思考，进行有效数学建模.在问题思考中进行有效数学抽象，充分主动获取相关知识，进行合理逻辑推理，提高逻辑推理与论证能力，亲身体验数学的发展历程与变化规律.通过直观想象、数学运算或数据分析等方式，有效理解和掌握相关知识.真正有利于学生的各方面发展，充分培养核心素养，提升能力.