低起点，小步子，多活动

陈拾英

[摘  要] 数学课程标准将数学建模作为核心素养的要求之一，数学建模思想使学生能够运用数学知识独立解决生活实际问题，体现了学生综合能力的提高. 教学中要通过创设平台，引导学生独立思考，主动探究，逐渐渗透数学建模思想，不断提升他们的数学核心素养.

[关键词] 数学建模;核心素养;思维能力

数学建模是学生学习数学知识需要掌握的一项重要能力，是提升数学素养的重要內容. 培养学生的数学建模思想需要在教学中创设有利于学生积极思考和参与活动的环境，引导学生通过自主学习、合作探究，建构知识体系，通过观察、操作、分析和思考解决问题，学会运用数学眼光去打量世界和解决问题，从中体会数学之精髓. 作为课堂有效教学的重要载体，我们仍然能发现在一些没有注重培养数学建模思想的课堂，教师习惯“一言堂”，不敢也不愿放手让学生去思考和实践，学生难以体会知识的发生过程，不能体会和理解数学思想，这不利于学生提升数学学科核心素养. 笔者以“圆周角定理”的教学为例，探讨如何培养学生的数学建模思想.

背景问题

如图1所示，圆Ο中有两个圆周角∠ACB和∠ADB，请分别测量这两个圆周角的度数，并比较它们之间的大小，再将点C的位置在圆周上进行移动，这时圆周角的度数发生了什么变化？你能发现其中的规律吗？测量出所对的圆心角∠AOB的度数后，你又有什么发现呢？

设计意图  圆周角定理的教学中，要培养学生的数学建模思想，首先通过学生的动手实践直观感受其中的变化，然后对实验进行分析和研究，最后通过猜想其中存在的规律，培养学生动手实践、观察分析和猜测推理的能力.

建立模型

1. 模型猜想

通过对例题的分析，引导学生猜想出模型：相同的弧所对的圆周角的度数是相等的，这条弧所对的圆心角的度数是圆周角的两倍.

2. 验证猜想

问题1：“相同的弧所对的圆周角的度数相等”和“相同的弧所对的圆心角的度数是圆周角的两倍”这两个问题，你选择先证明哪一个？请说明理由.

（学生经过讨论，争论不休，各执己见.）

生1：我选择先证明“相同的弧所对的圆周角的度数相等”，因为这里只要证明相等关系. 我觉得比证明两倍的数量关系更容易.

生2：这个理由太牵强了，应该先证明“相同的弧所对的圆心角的度数是圆周角的两倍”，因为点C在圆周上的位置会发生变化，并得到多个圆周角，但是无论怎样变化，只有一个圆心角，容易证明. 如果“相同的弧所对的圆心角的度数是圆周角的两倍”，那么自然可以得到“相同的弧所对的圆周角的度数相等”的结论.

师：谁的理由更具有说服力？

（大家纷纷同意生2的说法更加准确有理. ）

设计意图  通过问题1的设置首先让学生能用辨析思维去进行判断，在比较分析的过程中学生不仅解决了主要矛盾，理解了题意，而且发展了思维的批判性.

问题2：从圆心与圆周角的位置关系角度出发，由点C在圆周上位置的变化可以得到多个圆周角，那么可以分成几种情况呢？

生3：可以是圆心在圆周角的一边上.

生4：我觉得圆心可以在圆周角的里面.

生5：圆心也可以在圆周角的外面.

师：还有其他情况吗？……是的，一共有三种情况.

设计意图  通过问题2的设置引导学生经过观察思考、分析归纳得出圆心与圆周角的几种位置关系，培养学生在遇到复杂问题时采用分类归纳的思想，通过设置不同层次的问题来破解疑难.

问题3：这三种情况，你选择先证明哪一种？说一说你的理由.

（学生有些无从下手，讨论了一会儿，陷入了沉默. ）

师：看来同学们有些困难，没关系. 当这种可能情况很多但又无从证明时，一般来说，我们会先突破最特殊的一种情况. 请同学们看一看这三种情况中，哪一种情况最特殊？

生4：应该是“圆心在圆周角的一边上”是最特殊的，因为这时圆的直径是AC.

师：很好，所以我们先由这个特殊的位置开始证明.

