基于圆锥曲线教学谈学生数学运算能力的培养

高红磊

[摘  要] 数学运算是解决数学问题的基本手段，圆锥曲线问题是典型的运算问题，良好的运算能力是学生学习圆锥曲线必备的基本功.影响学生运算能力的原因是多方面的，教师应着眼于多个角度出发，从根本上改善學生的运算能力.

[关键词] 圆锥曲线;教学;数学运算能力;培养

在高考试题中，圆锥曲线问题是典型的运算问题，它考查的重点在于检验学生的逻辑推理能力及运算求解能力. 由于圆锥曲线问题中需要处理的量比较多，导致它的运算比较复杂，学习这部分内容对运算能力的要求远高于学习其他内容，学生普遍反映难度较大，在高三的历次模拟考试中，能够将圆锥曲线这道大题完整做下来的学生寥寥无几. 数学运算是数学六大核心素养之一，培养学生正确运算、合理运算、迅速运算的能力对于改善学生的数学思维、发展学生的数学素养都有着重要的作用. 本文章主要基于圆锥曲线的教学谈谈如何培养学生的数学运算能力.

[⇩] 影响学生数学运算能力的原因分析

在目前的高中数学学习中，部分学生的数学运算能力是比较差的，这也导致这些学生的数学水平停滞不前. 出现这样的现象，不仅与教师的教学方式有关，而且与学生自身的因素也有关，具体原因有以下几方面：

1. 教师的教学方式不合理

由于高中学习时间紧、任务重，部分教师在课堂上讲题时经常讲解一下解题思路就过去了，他们认为学生已经学习数学多年，数学运算是学生早就应该掌握的基本能力，所以在教学中常会忽视具体的运算过程及细节方法，然而当学生遇到圆锥曲线等运算比较复杂的问题时，常会感到无从下手或题目做到一半就无法再做下去了. 因此，教师在讲题时，不应该只讲解方法而不见细节和过程，应该重视运算规范、合理与简便的教学，从学生的实际障碍出发，切实解决学生的运算困难.

2. 学生的知识结构不完整

基础知识掌握得好坏是影响学生运算能力水平高低的一个重要方面. 如果学生对基础知识掌握得不好，该记的公式不记，该背的结论不背，无法在头脑中形成完整的知识结构，做不到融会贯通，从而做题时就会出现知识点“断链”的情况，无法将学过的知识顺畅地、正确地进行迁移和运用，进而无法解出题目，表现为运算能力较差. 数学思想方法对运算能力的影响也非常大，如果学生做题时对题目缺乏清晰的思想方法，那么就会无从下手;反之，如果学生对解题思路非常熟悉，那么运算的准确率就会提高.

3. 学生的运算方法选取不当

在日常教学中，笔者经常发现，部分学生做题时虽然能够理解题意，可以得出需要求解的关系式，但由于选取的运算方法不当，使得运算过程过于冗杂，计算难度加大，最后不仅浪费了很多时间，而且容易导致运算出错. 我们平时所做的题目，多数都是“一题多解”，若学生能找到一种便捷的方法，则能使解题过程处于一个比较高的角度，从而快速准确地解决题目.

4. 学生不良的运算习惯

俗话说，“细节决定成败”. 在数学运算时，一个小小的失误就会导致整个运算过程失败. 学生常见的不良的运算习惯有：审题不认真，漏掉了重要的题目信息;挖掘题目信息的能力薄弱，只看到题目表面的条件，而找不到隐藏的条件;过分依赖计算器，导致“简单计算不愿算，复杂计算算不来”;疏于动手、懒于思考让他们在运算格式和步骤上常常出现不规范、不完整的现象，在稍有难度的运算前容易产生放弃的念头.这样一些不良的运算习惯，在高中学生群体中并不是个别现象.

[⇩] 着眼于多个角度，提高运算能力

良好的运算能力是学生学习圆锥曲线必备的基本功.影响学生运算能力的原因是多方面的，所以教师应着眼于多个角度，先从自身运算做起，加强学生掌握基础知识，同时渗透必要的运算方法，再配合合理的训练方式，着重培养学生良好的运算习惯，从根本上改善学生的运算能力.

