懸力无限的焦点三角形

廖庆伟

与焦点三角形有关的问题在双曲线中经常出现，常考题型是求离心率、角度、面积、最值、焦点弦、距离等问题。解题时一般用到定义、正弦定理或余弦定理，也涉及三个基本量间的关系，故要仔细审题，选准解题方法。

一、离心率问题

解析：由（OP+OF2）·F2户=0，得（O3+OF2）·（O2-OF2）=0，即1OP12-1OF212=0，所以1OP|=OF21=c。

在△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的-半，则PF1⊥PF2，即|PF1|2+|PF212=4c2。由|PF1|-|PF2|=2a，及题意可得|PF：|=3|PF2|=（3+3）a，|PF2|=（1+/3）a。

则F1F2=2c，且F1F2=2PF2，所以e=3+1，选A。

点评：解决双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于α，b，c的方程或不等式，再根据α，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式时，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的取值范围等知识。

二、角度问题

例2（2021年安徽黄山市-诊）双曲与直线x+2y+1=0垂直，F，，F，为双曲线C的焦点，A为双曲线C上一点，若F1A=2|F2A|，则cos∠AF2F1等于（）。

解析：因为双曲线的-条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，所以b=2a。

又F1A=2|F2A，且|F1A|-F2A=2a，所以|F2A|=2a，|F1A|=4a。

从而c2=5a2，则2c=2/5a。

点评：在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，并且结合||PF1|-|PF2「=2a，经常运用平方的方法解题。

三、面积问题

的左、右焦点，P是双曲线在第一象限内的一点，且3|PF1=4PF2|，则△PF1F2的面积等于（）。

A.4/2

B.83

C.24

D.48

故选C。

点评：在应用双曲线定义时，要注意定義中的条件，搞清所求轨迹是双曲线还是双曲线的-支，若是双曲线的-支，则需确定是那一支。

四、取值范围与最值问题

例4已知M（xo，yo）是双曲线C：

点评：点在双曲线上，则，点的坐标满足双曲线方程。

例5已知动点P在双曲线C：x2-

点评：用基本不等式求最值，应注意等号成立的条件。

五、焦半径问题

故PF2=PF1+8=17。

点评：圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段，叫作圆锥曲线的焦半径。圆锥曲线上一点到焦，点的距离不是定值。

六、距离问题

例7已知O为坐标原点，设F1、F2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则OH=

解析：如图1所示，

延长F1H交PF2于点Q。

由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥FQ，可知PF1=PQ。根据双曲线的定义，得|PF2|-|PF1I=2，从而|QF2|=2。

在△FQF2中，易知OH为中位线，故OH=1。

点评：双曲线x2-y2=1是等轴双曲线，其离心率为2，渐近线方程为y=士x，角平分线上的点到角的两边的距离相等。注意OP不是∠F1PF2的角平分线。

（责任编辑 徐利杰）