基于“生”动教学的数学建模实践——以“电磁炉烧开水如何节能”问题为例

⦿福建省莆田第二中学 黄少莹 谢晓琼

⦿福建教育学院数学教育研究所 蔡海涛

1 问题的提出

1.1 问题背景分析

电磁炉又名电磁灶，它无需明火或传导式加热而让热直接在锅底产生，因此热效率得到了极大的提高，是一种高效节能厨具.通常情况下，许多人都会认为电磁炉自然是功率越小，耗能越小.也有部分人认为电磁炉功率越大耗能越小，也有人认为电磁炉的功率和耗能之间根本就不存在任何关系.为此，本文中以“电磁炉烧开水如何节能”展开研究.

1.2 问题的提出

(1)家用电磁炉怎样才能烧水又快又省电？

(2)它与电磁炉的功率有关吗？

(3)与使用的烧水壶的出水口有关吗？与使用的烧水壶的底面积有关吗？与使用的烧水壶的容积有关吗？与烧水水量有关吗？

2 问题的分析

2.1 对问题(1)的分析

本文研究的问题是“家用电磁炉怎样烧水才能又快又省电？”由题目主干我们可以看出，我们的重心是“快”和“省电”.因此我们将“快”即水烧开所需时间，作为一个变量T，耗电量作为变量H，研究能否找到合适的条件，使得T与H同时达到最小.

2.2 对问题(2)的分析

家用电磁炉怎样才能烧水又快又省电是否与电磁炉的功率有关？答案是必然的.无论是时间还是耗电量都与电磁炉存在着举足轻重的关系.电磁炉的功率通常设有炒菜、烧水、炖汤、火锅、蒸煮等5个档次，究竟哪个档次才是最适合快速将水烧开并且耗电量相对少？为了研究这一问题，我们不妨做出假设进行控制变量实验，以得出结论.

2.3 对问题(3)的分析

家用电磁炉烧水又快又省电与使用的烧水壶的出水口有关吗？与使用的烧水壶的底面积有关吗？与使用的烧水壶容积有关吗？与烧水水量有关吗？此问题中存在多个变量，我们对其展开分析.五个变量中可以明显看出容积变量与注水变量是重复变量，或者说，后者是前者范围的缩小.于是，我们去一留一，从两者所涉及范围而言，可判定容积变量为无关变量，从而留下注水变量.其次，我们可观察出水口变量，水汽从出水口出，从而稳定气压.由此说明出水口的最大用处是稳定内外大气压和出水，与烧水的快慢并无太大关系.因此，我们可判定出水口也属于无关变量之一.

综上，我们可对问题(3)作出初步回答，家用电磁炉烧水又快又省电可能与使用的烧水壶的底面积有关，及烧水水量有关.

3 模型假设与约定

3.1 模型假设

假设烧水壶的容积相同，出水口大小相同，壶的材质相同，电磁炉的品牌材质相同，并且这里只考虑一次性烧开一壶水(水量不定)的情况.

3.2 符号说明与名词定义

电磁炉的功率P，相应耗电量H，烧水壶的注水量Z，烧水壶的底面积S，水烧开需要的时间T.

4 模型的建立与求解

4.1 模型的构建

根据之前对问题的解读与分析，可以知道我们所研究的三大变量是：电磁炉的功率P、烧水壶的注水量Z、烧水壶的底面积S.电磁炉的功率为第一变量；而注水量决定了水量的多少，作为第二变量；烧水壶的底面积其实代表的是水与电热丝(或热源)的接触面积，可作为第三变量.而烧开这些水的时间则就作为因变量了，而时间决定了耗电量的多少，所以耗电量作为第二因变量.由此，我们可以采取控制变量法和对比法来构建模型.

4.2 数据收集与整理

将收集到的电磁炉、烧水壶的相关数据整理如下表1.通过实验改变不同的变量得到的数据整理如下表2、表3、表4所示：

表1

表2

表3

表4

4.3 模型的求解

根据以上三组实验数据分别作出相应的图象，如图1、图2、图3所示.

图1

图2

图3

4.4 模型的结果分析

由模型的结果我们可以知道，电磁炉烧开水又快又省电的两个好处并不能很好地同时满足，因此，为了得出良好的实验结论，我们尝试从又快又省电中寻求平均值，寻求二者中的平衡点.由此，得出了以下结论：在电磁炉的功率为1 500W，注水量为1.3L时烧水又快又省电，而烧水壶的底面积对烧水时间与用电量无太大影响.

4.5 模型的检验

为了证实我们这一猜想，我们运用家用电磁炉及家用烧水壶再次进行实验验证，最后得出结论与实验结论大致相同，虽存在一定误差，却在误差范围内可以接受，由此我们可以证明实验成功.

5 模型的评价与应用

5.1模型的优势

该模型从电磁炉的功率P、烧水壶的注水量Z、烧水壶的底面积S三个变量方面考虑，分析较为全面，模型具有灵活性，应用较为便利，也可以推广应用至其他领域.虽然还存在不足，但也是一个有效的数学模型.

5.2 模型的劣势

由于实验器材非精密器材，实验操作不严谨，所以存在的误差较大，数据不严谨，仍有不少地方存在较大问题，仅可用于日常生活中的烧水问题，不可当作实验室的精准数据.

5.3 模型的应用

该模型为初步研究电磁炉的耗电问题提出一定的解决方案，可应用于生活中的烧水问题，减少用电量，也节约了时间，便利了人们的生活.模型还可以推广到生活中的其他类似电子器械，甚至是其他领域.该模型胜在结构简单、易懂，便于之后对这方面的研究.

6 模型的改进

由于众多家用电器同时使用电源，造成我们所测的耗电量存在一定误差，我们可采用电压36V尝试实验.若试验无法进行，则尝试将家用电器尽量减少，从而减少误差.电磁炉使用年代久，寿命及功率可能会有一定影响，若想要减少误差，可采取使用新的电磁炉.烧水壶的注水量无法准确测量，这个问题我们可通过某些精密仪器来解决.由此，便可大大提高模型的精确性.同时模型的局限性，可以通过改进实验来解决.我们可以将烧水问题推广到炒菜问题，从电磁炉推广到电热自动烧水壶.原理是唯一的，可背后的潜能却是无穷的，模型只有一个，但延伸却是无尽的.