直观想象妙解题 数学运算见真功

【摘 要】 探究二次函数动态问题时，重点研究变中不变的量，抓住问题本质，尝试画示意图进行直观想象，整体感知图形变化的趋势，会从“数”“形”两个角度对函数进行探究，突出数形结合思想，形成符合学生认知的自然解法，通过理性思维减少运算量.

【关键词】 数形结合;分离变量;整体感知1 试题呈现

（2021年南京中考）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（-2，1），（2，-3）两点.

（1）求b的值;

（2）当c>-1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是________;

（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点.当-1

2 试题解读

2.1 立足教材，基于标准

试题以苏科版九年级下“5.3用待定系数法确定二次函数表达式”为命题导向，基于《義务教育数学课程标准（2011版）》的“通过图象了解二次函数的性质”能力目标要求，将图形的运动与二次函数进行深度融合，从而实现以形助数，以数解形.从三点确定抛物线的视角出发，试题中的抛物线经过两个定点，因此抛物线随着第三个点的变化而变化，抛物线的图象随着第三个点的确定而确定.本题以递进的形式对动态问题进行考查，三个小问关注了二次函数表达式的系数a，b，c对抛物线图象特征的影响，以“数和形”的互相转化加深对函数的研究，体现了试题对学生几何直观、运算能力和推理能力的培养.

2.2 关注过程，积累经验

知识的主要载体是课本，智慧则形成于获得经验的过程中，形成于经历的活动中[1].课堂教学要关注学生的体验和操作，关注学生对于试题的探索过程和解题经验的积累.试题中的二次函数经过（-2，1），（2，-3）两个定点，条件c=-1和m=-1是等价的，这个位置是三点共线的状态，经过这个位置之后抛物线的形状有什么变化？平时研究a的正负和大小对抛物线的形状和大小的经验在本题中可以迁移，函数性质的探究可以借助于图象的直观.在解决的过程中，关注学生对于问题的表征并深入思考，重点关注形的变化，辅以得到数的变化，突出数形结合的思想，发展几何直观和归纳抽象的能力.同时，从特殊到一般，再到特殊的数学研究方法体现在解决问题的过程中，探究问题也遵循这个套路.

2.3 以小见大，凸显素养

试题的小体现以下三个方面：首先题干简洁短小，通俗易懂;其次解答过程简短，要求明晰，不需要书写繁杂的过程，也是学生和教师最爱的试题类型之一;最后就是思考过程的精炼，只要想明白图象的运动过程，辅以简单运算，答案轻松获得.小的背后也蕴含了大，首先题干对于a，b，c的多角度探究，考查全面，区分度高;其次直接写答案呈现的方式对思维要求较高，不足之处是得分率会有所下降;最后，数形结合百般好，对学生理解问题提出较高要求，几何直观能力凸显.如果形的直观弱一些，可以用数的精准来替代，不过对方法的选择、运算能力都是一次大的挑战.

一道好的试题应该秉持以小见大的精神，做一题，会一类，通一片是我们的追求，正如章建跃博士所言：教好的数学就是落实核心素养.对于笔者而言，选择一道试题、激发一点灵感、讲好所有困惑，这就是在落实素养.试题从数到形经历了数学抽象、直观想象，再从形到数发展了逻辑推理和数学运算能力，最终形成学生的核心素养.

3 试题解析

3.1 顶点最值.

下面对第（2）问进行研究.

解法1 以形助数.

由于三点确定抛物线，已知函数的图象经过两个定点，此时抛物线不能确定，当限定c的范围时，可以对抛物线进行定性和定量研究.利用图象对抛物线进行探究，“形”会使得“数”更加直观，我们不妨从图形运动的角度来探究.

当c=-1时，此时（-2，1），（0，-1），（2，-3）三点共线，无法构成抛物线.

当c>-1时，图象经过（-2，1），（2，-3）两点，尝试画草图，如图1、图2，图象开口方向必向下，并且顶点的纵坐标随着c的变化而变化，由于图象过（-2，1），所以顶点的纵坐标≥1.

如果顶点的纵坐标等于1，此时顶点为（-2，1），故设二次函数y=a（x+2）2+1.将（2，-3）代入，可得16a+1=-3，所以a=-14，因此二次函数表达式为：y=-14（x+2）2+1.此时c=0符合题意，故该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是1.

5.3 解法要利于素养发展

数学思想和方法是数学的灵魂，它是从具体数学知识中提炼和概括起来的，在解题时应尽力去挖掘和提炼题目中所蕴含的的思想方法，数学思想能把握数学本质，为后续的学习积累经验.通过这样的体验，让学生去感悟、体验其中的数学味道，从而加强学生理解数学的能力，提高学生的思维品质，促进思想的内化，从而落实素养，数学思想是数学知识通往数学核心素养的桥梁.试题的解法从整体视角认识函数零点，思路清晰，过程简洁，但背后是对图形运动过程的深刻认识和归纳，使得数形结合、一般与特殊的转化思想得以渗透.拓展研究体现了对于问题本质深层次的认识，使得直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理等素养得到不断深化和提升.

参考文献

[1]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]刘生根.建构适切情境，彰显知识自然生长——以“探索确定位置的方法”教学为例[J].中学数学教学参考（中旬），2020（06）：21-24.

作者简介 王强（1987—），男，江苏南京人，中学高级教师;荣获伊犁州优秀援疆教师，伊宁市优秀教师，南京市优秀青年教师，南京市秦淮区数学学科带头人;获江苏省初中数学优质课比赛一等奖.