识图—析图—研图 彰显思维品质

2022-03-24 18:54贺彦斌
中学数学杂志(初中版) 2022年1期
关键词:方法策略课堂教学

【摘 要】 课堂教学中正确引导学生识图、析图、研图,可以帮助充分理解图形的本质,使问题得到不断分解和转化.启发学生从不同角度观察、思考、探索解决问题的途径,让学生参与到问题的探索中,感受在变化中不变的规律,以达到梳理知识结构,完善知识体系,培养学生思维品质和促进教学的目的.

【关键词】 课堂教学;图形构建;方法策略

习题讲评课是一线教师较为头疼的一类课型,课堂上教师往往会采取一讲到底的形式,而学生也只是一味地接受教师的讲授.久而久之,班级中学习能力较为薄弱的学生对习题讲评课越来越不感兴趣,对学生数学能力的发展极其不利.笔者在八年级平行四边形这一章后的一次习题讲评课中,对一道四边形习题进行深入挖掘,对平行四边形的判定及中位线的性质进行了回顾.以下就这一题的分析进行总结梳理,与大家共同分享.

1 原题呈现

如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合).DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连结AE.

(1)如图1,当点D与M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形;

(2)如图2,当点D不与M重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.

2 教学片段

师:你想通过哪个判定定理来判定这一四边形是平行四边形?

生1:一组对边分别平行且相等.

师:为什么用这一判定方法?

生1:因为已经知道了AB∥DE,只要再让AB与DE相等即可.

师:那么,要证明两条线段相等,常用的方法是什么?

生1:三角形全等.

师:非常好,请你说一说具体的证明过程.

生1:因为DE∥AB,所以∠EDC=∠ABM,因为CE∥AM,所以∠ECD=∠ADB,

又因为AM是△ABC的中线,且D与M重合,所以BD=DC,所以△ABD≌△EDC,

所以AB=ED,又因为AB∥ED,所以四边形ABDE为平行四边形.

评析 第(1)小题的教学采用师生对话的形式,在提问时突出对平行四边形判定的引导,根据题目中已有的条件,选择合适的判定定理解决问题,进一步转化成三角形全等来证明两条线段长度相等.在教学中,对于解题方法的引导至关重要,教师在课堂上可以进一步追问:已经知道了一组对边平行,除了证这一组对边相等之外,还可以有什么方法?从而达到对数学核心知识挖掘的目的.

师:请大家观察第(1)小题与第(2)小题的联系和区别,请组内交流解决问题的方法.

生2:(解法一)结论成立,理由如下:

如图3,过点M作MG∥DE交EC于点G,因为CE∥AM,所以四边形DMGE为平行四边形,所以ED=GM且ED∥GM,由(1)可得AB=GM且AB∥GM,所以AB=ED且AB∥ED.所以四边形ABDE为平行四边形.

师:你是如何想到添加这一辅助线的?

生2:我发现了这一小题D点在动,但是始终有平行,所以想把这个问题转化成第(1)小题.

师:非常好,这位同学通过构造一组平行线发现了依旧有三角形全等,同时根据平行四边形的对边相等进行等线段的转化.那么,大家还有不同的构造平行四边形的方法吗?

生3:(解法二)如图3,在EC上截取EG=MD,构造出DMGE,可得DE=MG,再由(1)可得AB=MG,则AB=DE,所以四边形ABDE为平行四边形.

师:这两位同学虽然辅助线添加的方法不一样,但都是想通过构造平行四边形解决问题.其实,我们也可以看作相当于把这个动点D“拉回到”起始点.这种“回到原点”的想法,在解题过程中非常重要.那么,大家想一想,是否还有不同的构造方法?

生4:(解法三)如图4,过点D作DN∥BC交EC于点N,因为CE∥AM,所以四边形DMCN为平行四边形,所以DN=CM且ND∥CM,则由M是BC的中点得MB=MC,所以MB=DN.从而可证△ABM≌△EDN.

所以AB=ED,AB∥ED.所以四边形ABDE为平行四边形.

师:这种做法非常巧妙,刚才我们把D点“拉回来”,而现在我们是把M“移上去”.同样也出现了三角形全等和平行四边形,其问题解决的本质是一致的.

生5:(解法四)如图4,在EC上取点N使CN=DM,连接DN,则四边形DMCN是平行四边形,同样可证△ABM≌△EDN,所以AB=ED且AB∥ED.所以四边形ABDE为平行四边形.

评析 方法一与方法二都是构造出DMGE,方法三与方法四都是构造出DMCN,他们分别在已知一组对边平行的情况下,根据平行四边形的判定定理,再使得这组对边相等或另一组对边平行来实现构造.其目的是通过等线段的转化,实现AB与DE相等.虽然构造的方法略有不同,但其本质是一致的,都转化为了第(1)小题中“双平行、等线段证全等”的问题(如图5所示).通过学生的回答,让学生进一步明确了在已知一组边平行的基础上,要得到平行四边形可以通过这组边相等或另一组边平行来证明.教学中应突出对问题本质的挖掘,让学生体会不同辅助线的添法背后所蕴含的解决问题的方法——得到一对全等三角形和一个平行四边形,故也可以通过如下辅助线的添法:过点E作EQ∥BC交MA的延长线于点Q,则得QMCE和△ABM≌△DEQ(如图6),具体证明过程就不再赘述.

