基于衔接教学的一元二次不等式含参数讨论

曹彬

摘要：一元二次不等式的解法是初高中数学衔接课程中的重要内容之一，其中含参数讨论是学生普遍认为困难的，容易产生逻辑思维混乱和解题心理不佳的情况.本文探索解决一元二次不等式含参数讨论的一般步骤，通过四个问题：是否是二次不等式？对应函数图象开口如何？对应方程是否有根？根的大小如何？指引学生完成讨论，并形成规范的解题思路，而且这种思路推广到解决含参数分式不等式、绝对值不等式依然适用.

关键词：衔接教学;一元二次不等式;解题思路

中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）09-0011-02

关于x的一元二次不等式ax+bx+c>0（a≠0）的解法是初高中数学衔接课程中的重要内容之一，而含参数一元二次不等式解集讨论是这一节中同学们普遍感到困难的部分，这类题融合了分类讨论和数形結合思想，考查直观想象、数学运算等能力.同学们做这类题时，容易出现方向不明、思路不清、叙述不对、讨论不全等问题.柏佳楠老师通过调查研究，发现同学们在讨论含参数一元二次不等式的解集时出现解题过程逻辑混乱以及解题心理不佳等情况，也提出了一些切实可行的解决策略，但没有提出讨论的具体步骤.

对于刚刚升入高中的学生，怎么讨论含参数一元二次不等式的解集呢？当然，不等式ax+bx+c>0不一定是一元二次不等式，显然这一步是讨论过程中的第一步.若满足a≠0，求一元二次不等式的解集的常用步骤是：解对应一元二次方程的根;画对应一元二次函数的图像;写一元二次不等式的解（其实这也是求其他类型不等式的常用步骤）.根据上述步骤，在讨论含参数一元二次不等式的解集时，心里默默地询问自己如下四个问题，问题解答过程就是分类讨论过程，这四个问题是：①是否是二次不等式？②对应函数图象开口如何？③对应方程是否有根？④根的大小如何？推动继续分类讨论的理由就是答案的“不确定”.接下来展示一下解题过程.

1 解题过程

例1已知a为常数，解关于x的不等式：ax-2（a-1）x-4≤0.

解析①是否是二次不等式？答：不一定，需要讨论a是否为0.

当a=0时，原不等式化为2x-4≤0，此时解集为{x|x≤2}.

当a≠0时，②对应函数图象开口如何？答：不确定，需要讨论a的正负.

原不等式转化为：（ax+2）（x-2）≤0

若a>0时，

③对应方程是否有根？答：有.

对应方程的根为2，-2/a，

④根的大小如何？答：2>-2/a

因为-2/a<0<2，

所以此时不等式的解集为：{x|-2/a≤x≤2}

若a<0时，对应方程的根为2，-2/a，

④根的大小如何？答：此时要讨论a与-1的大小.

令2>-2/a，可得a<-1

当a<-1时，不等式的解集为：{x|x≤-2/a或x≥2}

当a=-1时，不等式的解集为：{x|x=2}

当a>-1时，不等式的解集为：{x|x≤2或x≥-2/a}

综上所述略过.

2 方法推广

解决一道题的目的是为了解决一类题.在初高中数学衔接教学阶段，还会遇到含参数分式不等式、绝对值不等式，上述解题思路还能用吗？其实，稍作变化仍然适用.

例2解关于x的不等式ax+1/（x-1）（x+2）<0.

解析原不等式等价于（ax+1）（x-1）（x+2）<0

①是否是三次不等式？答：不一定，需要讨论a是否为0.

当a=0时，不等式转化为：（x-1）（x+2）<0

所以解集为：{x|-2<x<1}

当a≠0时，

②对应函数图象如何？答：采用“数轴穿根法”画函数的简图，图象与a的正负有关.

当a>0时

③对应方程是否有根？答：有.

对应方程的根为-1/a，-2，1

④根的大小如何？答：此时要讨论-1/a，-2，1的大小.

若0<a<1/2时，-1/a<-2<1，解集为：{x|x<-1/a或-2<x<1}，

若a=1/2时，-1/a=-2<1，解集为：{x|x<1且x≠-2}，若a>1/2时，-2<-1/a<1，解集为：{x|x<-2或-1/a<x<1}，当a<0时的讨论过程类似.

例3解关于x的不等式|2x-1|≤ax（a>0）.

解析①是否能拆开绝对值符号？答：能，ax的正负不影响解集.

原不等式等价于-ax≤2x-1≤ax.

即等价于不等式组（a+2）x≥1（a-2）x≥-1

②是否是一次不等式组？答：不一定，需要讨论a是否为2.

当a=2时，不等式组的解集为{x|x≥1/4}

当a≠2时

③对应函数图象如何？答：一次函数.

若a>2时，④每个方程是否有根？答：有，分别是1a+2和-1a-2.

⑤根的大小如何？答：1/ a+2>-1/a-2.

解集为{x|x≥1/a+2}

若0<a<2，解集为{x|1/a+2≤x≤-1/a-2}.

此题的解法很多，最好的方法是数形结合法.

天下难事必作于易，通过问题形式，将分类讨论的过程结构化、步骤化，防止在讨论过程中漏掉必要的步骤，或者避免在讨论过程中思维凌乱，这也是解决其他分类讨论问题常用的方法.

参考文献：

[1]柏佳楠.高中生一元二次不等式解题错误现状的调查研究[D].上海：上海师范大学，2021.

[2] 余树宝.关注“三高”优化教学——以“含参数的一元二次不等式的求解”教学为例[J].中学教研（数学），2021（03）：10-13.

责任编辑：李璟