1. 切实做好示范，规范运算过程

运算圆锥曲线往往需要较多的步骤才能完成，但一些学生三两步就写完了，常在考试中无意义地失分. 教师在督促学生规范运算过程时，自身也要做好表率：要求学生的运算过程按部有序，教师自己在黑板上板书时也要做到规范工整;要求学生动笔运算，教师自己也要努力践行;要求学生运算过程完整，教师自己也要运算到最后.除了教师板书的过程外，学生课堂板演也是非常有效的教学环节，能够及时反馈学生在解题中对各种运算技巧和思想方法的掌握情况，通过学生运算过程的完整展现和教师当堂批改、点评和完善，以使教师对学生、学生相互之间、学生对自己在运算过程中矫正错误.

2. 循序渐进，加强基础知识学习

落实基础知识，掌握基本的概念、公式、结论是学好数学的基石，也是提高运算准确的重要前提，但数学知识的学习是一个慢慢积累、循序渐进的过程. 学习新课时，教师可以向学生讲授基本的概念、公式等，接着可以通过适量的练习使学生将新的概念理解透彻，将公式运用熟练. 在练习的过程中，教师还可以引领学生归纳整理，总结出解题的思想方法或常用的结论，帮助学生形成完整的知识体系，使学生遇到相似的问题时能够在较短时间内获得解题思路，顺畅地迁移和应用所掌握的结论、方法，使知识体系成为运算路上的“加速器”.

3. 培养解题意识，积累运算方法

第一，化简意识. 在教学中，教师应重视学生化简意识的培养，要求学生在运算过程中通过观察式子的特点、数据的特征，合理运用运算性质或规律，自觉地进行化简，这样有利于培养学生思维的灵活性，也能提高运算的速度和质量. 比如：联立圆锥曲线方程与直线方程时，去分母而化简;求面积的最值时，换元而化简;求双曲线-=1（a>0，b>0）的离心率时，若a，b，c有倍数关系，可设a=1而化简，等等.

第二，目标意识.经常有学生反映：“这些公式我都会，但做题时没有想到.” 这就是解题时学生的思维受到了限制，面对问题时不知该从何入手. 在这里培养学生的目标意识非常重要，如果没有运算目标的指引，那么合理的运算路径会很难形成. 在教学中，教师应提醒学生运算时要从多个方面、多个角度去考虑问题. 比如：有些较难的问题与知识的联系可能没有那么明显，这时就应该通过细致入微的观察，对题目中明显或隐含的条件进行综合分析，建立已知条件与所求目标的联系，进而打开问题的缺口，找到合理的运算方法.

（1）求椭圆C的方程;

（2）若直线y=k（x-1）（1≤k≤2）与y轴相交于点P，与椭圆C相交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求的取值范围.

此题是本校最近一次模拟考试中关于圆锥曲线的大题，笔者所教的两个班（分别是“史地化”组合和“政地技”组合）学生的解答情况非常不理想，很多学生解答第（1）问时就栽了跟头，不知该从哪里入手.因此在讲解第（1）问时，笔者着重引导学生寻找运算目标、探索解题路径：

师：本题解答的目标是什么？

生：求椭圆C的方程.

师：思路是什么？

生：列出关于a，b的方程，求出a，b的值.

师：由已知条件能得出哪些结论？

4. 培养运算习惯，重视解题细节

培养良好的运算习惯，往往能使解题运算达到事半功倍的效果. 比如：培养学生认真审题的习惯，只有把题目读懂了，清楚地知道问题的已知条件与所求目标，了解到由已知条件可以得出哪些结论，可以利用哪些公式解题，才能找到正确的解题思路，选择恰当的方法解题，只有知己知彼，才能成竹在胸;培养学生善用草稿本的习惯，学生在草稿纸上书写的不仅是独立的算式，更是整个运算的脉络，清晰规范的书写更有利于学生对运算过程的检查和校对，而潦草的笔迹、不规范的步骤会使运算过程更容易发生错误;培养学生整理错题集的习惯，要求学生及时把课堂练习、作业以及试卷中出现的错误记录下来，但错题集不是简单的错题摘抄，而是将题目分类整理，标明出现错误的原因，再写出正确的解法，并提醒自己下次碰到类似的问题时要注意什么，每隔一段时间再翻开看一看，不断地巩固知识、加深记忆，使“错题集”变成“加分集”.

[⇩] 结束语

培养学生的数学运算能力是一个漫长的过程，不能一蹴而就. 所以，教师一定要有耐心，把培养学生运算能力这个目标渗透到每一节课、每一道题中去，由浅入深，由易到难，循序渐进，使学生能够获得运算成功的体验，激发学生对数学运算的积极态度，逐步提高学生的数学运算能力，最终提高学生学习数学的能力. 这样，数学核心素养的培养才会有效落实.

3695501908286