对数学课程施行过程的再认识

张晓贵

对数学课程施行过程的再认识

张晓贵

（合肥师范学院 数学与统计学院，安徽 合肥 230601）

数学课程在所有国家的基础教育中都具有重要的地位，它从预期的课程到实现的课程的实施过程必须保持数学教育思想等方面的一致性．通过对传统的3类数学课程即预期的课程、实施的课程和实现的课程的分析，提出不同课程之间应该具有一致性；通过对第四类课程即潜在的实施课程进行分析，研究表明该课程符合一致性；对第五类数学课程即准实施课程进行分析，结合实例简要说明了应如何进行教材分析，表明第五类课程也符合一致性．

数学课程；一致性；准实施课程

对课程的研究有着悠久的历史．一般可将课程分成广义和狭义两种：广义的课程是指依据学校教育目标制定的学生各种活动的总体计划；狭义的课程是指一门学科的各种活动总体计划，包括教学目标、教学内容和教学时限等．显然，数学课程属于狭义课程，它包括数学教学目标、教学内容和教学时限等．

数学课程的实施是为了使学生具有个体自身发展所必需的数学素养和有力地推动科技的进步及社会的前进，它在今天几乎所有国家的基础教育中都具有重要的地位．数学课程实施的起点显然是权威部门所制定的数学课程标准，而终点则是学生通过数学学习而获得的在数学上的发展．因此，数学课程的实施就是指从起点到终点的运动．无论是早先的3类课程还是后来的4类课程，实际上都是将数学课程从起点到终点进行某种划分，而数学课程的施行就是从起点课程通过中间课程而移动到终点课程．显然，如何使得这种从起点到终点的课程移动更有效就是一个值得研究的课题．研究者所要探讨的问题正是这个大课题下的一个问题，即如何更好地理解数学课程移动的有效性．

研究分成3个部分．第一个部分简要介绍数学的3类课程，并由此提出有效的数学课程的施行应该保持不同种类数学课程之间在数学教育思想、教学目标和教学内容等方面的一致（下文中的一致都是指两类课程之间在数学教学思想、目标和内容等方面的一致）；第二个部分从一致性的角度对数学第四类课程进行审视；第三个部分提出了第五类课程并且用一致性对其进行分析，通过一个案例简要地说明如何分析教材从而实现对第五类课程的一致性实施．

1 3类数学课程以及数学课程之间的一致性

数学教育领域中对于数学课程的研究虽然并不像一般教育领域对于课程研究那样历史悠久并成果丰硕，但相应的工作也是不可忽视的，尤其是近年来对课程的研究更是吸引了不少数学教育研究者的关注，例如著名的国际教育期刊就在2013年和2018年分别围绕数学教材的相关研究推出了一期专刊．早在20世纪70年代，研究者就将数学课程分成3个类别，即预期的课程（intended curriculum）、实施的课程（implemented curriculum）和实现的课程（attained curriculum）[1]．其中预期课程是指通过正式的文件而设置的，其中包括数学教育的基本理念、数学教育的目标和内容等．根据TIMSS的研究，世界上几乎所有的国家都有着某种形式的国家数学课程标准．因此，数学预期课程几乎等同于国家数学课程标准．如中国的国家数学课程标准（包括《九年义务教育数学课程标准》和《高中数学课程标准》）、日本的《数学学习指导要领》以及英国的《国家数学课程》等．实施课程是一种实践课程，它是指数学教师在课堂教学中真正实施的数学课程．实现的课程是学生通过数学教学活动而最终取得收获的课程，如数学知识技能的获得和一定情感态度的形成等．由于后两类同样也包含着数学教学的目标和内容等，因而它们也是数学课程．

以上这3类课程的实施具有自上而下的特点．预期课程位于数学课程的顶端，是对数学教育的顶层设计，它是一个国家在社会发展的新要求和数学教育研究成果，以及吸取其它国家数学教育经验等基础上，对本国数学教育所进行的规划．在当代，由于社会的快速发展和数学教育研究成果的激增，预期的数学课程总是在一定时间后就会有新的版本提出，而每个新版本总是有新的数学教育思想作为其核心．新的思想必然导致新的教学目标，甚至教学内容也会因此而有所改变．而这种新的预期数学课程的推出往往是以数学课程改革的名义而进行的．例如，澳大利亚新的国家数学课程有个基本思想就是鼓励学生在重要数学思想上的深层次发展以及理解数学知识之间的相互联系[2]，而以色列新的初中数学课程则强调问题解决、数学思维和推理，强调在几何和代数上发展学生猜想、解释、辩护以及证明的能力[3]．实施的课程位于数学课程的中间，它是将预期课程中所期望实现的目标通过适当的课堂教学活动而实现．它既是数学课程的中间环节，也是数学课程中非常关键的一步，因为学生在数学上能够得到多大程度的发展所依赖的就是该环节．实现的课程是通过对学生数学学习效果的评价而体现的．预期课程的预期是不是达到，就要在实现的课程那里才能找到答案．从时间上看，首先有预期的课程，接着有实施的课程，至于实现的课程，尽管学习评价既有过程性的也有终结性的，但总是在实施的课程之后．因此，数学课程的施行就是从预期的课程移动到实施的课程再移动到实现的课程．

