螺旋问题链导向下初中数学单元活动问题设计

万妍青

[摘  要] 单元活动是单元教学设计的核心环节，高质量的单元活动设计是有效开展数学活动的前提. 文章从“相似三角形的判定”单元出发，对三类常见的单元活动进行整体建构与系统开发，注重在螺旋问题链导向下进行单元活动的问题设计，以达到“思维活动”的目的，从而提升学生的数学素养.

[关键词] 初中数学;单元活动;螺旋问题链;相似三角形的判定

单元活动是单元教学的重要组成部分，它是在单元教学目标及流程确定的基础上，为促进学生对知识的理解与运用，以及实践、探究、创新能力的发展，针对具体单元的教学内容而开展的活动，高质量的单元活动设计是有效开展数学活动的前提[1].

单元活动以学生为主体，以问题为中心，重在培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，并通过设计围绕情境（真实情境或数学问题情境）的“问题链型”任务，让学生经历各种操作、实验、探究、体验等活动，丰富学生多样化的学习经历，促进对学生的多元评价，从而着力培养学生的创新精神、实践能力、合作意识和批判性思维等.

一般来说，一个单元的单元活动包含概念、定理和性质的新授，也包含新知的运用与拓展，还包含综合探究与实践. 因此，可结合教学活动的内容和活动的不同任务或特点，将单元活动分为新知建构活动、问题探究活动和项目实践活动.

同时，单元活动的推进通过问题进行串联，各个问题之间存在一定的内在联系（或条件、图形相似，或结论一致，或方法相同），此时需要发挥共性. 对于关键问题，要追问学生，触类旁通;对于整堂课的设计，要体现问题化学习，注重知识点之间的内在联系. 因而，在问题设计中，教师可由基本问题引入，逐渐延伸，然后过渡至核心问题，加深学生对其的认识，并设计例题变式，让学生构建知识网络，最终寻找共性规律，形成解题策略. 在此过程中，将问题像“链条”一样串联起来，多题归一，环环紧扣，层层递进.

文章以“相似三角形的判定”（沪教版九年级上册）为例（以下统称“沪教版”），阐述螺旋问题链（如图1所示）导向下“相似三角形的判定”单元中三类单元活动的问题设计策略.

分析、比较教材，设计单元结构

通过比较人教版九年级下册（以下统称“人教版”）和北师大版九年级上册（以下统称“北师大版”）“相似三角形的判定”章节的具体内容，笔者合理规划了“相似三角形的判定”单元活动设计. “相似三角形的判定”在沪教版、人教版和北师大版三個不同版本中的具体教学内容如表1所示.

通过比较可以发现，沪教版未涉及（1）（8）（9）三个板块. 但沪教版在“比例线段”中已系统涵盖了黄金分割、比例线段和三角形一边的平行线的相关内容，因此在“相似三角形的判定”单元没有必要单独列出板块（1）和（8）. 板块（9）侧重体现在真实情境中运用数学方法解决一些简单的现实问题，因而该板块需纳入单元设计中，用于提升学生的问题解决能力和数学建模能力. 通过优化、整合教学内容，笔者得到了“相似三角形的判定”单元结构图（如表2所示）[2].

表2所示的教学调整将相似三角形的判定方法划分为三个部分：预备定理（奠定基础）→三种判定方法（推理应用）→直角三角形判定方法（应用结论）;将相似三角形判定应用也划分为三个部分：简单应用（层级Ⅰ）→综合应用（层级Ⅱ）→实际应用（层级Ⅲ）. 这样的调整会让学生经历“提出问题→解决问题→概括总结”的学习过程，最后进行探究活动，体现了知识的再现与深化，关注了方法的差异和运用.

从整合的效果来看，笔者将探究判定条件与合理选择判定方法前置，注重了学生在解决三角形相似问题时的思维逻辑，同时结合全等三角形判定定理累积的学习经验，在新课的学习中以“总—分—总”的方式进行教学，避免了单一知识的重复训练，能提高学生的思维品质，这对于学生知识的综合掌握和数学思维能力的提升有较大的帮助.

突出教学重点，设计单元活动

单元活动的设计应遵循学生的认知规律，应根据单元目标统领下的课时目标，分析单元活动的教学目标和重、难点，进而进行单元活动的流程设计. 一般来说，单元活动可以按照“整体规划→确定内容→设计方案→设计评价”的流程来展开，具体如图2所示[3].

