“三角度”看人教A版新旧教材的变化——以“直线和圆的方程”为例

⦿西华师范大学数学与信息学院 陈春菊 高 明

1 引言

随着教育部对数学课程标准的修订，高中数学各版本教材也发生了相应的变化.旧人教A版(2007年第3版必修2，下同)教材中的必修内容，变成了新人教A版(2019年第1版选择性必修第一册，下同)的选择性必修内容，下面以“直线和圆的方程”为例，对人教A版的新旧教材变化进行比较.

2 人教A版新旧教材的变化分析

2.1 结构编排的变化

表1 新旧教材章节目录及前后知识的变化

从章节目录来看，新旧教材的编排结构主要有两个变化点：其一是旧教材中的“直线与方程”“圆与方程”是两个章节，在新教材中合并为“直线和圆的方程”，使旧教材割裂编排的两个内容更加紧密，二者本就同属于解析几何范畴.其二是新教材删掉了旧教材的“空间直角坐标系”内容，把它列入第一章“空间向量与立体几何”，让解析几何与空间几何的划分更清晰.

从前后知识来看，旧教材将“空间几何体”“点、直线、平面之间的位置关系”编排在前，几乎不涉及数的运算.学生只能从几何的角度解决问题，却无法探索形与数的关联.新教材将“空间向量与立体几何”编排在第一章，坐标系实现了数与形的有效转化.学生能初步感受用代数法研究几何问题的思想，而且“直线和圆的方程”“圆锥曲线的方程”作为解析几何的两大巨头，二者的结合在高考中难度较大，如此编排对教与学的效果都会更好.

2.2 内容呈现的变化

2.2.1 章节目录的增减变化

从新旧教材章节目录的详细变化来看，增减变化如下：

(1)增加内容：“探索与发现——方向向量与直线的参数方程”.这是旧教材中的选修内容，新教材中是以拓展知识的形式出现，以帮助学生用不同方法解题，培养他们一题多解的数学习惯.

(2)删减内容：①“探索与发现——魔术师的地毯”.旧教材中的这一内容与教材知识点脱节，有删掉的必要性.②“信息技术应用——用《几何画板》探究点的轨迹：圆”.几何画板出现在高中数学课堂上的意义就是将抽象化为直观，但是旧教材中用几何画板探究轨迹，学生没有几何画板的基础，即使有教师讲解，他们对轨迹形成的原理也无法通透理解.

2.2.2 课时内容的具体变化

变化1：倾斜角与斜率.

其一：旧教材在引出“斜率”概念之前，先给出了“坡度比”这一生活概念，然后再分类讨论倾斜角为锐角、钝角时斜率的计算公式.新教材在正文中删掉了“坡度比”概念，通过向量法得到“斜率”概念，直接借助高中三角函数中的正切知识点.新教材如此编排，使学生既巩固加深向量知识，又认识到向量坐标实际上就是实现数与形之间转化的最佳载体.

其二：在推导两直线互相垂直的等价代数式时，旧教材采用正切函数的诱导公式，而新教材则直接利用两直线方向向量的数量积.这样的编排既简化了运算，也使学生直观感受到几何与代数之间的过渡.

变化2：两点间的距离.

在推导“两点间的距离公式”时，旧教材用几何法，借助勾股定理将斜边转化为两直角边，思路虽然简单明了，但解题过程十分复杂.而新教材用向量法，借助向量的模长公式，一步到位将未知量表示出来，不仅简化了解答过程，还使得代数与几何紧密相连，更加凸显数形结合思想在解析几何中的地位.

变化3：点到直线的距离.

在“点到直线距离公式”的推导过程中，旧教材依旧借助勾股定理，将未知斜边转化为求两直角边，同时利用三角形面积公式，过程看似简单，实则繁琐.新教材用两种均不同于旧教材的方法，让学生感受两种方法之间的优缺点.其中，方法1从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，思路自然；方法2利用向量投影，通过向量运算简化了解题过程.总之，新教材改编的两种新方法均把坐标运算应用到解题中，不仅加强了代数与几何之间的融合，也教会学生在做题时从角度去思考问题.