可见，与其说预期的课程、实施的课程和实现的课程是数学课程的3个类别，不如说它们是数学课程实施过程中的3种形式，即数学课程最先是以预期的课程而出现，接着成为实施的课程，最后是以实现的课程而结束（如图1）．

图1 数学课程的3个类别模型

数学课程的实施无非是希望实现的课程与预期的课程能够在思想、目标和内容等方面具有一致性．而要做到这一点，则需要实施的课程与预期的课程保持一致以及实现的课程与实施的课程保持一致．这样，3类数学课程自上而下的施行，其实就是数学教学思想、目标和内容等方面从预期课程一致性地传递到实施的课程，再进一步地传递到实现的课程．如果这样的话，数学课程的实施就达到了预期的效果，从数学教育改革或数学课程的角度来说，改革就是成功的．因此，数学课程的实施必须要做到不同数学课程形式之间在数学教育思想等方面的一致性，这是数学课程实施是否成功的基本评判标准．

2 对第四类课程的审视

差不多在20世纪之前，研究者们普遍将数学教材归属于预期课程，对数学教材的这种观点由于TIMSS小组的工作而得以改变．21世纪初，TIMSS小组将数学教材确定为第四类课程即潜在的实施课程（potentially implemented curriculum）[4]．由于数学教材和数学课程标准显然并不是一回事，后者是对数学教学的顶层规划，而前者是将这种具有抽象性质的、政策性的规划转变成具有一定可操作性的材料．这里就有一个问题，即TIMSS小组将数学教材视为一种课程类型是否合适．实际上，他们的做法是有道理的．因为数学教材是将课程标准中的数学教育思想、教学内容以及教学时限等方面的具体化，即数学教材也体现一定的数学教育思想，包含着一定的数学教学内容，也具有一定的教学时限，因此，从这个角度看，数学教材也是一种数学课程，数学课程就由传统的3类分成了自上而下的4类，即预期课程、潜在的实施课程、实施的课程和实现的课程（如图2）．

图2 数学课程的4个类别模型

将数学教材作为潜在的实施课程具有极大的合理性，这可以从两点来看．第一点是数学教材离实施的课程很近，并且对实施的课程能够产生很大的影响；第二点是数学教材对于实施课程影响力的发挥具有潜在性．

首先看第一点，这可以从理论和实践两个方面来谈．从理论上说，数学教材是根据预期课程而编写的，是将预期课程的数学教育思想和目标以数学教学内容安排等加以具体地体现．因为有了教材，教师所面对的并不是预期课程而是数学教材．因此，与其说是预期课程指导着数学教师的课堂实践，不如说是数学教材指导了数学教师进行数学课堂教学．数学教材上接预期课程，下联实施的课程，实际上它起到了连接预期课程和实施课程的中介作用，因而是一种比起预期课程来说更接近实施课程的课程．正如豪森（Howson）指出的：比起国家课程，数学教材离课堂现实更近一步[5]．施密特（Schmidt）等人也说，官方的意图和真正的课堂活动这两个世界部分地是被教材联系在一起的[6]．从实践上看，大量的调查说明，数学教师在教学设计和课堂教学中最主要的资源就是数学教材，或者说对于数学教师教学工作影响最大的是数学教材．例如，根据TIMSS的调查，参加2007年TIMSS的绝大多数国家的4年级和8年级数学教学中，数学教材都是教师教学的基本依据[7]．再如，根据汤姆森（Thomson）等人对初中数学教学的研究发现，绝大多数数学教师都是根据教材进行教学设计和教学的[8]．教材对于数学教师的课堂教学影响如此之大，而数学课堂教学由于面对学生，因而成为数学课程实施的关键，以至于可以说数学教材在很大程度上决定了数学课程是否能够有效地实施．

