以“点”代“线”优化抛物线中两类“热点”问题

霍忠林

抛物线的标准方程（比如y2=2ax，a≠0）中既含有二次项又含有-次项，可以用“二次”来表示“-次”，这样抛物线上任意一点均可以表示为（y）（不妨称为“设点”）。这种设法避开了常规的“设线”方法，这种处理手段对于处理抛物线中“与直线斜率相关的问题”和“直线过定点问题”这两类热点问题常常具有出奇制胜的效果。下面我们先来回顾两个常见的结论。

抛物线y=2ax（a≠0）上不同的两点且直线

抛物线x2=2ay（a≠0）上不同的两点且直线

程与结论一相似，不再赘述）

类型一抛物线中与直线斜率相关的问题

点B作直线AP的垂线，垂足为Q，求直线AP的斜率的取值范围。

解析：由结论二得飞AP=

点评：本题直接利用结论二来求抛物线上两点的斜率，方法简单快捷，直截了当。

例2已知抛物线C：y2=2px，且过点A（1，1）。

（1）求抛物线C的方程;

（2）过点P（3，-1）的直线与抛物线C交于两个不同两点M，N（均与点A不重合），设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值。

解析：（1）易得y2=x。

（2）設M（y，y1），N（y，y2）。

当直线MN斜率存在时，由结论一得

当直线MN斜率不存在时，易知其方程为x=3，与抛物线交于（3，3），（3，-3），

例3抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N，证明：直线MN与直线AB的斜率之比为定值。

=2（定值）。

点评：上述两个例题涉及的，点较多，如果通过“设线”来处理会非常烦琐，而通过“设，点”来处理，则快速简捷，易于同学们吸收和掌握。但是要注意当抛物线上两，点所在直线过某，点时，通过三，点共线来处理会更好。

类型二抛物线中直线过定点问题

一般地，探求直线y=kx+m过定点问题，就是寻求k和m的-次关系。比如若k=2m+1，则直线y=kx+m=（2m+1）x+m=（2x+1）m+x，所以该直线过定点y1y2这两个“量”的-次关系。因此，通过“设点”来处理直线过定点问题的关键就是寻找y1+y2和y1y2的-次关系。

例4已知直线y=x-2与抛物线y2=2px（力》0）相交于A，B两点，且OA⊥OB，定点C（4，2），D（-4，0），M是抛物线上一动点。设直线CM，DM与抛物线的另一个交点分别是E，F。

（1）求抛物线的方程;

（2）求证当M点在抛物线上变动时（只要点E，F存在且不重合），直线EF恒过一个定点，并求出这个定点坐标

由结论-知，直线EF方程为y=

点（4，4）。

解析几何的学习对同学们的数学运算能力要求很高，很多时候同学们有解题思路但面对“烦琐”的运算常常自信心不足。因此，在高考备考中，同学们要夯实计算基础，总结优化策略，这样才能实现精准备考。

（责任编辑 徐利杰）