借助GeoGebra对2020高考全国Ⅰ卷第21题的探究及拓展

⦿武汉大学附属中学 齐黎明

1 问题的提出

(1)求椭圆E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

2 基于GeoGebra的探究

问题1～6将椭圆和点P一般化后，由于涉及运算比较复杂，判断上述结论存在一定的难度.因此笔者借助GeoGebra进行探究，通过实验演示观察结论是否成立，同时为后面的代数证明提供了更加直观、形象的思路支持.下面以问题1为例进行数学实验探究.

图1

(2)设置两个“滑动条”控制变量m,t，在输入框中输入直线x=m，输入P=(m,t)，利用直线工具，作出直线PA，利用交点工具作出直线PA与椭圆E的交点C；继续利用直线工具作出直线PB，利用交点工具作出直线PA与椭圆E的交点D，最后利用直线工具作出直线CD，利用交点工具作出直线CD与x轴的交点N，如图2.

图2

图3

3 问题的拓展与证明

通过对以上问题的实验探究，笔者将上述问题拓展到一般情形.

图4

图5

图6

图7

证明：可以转化为结论3证明.

图8

(a2k2+b2)x2+2kna2x+a2n2-a2b2=0，

令Δ>0，设S(x1,y1),T(x2,y2)，有

①

(m+x1)y2+y1(m+x2)=0，

化简得 2kx1x2+(km+n)(x1+x2)+2mn=0

②

图9

4 探究后的反思

在网络互联的背景下，信息技术在人们日常中的应用逐渐广泛，并对数学教学产生了深远影响.利用信息技术优化数学课堂教学，会起到事半功倍的效果.在本文的课堂实验探究中，借助GeoGebra软件，构建椭圆模型，通过控制变量不断改变动直线和方程参数来演示图形变化过程，让学生观察点的轨迹的运动情况，从而猜想出一般结论，为严谨的逻辑推理证明提供了实验支持.在GeoGebra可视化动态实验过程中，给学生搭建了一个探究直线过定点问题的平台，结合题目中直线与椭圆的多元联系，通过动态演示，把数与形之间的内在联系进行直观的表征，强化了数学知识间的联系，加深学生的体验，进一步揭示数学的本质，有助于激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主探究能力，促进学生数学学科核心素养的提升[2].