数学教材之所以能够在很大程度上影响教师的数学课堂教学，是由教材的内容所决定的．在数学教材中有两个很重要的成分，即数学知识以及相应的活动安排，这在很大程度上影响了数学课堂．数学知识很大程度上决定了数学课堂中的教学内容，而相应的活动安排则在很大程度上影响了数学课堂中教师的教学策略和课堂中的师生活动．正是由于数学教材的内容构成特别是其中的活动安排，实际上为数学教师提供了教学法上的建议，从而使得他们可以方便地据此进行数学课堂教学．数学教材中的活动安排被有些研究者看成是类似于数学课堂，一种想象中的数学课堂[9]．也就是说，教师甚至可以直接把教材的安排搬到课堂中去．有研究者通过调查发现，数学教师采用不同的数学教材将导致他们采用不同的教学策略[10]，这实际上正是因为不同的数学教材在同样的数学知识的活动安排上不同所导致的．数学教材的这种既有数学知识也有相应的活动安排的内容构成，也使得数学教师对于数学教材的依赖性大大地高于其他学科教师对于教材的依赖，这已经为一些研究所证实[11]．

再看第二点，说数学教材是潜在的实施课程实际上也就意味着它对于数学实施课程的影响程度是不确定的．从以上分析可知，数学教材对于数学实施课程的影响是存在的，但影响力的大小和程度是不确定的．对于有的课程实施者（数学教师）来说，教材可能具有极大的影响力，但对于另外一些教师来说，教材的影响力可能就小得多．一些调查研究实际上也证明了这一点．例如，在美国进行的一项调查中，教师报告他们在教学中内容选择上受到教材的影响大约是50%，而教学策略受教材的影响大约为70%[12]．教师本身在很大程度上确定了其课堂教学受数学教材影响的程度，正如格劳斯（Grouws）等人所指出的那样：“教师的教学可能会覆盖教材中的大部分章节，也可能不会；他们可能按教材的顺序进行教学，也可能不按教材的顺序；他们的教学方法可能与课本上推荐的相同也可能不同；他们可能会补充一些问题到教材中，也可能不补充；他们可能会在教学中使用现在技术，也可能不使用．”[11]这些现象中的一部分在中国是不大可能发生的，但在一些国家的数学教学中并不奇怪．

既然数学教材作为一种数学课程施行过程中的一个课程形式，那么它必须符合前文中所提出的一致性，即预期课程中的数学教育思想、教学目标以及教学内容等方面能够在教材中得以完全体现．问题是现有的数学教材一定会在思想和目标等方面和预期课程保持一致吗？从现有的研究看，确实存在着二者不一致的现象．如果数学教材并不能与课程标准保持一致，那么整个数学课程的施行就不大可能获得成功，因为这个形式的数学课程已经偏离了预期．因此，数学教材与课程标准一致性的保持应该是对于数学教材编写的最低要求．显然，避免这种不一致现象出现的主要方法应该是严格的、多角度的教材审查，而教材审查的标准显然就应该是一致性．在中国有多种版本的数学教材，它们都是经过严格的审查，在一致性上应该没有问题．在数学教材与预期课程一致的情况下，数学教材实际上就成了预期数学课程的代表，预期课程一致性地过渡到了潜在的实施课程．

3 理解第五类课程

数学教师在数学课程实施中的作用是将潜在的实施课程或数学教材保持一致性地过渡到实施课程．但是这个过程实际上不是直接的，即不是直接从教材到课堂，而是包含了两个阶段：第一个阶段是教师通过教材分析，进而在考虑到学生的情况下进行教学设计写出教案；第二个阶段是教师基于教案进行课堂教学．显然，教案在这个过程中扮演着非常重要的作用，它是教师分析教材进行教学设计的结果又是课堂教学的基础，换句话说，它是连接潜在的实施课程与实施课程的中介．教案从内容上类似于教材，但比教材更具有可操作性，教案由于更多地考虑到学生的情况而使得教学内容的安排更适合于学生的学习．因此，比起数学教材来说，教师的教案离数学课堂更近一步．当教案写成后，影响教师课堂教学的很大程度上就是教案而不是教材了．因此，为了更好地理解从潜在的实施课程到实施的课程这个过程的课程移动，可将教案恰当地称为准实施课程（quasi-implemented curriculum）．这样就将课程从4类扩展成5类，即预期课程、潜在的实施课程、准实施课程、实施的课程与实现的课程（如图3）．由于数学教材可以视为一类课程，那么数学教案看作一类课程就不难理解了．

