拓展视角 挖掘内涵 渗透数学文化——“复数的三角表示”教学的几点认识

⦿江苏省太仓市明德高级中学 顾丽琴

1 引言

“复数的三角表示”是人教A版(2019年)高中数学必修第二册的选学内容，主要包含复数的三角表示式和复数乘、除运算的三角表示及其几何意义两部分.这个内容是新教材的新增内容，且不列为考试命题的范围，基于此许多教师认为不教也罢，或让学生自学.但笔者以为，既然是教材内容，就都有教的必要.对此笔者谈几点认识，供大家参考.

2 为什么“复数的三角表示”不可“弃而不教”？

教材是教师组织日常教学的必备文本，离开教材的教学难免会偏离教学大纲的要求.如果每位教师都脱离教材，想怎么教就这么教，那么必然会导致教学的混乱.所以数学教学必须尊重教材，严格按照教材实施教学.或许有人会说，既然“复数的三角表示”高考不会考到，何必把时间浪费在不考的内容上，笔者以为这种想法十分肤浅.复数的代数表示法和三角表示法将中学数学中的许多知识点联系在一起，用点、向量、三角来表示复数，不仅沟通了不同数学分支间的联系，也体现了代数和几何的有机结合.笔者认为“复数的三角表示”不可“弃而不教”，有以下三条理由.

2.1 现代教育理念的要求

教育是为了什么，这是一个永恒的话题.许多人认为高中教育就是让学生考入大学，在这种思维的指挥下，教育变成了教学，教学又变成了应试教学，学校成了高考的“流水线”，于是出现了“为考而教”的怪相，把“一切为了学生”变成了“一切为了考试”.所以为了摆脱应试教育的束缚，体现为学生终身发展而教的教育理念，“复数的三角表示”不可“弃而不教”.

2.2 现行教学内容的要求

复数是数系扩充的“终结版”.复数必学内容主要包含复数的概念和复数的四则运算，其中内含复数的几何意义和复数加减法的几何意义，但这里没有提及复数乘法与除法的几何意义.为了解决这个问题，提倡并鼓励学生学习“复数的三角表示”，否则对复数的认识就缺乏完整性，同时也体会不到复数运算与其他数学知识之间的内在联系.此外，复数有着十分丰富的数学文化背景，如完美的棣莫佛定理([r(cosθ+i·sinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N*))，能引发学生的好奇，激发他们对数学的学习兴趣.

2.3 提升数学素养的要求

数学教育的目标是为了提升学生的数学素养和数学综合能力.数学是一个整体，数学知识之间存在着必然的联系，而这种联系不仅能帮助学生构建知识网络，形成知识体系，而且能引导他们用不同的观点与方法去分析问题和解决问题，从而不断提升数学素养.复数可谓链接三角函数、平面向量及平面几何的“局域网”，复数的三角表示是这张“局域网”的关键点，正是有了复数的三角表示，才能体现出复数的乘法与除法的几何意义，并为复数的运算开辟了“广阔的前景”.由此可见，复数的三角表示能体现出复数的价值，能帮助学生站在新的高度把握数学知识间的联系，基于此，“复数的三角表示”不可“弃而不教”.

3 “复数的三角表示”该如何教？

既然“复数的三角表示”不可“弃而不教”，那么作为教师对这一内容该如何教？笔者以为应该抓好以下四点.

3.1 注重知识的关联，恰当引入，让学生理解复数的三角表示形式

问题1：回顾三角函数的定义，如图1，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|=r，那么怎样用角θ和r表示x，y？

图1 图2

3.2 理解复数乘除法的几何意义，让学生感悟知识的内涵

两个以代数形式给出的复数进行乘除后，其几何意义不明显，而将复数的代数形式转化为三角形式后会是怎样呢？教师可以通过代数运算和数形结合两条途径来引导学生探究.

问题4：能依据你的计算结果说出复数乘法与除法的几何意义吗？

生3：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和；两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

图3

通过问题5，引导学生发现棣莫佛定理([r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N*)，渗透数学文化.

3.3 拓展视角，体会复数三角形式的优越性

关于复数三角式的乘除运算的数学应用，笔者建议所选例题要体现用复数的三角形式解题的简便性和优越性，如：

解析：利用复数乘法的几何意义求得点C对应的复数.

故答案为：-2i

4 结语

复数内容在高中数学教材中占比较小，在高考的命题中占比也较小，但它作为数学中的一个独立体系，依然有独特的思想方法和教学价值，可谓“麻雀虽小五脏俱全”.从培养学生的核心素养角度看，对于教材中出现的任何复数内容，我们都不可等闲视之.以上观点纯属笔者一孔之见，不当之处敬请指正.