生6:(解法五)如图7所示,已知M是BC的中点,则可取相邻一边EC的中点N,连接MN,BE,则MN是△BCE的中位线,记AM与BE交于点O,则MN∥BE,故图中又出现“双平行,等线段”图形(如图2),故△OBM≌△NMC,所以得BO=MN,又因为MN∥BE,MA∥EC,则四邊形OMNE是平行四边形,所以MN=OE,所以OB=OE,故可以证△OBA≌△OED,得AO=DO,则四边形ABDE为平行四边形.

师:你是怎么想到这一做法的?

生6:我看到题目中有一个中点,那就想到是否可以通过中位线来证明.发现题目中只有一个中点,便想再找一个中点,来构造出一条三角形的中位线,就可以证明了.

评析 上述证法看似有些繁琐,但是学生借助条件中的中点构造出中位线,再借助第(1)小题中所出现的全等三角形来解决问题,抓住了问题的本质,抓住了核心图形——“双平行、等线段证全等”(如图8).在教学的过程中,通过对中点的引导,可以帮助学生解决问题.但本题对中点的探究不

止于此,学生又提出可以用“倍长中线法”来解决这一问题,经过讨论,便得到了以下证法.

生7:(解法六)如图9所示,延长AM至点P,使得AM=MP,连接PC,易证△ABM≌△PCM,所以AB∥PC且AB=PC,由AP∥EC,DE∥PC得四边形DPCE是平行四边形,所以DE=PC,所以AB∥DE且AB=DE,所以四边形ABDE是平行四边形.

师:同学们都非常善于思考问题,都对题目中给出的条件进行了深入挖掘,能抓住问题的本质,对平行四边形的各种判定方法融会贯通,并有很多解题经验的积累和应用.那么,让我们进一步思考:若点D在直线AM上运动,四边形ABDE始终是平行四边形吗?请同学们自主画图探究.

评析 以上问题的提出是基于对这一问题本质的进一步挖掘,其目的是检测学生是否能在变化的过程中,抓住核心问题,找到基本图形来解决问题.同时通過画图,让学生感受在变化中不变的规律,从而激发学生探寻知识的激情.通过学生自主探索,再加以几何画板的演示(如图10、图11),实现对这一问题的升华.

3 教学启示

习题讲评课是初中数学课堂中的常见课型,通过习题教学可以帮助学生解决问题、消化某些困惑,纠正问题,同时也能达到梳理知识结构、完善知识系统,培养学生思维能力和促进教学的目的.当下的数学课堂注重对学生素养能力的培养,在教学中正确引导学生“识图、析图、研图”至关重要,因此在教学中应注重以下几点.

3.1 选少题,选好题

教师在筹划选题时,应根据学情,结合教学重点,有侧重地讲题.对于综合性较强的题,通过对问题的层层深入,在符合学生认知规律的基础上,对不同层次的学生提出不同的要求,这样才能收到实效.在本节课的教学中,选择这一中考题是因为其考察的知识是平行四边形的判定,对于学生目前所学内容有较强的针对性.本题虽有一定的难度,但在教学的设计上,通过教师的层层引导,对平行四边形的几种判定方法均进行了合理有效的使用,让学习在一题的研究中达到对基础知识的梳理和总结的效果.

3.2 重启发,讲透题

教学中教师应注重启发的层次和角度.对于一道题,教师要善于通过层层启发,使问题得到不断分解和转化.启发学生从不同角度观察、思考、探索解决问题的途径,让更多的学生参与到问题的探究中,从而拓宽学生的思路,达到培养学生高阶思维的目的.在本节课的教学中,教师在每个方法得出后都能进行方法的提炼,对问题的本质进行深入挖掘,并在学生遇到困难时给予一定的启发,让多种思维在课堂上碰撞,激发学生的求知欲,对各种解题方法的得出也有理有据,明确了思考的方向,对问题的探索也逐渐明朗.

3.3 勤提炼,留遐想

课堂的精彩源于学生,源于对本质的挖掘.若教师能在习题讲解后通过提炼得出解决此类问题的一般方法,或者帮助学生突破题意解决问题,这对学生的帮助是巨大的.本习题课的教学中,教师最后对学生如何合理使用中点提出自己的想法,让学生感受中点的价值.同时,为了能让学生更好地理解变化中不变的基本图形,教师提出若点D在直线AM上运动时,是否还有一样的结论.通过几何画板的演示,让学生充分理解了这一图形的本质,留给学生充分想象的空间.

世人常说世事应遵从“合情合理”,笔者以为,我们的课堂教学,也应该追求一种“合情合理”的境界.当我们看到,每一个教学环节都是那样的顺畅、每一个问题都是那样的自然、每一个学生都是那样的心领神会时,细细品味,你会感觉到一切已尽在情理之中[1].参考文献[1]刘金英.一切尽在情理之中——对“平行四边形”概念教学的认识[J].中国数学教育,2010(05):12-13.

作者简介 贺彦斌(1987—),男,浙江普陀人,中学一级教师;浙江省教坛新秀,曾获浙江省初中数学优质课评比一等奖,第九届全国初中数学青年教师优秀课评比一等奖;主要研究课堂教学方法与实践.

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