借几何直观之感乘提升素养之美

摘要：在数学教学中，几何直观有着极为重要的作用，借助几何直观，可以使得复杂问题简单化，抽象问题形象化，隐藏问题直观化.利用图形的几何直观的特征，可以充分培养学生数学抽象，直观想象等数学核心素养，有效落实“四基四能”.

关键词：核心素养;几何直观;直观想象

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）09-0052-03

收稿日期：2021-12-25

作者简介：杨宪伟（1986.9-），男，陕西省榆林人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

笔者在两节高三习题课的教学中，经历了学生利用几何直观理解数学知识并迁移应用，几何直观的作用使得学生站在更高的角度思考问题，在整个教学过程中，学生始终是课堂的主体，参与知识发生、发展的全过程，学生的核心素养和分析解决问题的能力都得到了提升，令人印象深刻.

师：这个小组的同学采用的就是最常见的求解直线与圆锥曲线的位置关系问题的方法，一般就是设点设线联立解决问题.

生2：我们组采用的是点差法，过程如下：

师：在涉及到弦的中点时可以采用此方法

生3：我们组采用的化椭为圆的方法，过程如下：

师：大家觉得这个小组这种方法怎么样？此时教室响起了热烈的掌声.大家觉得这个方法好在什么地方？

生4：化椭为圆，利用圆的几何性质解决问题.

师：大家都说得非常好，但是注意使用的时候要重点关注不同坐标系下同一量之间的关系，还有就是并不是所有的椭圆的题目都可以用这个方法解决.老师现将此题改编一下，大家继续思考.

变式1此题的条件不变，问题改为：求△AOB的面积S的最大值以及取最大值时点M的轨迹方程.

师：请同学们思考此题还能用化椭为圆的办法吗？如果能使用的过程应该注意什么？

生5：我觉得可以，应该注意不同坐标系下面积之间的关系.

师：好的，那大家试着按照你们的思路完成本题.

生6：我们完成了，结果如下：

师：太棒了，老师突然想到了四川省的一道高考压轴题，老师按那个题的背景和难度再改编一下此题，同学们再试一试.

学生探究片刻后，教师提问.

师：请同学们思考此题还能用化椭为圆的办法吗？

生：好像不能.

师：这个题目你们取得了哪些突破？遇到了哪些困难？

师：很好，那我们先探究一下不同坐标系下线段长度之间的关系，其实也就是弦长的关系.同学们思考如何用坐标表示弦长？

师：同学们尝试按生8的思路解决问题.

最后生8最先得到结果，具体如下：

生1：我们组采用的是坐标法，过程如下：

师：非常棒，但是对于最值问题我们还要验证等号是否能够成立，本题中θ+φ=π2时取等号，容易验证等号可以成立，但必须严谨说明.事实上，本题还可以使用判别式法、柯西不等式等方法求解，大家可以课后尝试，但是不管采用哪种方法，对大家的数学思维和数学运算能力要求都很高，同学们思考我们能否使用几何法解决问题？

师生共同探究用几何法解决问题.

师：我们得到的这个等式称为“极化恒等式”，它可以将两个向量的数量积用两个几何长度来表示，请同学们仔细体会其中蕴含的数学思想和方法.

师生共同总結几何法的特点和优点.

3 教学启示

借助几何直观可以有效提升学生直观想象的数学核心素养，从概念层面看，借助几何直观可以丰富事物表征，完善问题结构，理解抽象概念.从思想层面看，借助几何直观可以以形助数，数形结合.从心理学角度看，借助几何直观可以用图形思考，为学习者建立学习的信心.

高中数学中集合、函数、立体几何、解析几何、平面向量与解三角形等模块的知识都需要教师借助几何直观帮助学生理解数学本质，通过这些课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力;增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识;形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2018.

责任编辑：李璟