2.3 课后习题的变化

新旧教材除了结构的编排和内容的呈现发生了一些改变之外，课中例题和课后习题的设置也发生了一定的变化.具体如下表(如表2)：

表2 新旧教材例习题数量对比

在例题和习题的设置上，新教材与旧教材相比有两个最大的变化，分别是：(1)新教材的每个章节习题个数相对旧教材几乎都减少了；(2)新教材每个章节习题分设“复习巩固”“综合运用”拓广探索”三个层次，综合考虑学生的个体差异性，更加符合数学课程标准中“因材施教”和“不同的人在数学上得到不同的发展”的教育理念.

3 人教A版新旧教材的变化原因

3.1 “社会”的角度

《普通高中数学课程标准(2017年版)》自修订以来，有效推动了我国基础教育的改革进程.然而，随着经济、科技的发展，社会对人才培养质量提出了更高要求.因此，2017年版课标对教学目标的要求、教学内容的实施与我国目前所需的现代化人才不相适应.同时，为了适应新高考改革方案的出台与实施，教育部在2020年启动了对2017年版课标的修订工作，推出了《普通高中数学课程标准(2017 年版2020年修订)》，目标在于着力发展学生的数学学科核心素养.所以，为了适应新课改的基本理念，各版本教材也进行了相应的改动.

3.2 “数学”的角度

就数学本身而言，“直线”和“圆的方程”两者均在解析几何这一框架之下.旧教材虽然也是把两个内容编排在一起，但是分章节后就无形中割裂了二者之间的联系.而新教材考虑到它们之间的相似性，将其编排在一个章节中，而且将坐标系的内容融入其中，重点在于计算，难度相对必修内容有所上升.这样的编排方式不仅符合数学学科由简到繁的逻辑特点，也体现出数学教材难度水平的层次性.因此，对旧教材作出改编，也是在响应数学课程本身的要求.

3.3 “学生”的角度

数学教学应以发展学生的核心素养为主，培养适应现代社会的能够全面发展的人才.旧教材中“直线与方程”“圆与方程”的内容，涉及运算的知识点几乎都是用几何法得到结论，并没有提及坐标运算，缺少对学生数学运算这一核心素养的培养，没有触及数形结合的实质.新教材“直线和圆的方程”很多公式、结论都是借助向量推出，将坐标运算应用于解析几何，从而帮助学生形成数形结合思想.这部分内容的学习对发展学生的数学运算素养具有重要作用.因此，有必要对新教材中解析几何内容的设计与编排进行研究，从而帮助教师更有效地进行教学设计，提升学生的学习效果.

4 结论

通过对人教A版新旧教材“直线和圆的方程”的比较，得出以下结论：(1)在章节结构编排上，新教材将旧教材中两个章节的内容进行了整合，将“直线与方程”“圆与方程”合二为一，大体上顺序不变，只是把“空间直角坐标系”列入“空间向量与立体几何”章节中.其编排方式更加注重知识间的整体性和联系性，避免知识的割裂与脱节，更重视解析几何的内在逻辑.(2)在内容呈现上，新教材对知识顺序进行了细微调整，将旧教材中“直线与圆的方程的应用”进行改编，安排在“直线与圆的位置关系”这一内容之后；同时，微观上讲，新教材中这些变化有一个共同特点：坐标与几何的多次融合，实现了数与形的深度结合，力求体现数形结合的数学思想方法.(3)在例习题的设置上，新教材各小节的题目都有所改变，个别题目进行了增减和调整，虽然总体数量变少，但难度设置分有三个水平，使得题目的层次性、开放性、综合性都更强.

简言之，新教材打破旧教材模块化结构和螺旋式上升的编排模式，强调数学学科知识的整体性与连贯性，使内容的逻辑更加合理.“直线和圆的方程”的修订，新教材更加倾向于将坐标融入解析几何，重点为计算，难度相对必修内容有所上升，实现了数与形的完美结合，其背后是对教师专业素质的更高要求.