设计意图  问题3的设置意在向学生渗透推理思想，从特殊到一般，这是在验证数学结论中经常用到的一种方法. 通过问题导向，学生在思考的过程中体会到由特殊到一般的推理思想的广泛用途，增强了学生的推理能力.

问题4：如图2所示，当圆心在圆周角的一条边AC上，怎样证明∠ACB的度数是∠AOB的一半时？

学生思考讨论，展示解题思路.

生5：我是这样想的，证明∠ACB的度数是∠AOB的一半，其实反过来也就是证明∠AOB的度数是∠ACB的2倍，这样好像更容易.

师：非常好，不管接下来的思路怎么样，但是生5给了我们一个很好的示范，也就是采用转化思想，换一个角度使问题“柳暗花明”了.

设计意图  问题4的设置作用在于渗透转化思想，几何问题中常常需要通过转化类比和等量转换实现问题的突破，因此转化思想的渗透显得尤为重要.

问题5：如图3所示，当圆心O在圆周角∠ACB的里面时，可以证明∠ACB的度数是∠AOB的一半吗？

生6：老师，通过问题4的解决，我觉得问题5就比较容易了. 因为圆心在圆周角的一条边上时，可以证明“相同的弧所对的圆心角的度数是圆周角度数的两倍”，那么我们就可以过圆周角的顶点C作一条直径CD，通过转化思想，把圆心O在圆周角里面的情况转化为圆心在圆周角的一条边上来进行证明.

师：是的，看来你已经把刚才的转化思想活学活用了，很厉害.

问题6：如图4所示，当圆心O在圆周角∠ACB的外面时，如何证明∠ACB的度数是∠AOB的一半？

生7：这道题和问题5一样，同样进行转化，过圆周角的顶点C作一条直径CD，把圆心在圆周角外部的情况也转化为圆心在圆周角的一边上进行证明，非常简单.

师：是的，情况类似，我們就不再赘述了.

设计意图  在本例中，教师通过问题串的形式引领学生进行了猜想验证，设置同类问题不同情况的目的是向学生逐渐渗透数学的转化和化归思想. 学生在一次次打磨和讨论中，逐渐体会到猜想、验证的方法和类比、转化的思想，提升了论证能力和解题能力.

3. 建立模型

（1）通过刚才的验证，师生共同已经分析了圆心与圆周角的三种位置关系：圆心在圆周的一边上，圆心分别在圆周角的内部和外部. 在这三种情况下，相同的弧所对的圆心角的度数都是圆周角度数的两倍，因此相同的弧所对的圆周角相等.

（2）在此基础上，再次提出问题，在同样的圆或者相等的圆中，假若两条弧相等，那么它们所对的圆心角有什么样的关系呢？同样，在同样的圆或者相等的圆中，假若两条弧相等，那么它们所对的圆周角有什么样的关系呢？

（3）由此可以证明圆周角定理：同样的圆或者相等的圆中，同样的弧或相等的弧所对的圆心角是圆周角的两倍.

模型应用

例题1  一个半圆所对的圆周角是多少度？说一说你的理由.

例题2  假若圆周角是直角，它所对的弦一定是直径吗？说一说你的理由.

例题3  如图5，圆O上有A，B，C三点，若∠BAC是60°，则∠BOC是多少度？如果∠AOB是直角，那么∠ACB是多少度？

例题4  如图6，在圆O中，弦AB和CD相交于点E，∠BAC是40°，∠AED是75°，那么∠ABD是多少度？

例题5  如图7，点A，B，C，D在圆O内，∠ADC和∠BDC都是60°，请判断△ABC的形状，并说明你的理由.

模型应用的前面两道题主要考查圆周角定理的推论应用. 后面三道题是在数学建模的基础上，学生能根据已知条件应用转化与化归思想，进一步构建“相同的弧所对的圆周角和圆心角度数的关系”模型.

本课教学设计中，利用数学建模思想探究圆周角定理的过程采用了从低到高、层层递进的策略. 教师通过丰富的活动引导学生在思考、猜想和验证中交流数学学习的经验，提升他们运用知识的能力，促使他们掌握数学方法，体会数学思想. 在教学中，教师要坚持从学生的角度出发，以学生的发展为起点，在学生的自主活动中，不断发展创新思维，构建数学建模思想，提升他们的实践能力和数学学科核心素养.

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