图3 数学课程的5个类别模型

当数学教材与预期课程保持一致的情况下，如果教案与教材保持一致，则教案与预期课程也就保持一致了．如果教材与预期课程不一致，只是保持教案与教材一致，仍然会使得数学课程的实施偏离预期．在这种情况下，如果教师能够很好地理解预期课程并在预期课程的指导下对教材进行弥补，仍有可能使得教案与预期课程相一致．正如舍费尔德（Schoenfeld）所说：好的教学能够弥补教材的不足[13]．正是因为教材有可能与预期课程不一致，因此，应当提倡数学教师能够熟悉并很好地理解数学课程标准．但是，这对于数学教师的要求可能是有点高．

数学教师对教材进行分析，其目的应该在于使得自己的教案与教材保持一致．显然，这里的一致并不是说要将教材中的内容照抄照搬．由于数学教材总是尽可能地与预期课程保持一致，这种保持一致的努力就体现在教材的各个部分的编写上．教师对于教材的研究就是明确教材的各部分所体现的思想以及所要实现的目的，如某个活动能够有助于学生某个数学知识的掌握和某种数学技能的形成，而某个例题中蕴含着重要的数学方法，如此等等，即教师对于教材分析本质上是理解教材或理解编写者的用意．只有在理解教材的基础上结合学生的具体情况，才能形成与教材保持一致的教案，或者说形成与潜在的实施课程相一致的准实施课程．现有的调查表明，不同的教师在分析教材上有着很大的不同，“他们的阅读是选择性和解释性的，他们阅读教材中的不同部分并且运用他们自己的观点去理解他们所阅读的”[14]．数学教师对于教材的分析显然基于他们自己的知识、信念以及数学教学的经验等．例如，如果某个数学教师认为数学史对于学生的数学学习有着重要的作用，那么他在研究教材时就会注意教材中对于数学史的介绍并将其落实到教案之中；反之，如果某个数学教师认为数学史对于学生的数学学习没有任何关系，那么他在研究教材时就会对于数学史部分熟视无睹．既然教师对于数学教材的分析就是把握教材编写者的编写意图，那么教师的教材分析水平其实就是其把握教材编写意图的程度．由于数学教师的知识、信念和教学经验等的不同，从而导致了他们具有不同的对数学教材的分析能力．显然，数学教师不同的教材分析能力也就必然地导致了不同的数学教师从相同的数学教材中分析所得到的结果并不一样，由此可以得到，不同的数学教师从相同的潜在的实施课程中得到的准实施课程是不同的．正因为如此，不是所有的数学老师其准实施的课程都能与潜在的实施课程保持一致．对于那些其准实施课程在一定程度上偏离潜在实施课程的老师，数学课程在其准实施课程这一环节上就不再与预期课程相一致了．

以下通过一个案例（人教版小学数学六年级上册“圆的面积”）来简要地说明数学教师如何分析教材，从而使得数学课程一致性地从潜在的实施课程过渡到准实施课程（更详细的教材分析将另文论述）．本节是以一个问题开始的：已知每平方米的草皮值8元，要求算出整个圆形草坪铺满草皮需要多少钱，从而引出圆面积的计算问题．这个问题是本节课的引入，它具有导致学生认知冲突的作用，从而使得学生产生学习新知识的愿望．接着，教材通过两个孩子的对话，提出了如果要计算圆的面积，那就需要将圆面积的计算与以前学过的图形面积计算方面相联系，这在一定程度上渗透了化归的思想．另外，通过孩子之口提出了能不能将圆面积与圆内外的两个正方形（即圆的内接正方形和外切正方形）面积相联系，即圆的面积介于两个正方形之间，这个思想与中国古代计算圆周率的方法是相关的．中国古代计算圆周率正是通过用正多边形内接和外切的方法逐步逼近圆来计算圆的近似面积，从而得到圆周率的近似值．因此，教材这部分的意图就是让学生感知这种逼近的思想方法．接下来的活动是本节的重点．让学生将圆形的纸片分成若干（偶数）个小曲边三角形并将它们拼接，让学生通过观察和想象得到，分成小曲边三角形的数量越多，所拼成的图形就越接近一个矩形．然后通过将矩形的长和宽与圆形的半径及周长相联系，从而得到了圆面积的公式．本段的编写意图是让学生经历圆面积的得出过程，涉及到让学生动手操作、认真观察、想象以及计算等，其中所体现的数学思想包括化归的思想和极限的思想．接着是两个实际问题的例题，分别计算本节一开始所提出的草坪问题和光盘的圆环面积．第一题在学生学习了圆的面积之后就比较简单了，是直接运用圆的面积公式．第二题比第一题要复杂一些，教师要让学生认识到圆环和圆之间的关系，并且两次计算圆的面积．这两题的作用都是让学生进一步熟悉圆的面积、形成圆面积的运算技能以及感受到圆面积在解决实际问题中的作用．最后是学生的做一做，前面两个问题即茶几面积和环岛草坪占地面积学生可以较好地完成，因为它们和两个例题是类似的，其作用也和例题是一样的．做一做的第三题是中国传统建筑中的“外方内圆”和“外圆内方”设计，要求出这两种情况下正方形和圆之间的面积．这一题的编写意图当然也有让学生理解知识、形成技能以及感受到数学的应用价值外，还具有让学生感受中国传统文化，体会中国传统建筑之美和数学之美的意图．可见，这些意图是与课程目标是有直接联系的．

