Magnus力对球类空中运动的影响

黄明煊，陆爱江

(1. 东华大学 物理1801班，上海 201620；2. 东华大学 应用物理系，上海 201620)

当一个旋转球体的角速度矢量与物体质心速度矢量不重合时，在与角速度矢量和平动速度矢量组成的平面相垂直的方向上将产生一个横向力，这个横向力即为Magnus力.在Magnus力作用下旋转物体的运动轨迹发生偏转的现象称为Magnus效应[1].Magnus效应由德国科学家Heinrich Magnus于1852年提出.但事实上，早在1672年，牛顿在观看剑桥学院网球比赛后便描述和推断了这种现象的发生.1742年，英国的枪炮工程师Benjamin Robins解释了Magnus效应引起的步枪弹丸的飞行偏差.但是对该效应的细致深入研究始于Magnus本人.

Magnus力的产生，是旋转体在黏性流体中运动的结果.如图1所示，球体旋转时表面速度不同,从而造成附近区域流体流速不同.根据伯努利原理，流速越大处压强越小，因此黏性流体对旋转体会产生一个垂直于角速度ω和质心速度v的压力差，即为Magnus力.

图1 Magnus力示意图

基础课程“力学”中研究的抛射体问题往往忽略空气阻力也不考虑Magnus力，更多地适用于质点模型，而与现实生活中的实际情况存在巨大差距.尤其是在球类运动中，Magnus力往往是形成各种“曲线球”的根源，并且对球的射高和射程有一定影响，因此，研究Magnus力在小球运动中的作用尤其具有实际意义.本文以足球和乒乓球为例，研究Magnus力对球类运动轨迹的影响.

1 空中运动小球受力情况分析.

如图2所示，空中的小球斜向上运动，受到重力作用的同时也受到与速度方向相反的空气阻力作用.小球质量为m，速度为v.

图2 小球受力分析图

情况1：如图3(a)所示，若ω垂直于Oxy平面(沿z方向)，则Magnus力方向在Oxy平面内，可将它分解到x、y方向上，它对球x、y方向的运动都会产生一定影响.

情况2：如图3(b)所示，若ω在Oxy平面内，Oxy平面内的速度分量产生z方向的Magnus力，记为FMagnus1.此时，z方向速度会产生Oxy平面内的Magnus力，记为FMagnus2，总的Magnus力为FMagnus1和FMagnus2的矢量叠加，这种情况下的Magnus力对x、y、z方向的位移都有影响.

情况1

情况3：如图3(c)所示，ω的方向可分解为在Oxy平面内的分量和垂直于Oxy平面(z方向)的分量，因此得到的Magnus力沿x、y、z3个方向的分量均不为零.

2 运动方程的建立

首先考虑质心的运动.小球在Oxy平面内飞行(与重力加速度g确定的平面)，在直角坐标系中表示小球质心运动的方程如下：

(1)

t为时间坐标.相应数值求解的递推关系式为

(2)

Δt为所选时间步长.

考虑Magnus力，针对以上3种不同方向的Magnus力，分别建立其运动方程如下：

针对情况1，列出小球运动方程为

(3)

针对情况2，小球运动方程应为

(4)

对于情况3，则可以通过给定任意方向的角速度ω加以研究，其作用效果可等效为情况1、2的叠加.

3 运动方程的求解

通过数值求解运动方程，我们系统研究了Magnus力对球类运动轨迹的影响.课程中我们选取同学们比较感兴趣的内容——足球作为我们的研究对象.取时间步长Δt=0.25s，总时长t=5 s，即20个时间间隔.取足球平均球速为40 m/s，直径为0.22 m，质量为0.4 kg，射出角θ设为60°,分别作：ω=0时，ω=4 rad/s且沿z方向时，ω=4 rad/s且在Oxy平面内与x轴正向夹角120°时的运动曲线如图4(a)所示.坐标轴如图3中所示.

我们发现，旋转的小球其射高和射程都发生了改变.当ω沿z方向，其射高减小，射程增加；而当ω在Oxy平面内时，小球沿z方向发生明显位移，同时z方向的速度也会使x、y方向有偏移.这一结果与我们平时看到球赛中的弧线球等情况完全一致.所以我们有理由相信，足球技术动作中控制足球的转速是一个非常重要的方面.

研究过程中有同学提出：乒乓球因其自身质量很小，Magnus力的效应是不是比足球更为显著？真是一个好问题.那么我们就来看看乒乓球的情况吧！取时间步长Δt=0.025s，模拟总运动时长t=0.5 s，乒乓球球速为5 m/s，直径为4 cm，质量为2.7 g，射出角θ为30°,分别作：ω=0时，ω=4 rad/s且沿z方向时，ω=4 rad/s且在Oxy平面内与x轴正向夹角120°时的运动曲线如图4(b)所示.同样地，旋转的乒乓球其射高和射程都发生了改变.当ω沿z方向，其射高减小，射程增加，即所谓的“下旋”；而当ω在Oxy平面内时，小球沿z方向发生明显位移，即所谓“削球”,造成乒乓球运动路线的偏移.

足球运动轨迹

为了方便比较Magnus力对小球射程、射高、偏移量的影响，我们将计算出的足球和乒乓球射程、射高、偏移量列于表1.由表1可知，ω在Oxy平面内时所产生的z方向的Magnus力会使球在z方向偏移，这是造成球类弧线运动的主要原因.

表1 足球和乒乓球沿3个方向的最大射程

ω沿z方向时会产生Oxy平面内的Magnus力，可将其分解到x、y轴上，对x、y方向位移产生影响.且若Magnus力使x方向位移增大，则y方向位移一定减小，反之亦然.由图3可看出，此时质心速度在一、三象限，由于Magnus力垂直于质心速度，Oxy平面内的Magnus力只可能处于二、四象限，因此Magnus力对x、y位移的改变趋势相反.但实际过程中，由于地面和球台高度有限，尽管Oxy平面内的Magnus力理论上在减小y方向位移的同时会增大x方向位移，但y方向最大高度的减小会使运动时间变短，反而会导致x方向位移减小，如图4(b)所示，曲线y<0的部分往往是不能实现的.

4 结论

实际过程中球类的运动是很复杂的，除了我们考虑到的速度、角速度、球的直径和质量之外，还受球表面粗糙度、空气流速、环境温湿度等多个因素影响,想要准确的描述球类的运动轨迹是很困难的.本文旨在模拟影响球类轨迹，尤其是弧线轨迹的一个很主要的因素——Magnus效应.通过对Magnus力的可能情况分析，可以解释球类比赛中很多奇特的“曲线球”现象.

足球中的“香蕉球”和“枯叶球”就是对Magnus效应很好的应用.香蕉球是指球在向前飞行的同时还会向一侧偏转的现象.这是水平方向Magnus力作用的结果.给球一个在Oxy平面内的角速度，会使得球在z方向发生偏转，出现斜向的弧线.枯叶球是指踢出的球当靠近球门时会突然下沉，就如一片枯叶从树上落下.其原理是给球一个在水平方向的角速度(即：使球向前旋进)，会使前进方向位移发生变化，在初速度很大的情况下可能发生急坠现象.

在乒乓球运动中，击球时球拍与球发生摩擦，造成“旋球”，其旋转种类分为：上旋、下旋、左侧旋、右侧旋、顺旋、逆旋六种，实际就是ω分别沿x、y、z三个轴正或负方向旋转的情况，同时不同轴间角速度还可以任意组合，形成多样的小球运动方式.