当然，对于数学教师来说，进行教材分析得到准实施课程只是其工作的一部分．将准实施课程保持一致地过渡到实施过程也是极为重要的，要做到这一点，对于数学教师的能力也有着很高的要求，对此不在这里进行分析．强调的一点是，教师将准实施课程保持一致性地过渡到实施课程也不意味着将教案完全不变地搬到课堂．尽管在课堂教学中教师会利用一些有价值的生成性资源，但思想、内容等应该在两类课程的移动中保持不变．

至此，在数学课程分类的现有研究基础上对数学课程的施行过程进行了分析，提出了不同形式的数学课程之间的移动必须在数学教学思想等方面的一致性，并且提出了第五类数学课程即准实施课程以及对第五类数学课程进行了比较详细的分析和案例说明．对于如何将预期课程一致性地移动到潜在的实施课程、如何将准实施课程一致性地移动到实施的课程以及如何将实施的课程一致性地转移到实现的课程，限于篇幅，不作详细的分析．一致性是数学课程研究中的一个重要概念，它可以是对除预期课程以外其它的数学课程形式进行评价的基本指标，也是数学课程有效实施的保证．从预期的课程到实现的课程的实施过程中，教材编写者遵守一致性从而将预期的课程一致性地推进到潜在的课程，数学教师遵守一致性将潜在的课程一致性地推进到准实施课程以及实施的课程，而学习的评价也能遵守一致性从实施的课程一致性地推进到实现的课程．只有这样，预期课程中的预期才能最终在现实的课程中得到实现．在5类数学课程中，由于数学教师是准实施课程和实施课程的执行者，也在很大程度上是实现的课程的主导者，因此，数学教师在数学课程实施中所发挥的作用是巨大的，从而确保数学课程改革的顺利进行很大程度上取决于数学教师．另外，数学课程的实施过程实际上也为数学教师专业发展的内容提出了具体的要求，限于篇幅不在此作具体的分析．

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Re-Understanding the Implementation Process of Mathematics Curriculum

ZHANG Xiao-gui

(The College of Mathematics and Statistics of Hefei Normal University, Anhui Hefei 230601, China)

The mathematics curriculum occupies an important position in the basic education in all countries. Its implementation process from the expected curriculum to the attained curriculum must maintain the consistency of the mathematics education ideas and other aspects. First, through the analysis of the traditional three types of mathematics curriculum, namely, the expected curriculum, implemented curriculum and attained curriculum, it is proposed that there should be consistency between different curriculums. Then, it analyzes the fourth type of curriculum, which refers to the potential implemented curriculum, and confirms that the curriculum should also conform to the consistency. Finally, it also analyzes the fifth type of mathematics curriculum, namely, quasi-implemented curriculum, and briefly explains how to analyze the teaching textbooks with examples, indicating that the fifth type of mathematics curriculum also conforms to the consistency.

mathematics curriculum; consistency; the quasi-implemented curriculum

G420

A

1004–9894（2022）02–0077–05

张晓贵．对数学课程施行过程的再认识[J]．数学教育学报，2022，31（2）：77-81．

2021–10–22

安徽省高校人文社科重点项目——教材研究：教师专业发展的有效途径——以数学学科为例（SK2020A0145）；安徽省教学团队项目——数学学科教学论教学团队（2020jxtd215）；安徽省高校人文社科重点项目——专业认证视阈下数学师范生教学技能评价体系的构建研究（SK2020A0110）

张晓贵（1965—），男，安徽肥东人，教授，主要从事数学教育与数学哲学研究．

[责任编校：陈汉君、陈隽]