结合“相似三角形的判定”的重、难点，围绕单元活动中的知识建构活动、问题探究活动和项目实践活动三种活动类型，进行单元活动的整体设计，如表3所示.

下面以活动1、活动2、活动3为例，阐述螺旋问题链导向下单元活动问题设计.

1. 知识建构活动——兴趣的激发

探究相似三角形的判定定理是建立在相似三角形的定义和相似三角形判定的预备定理基础上的进一步探究，并且与已学的“全等三角形的判定”关系密切，因此借助之前问题研究的经验，通过类比，可以为学生的自主推理并证明判定两个三角形相似的命题创设情境，提供可能的条件. 螺旋问题链导向下的知识建构活动问题设计如下.

基本问题1：相似三角形与全等三角形有什么关系？

基本问题2：判定三角形全等的方法有哪些？

基本问题3：你能类比三角形全等的方法构建判定三角形相似的命题么？[4]

通过3个基本问题，引导学生思考全等三角形与相似三角形之间的关系，了解两者特殊与一般的关系——从相似比的值为1到相似比的值为任意正实数，同时回忆全等三角形的判定定理，为学生自主建构相似三角形的判定命题做铺垫.

核心问题：以其中一个命题为主体（如A.A判定），讨论辅助线添加的方法及证明依据.

表4展示了“A.A判定”的证明过程. 证明过程延用了证明全等三角形时的“叠合法”，这种以旧知激活新知的方式，有助于引导学生自主梳理知识结构、建构新的知识体系，其还能为后面几个相似三角形判定定理的证明做铺垫.

变式问题1：仿照“A.A判定”的证明过程，证明剩余几种判定三角形相似的命题.

变式问题2：上述问题探究过程运用了哪些知识和方法？你能构建“相似三角形判定”的知识结构图么？

变式问题是基本问题和核心问题的升华，将“叠合法”充分融入整个证明环节，能建立完整的“相似三角形判定”知识结构图（如图3所示）. 这样完整的探索过程必能激发学生主动解决后续综合性问题的积极性，也能为后续单元活动的开展奠定理论基础.

2. 问题探究活动——能力的培养

教材的许多例题和习题中都隐含着常见的基本图形，这些基本图形对于复杂综合题的突破而言起着至关重要的作用，因此，为了夯实学生对相似三角形判定定理的应用，教师可针对教材中的一些经典例（习）题设计变式题，以帮助学生积累“利用基本图形分析法解决问题”的活动经验，从而让他们体会从一般到特殊、从特殊到一般的数学思想.

下面以沪教版24.4（2）的例1、例2、习题2为主体，进行螺旋问题链导向下的问题探究活动问题设计.

例1：如图4①所示，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2，求证△OAD与△OBC是相似三角形.

例2：如图4②所示，D是△ABC的边AB上一点，且AC2=AD·AB，求证△ACD∽△ABC.

习题2：如图4③所示，在△ABC与△AED中，=，∠BAD=∠CAE，求证△ABC∽△AED.

基本问题：如图5所示，已知AE=1，AB=1.5，AC=3，AD=2.

（1）求证△AED与△ABC是相似三角形.

（2）图中有哪些相等的角？

（3）连接EB，DC，还有哪些相等的角？为什么？

相较于例1，基本问题除了用S.A.S判定三角形相似而外，（1）（2）小问还去除了两条线段（即BE和CD），设计题组，融入“斜X型基本图形”，并进一步挖掘、深入，使得整个题组更有层次.

核心问题：如图6所示，在△ABC与△AED中，=，∠BAD=∠CAE，

求证：△ABC∽△AED.

核心问题只是将课后习题的图形稍作变动，通过图形的变换将基本问题中的“斜X型基本图形”转化为“旋转相似型”基本图形，体现了问题之间的联系.

变式问题：如图7所示，已知△ABC，试构造与△ABC相似的△ADE（其中点D在AB边上，点E在AC边上）.

（1）有多少种结果？（无数种）

（2）有几种方法？（2种，如图8所示，平行、斜截）

（3）利用斜截法时如何确定线段DE的位置？（如图9所示，取点D与点B重合的特殊位置，另=，即AB2=AE·AC，根据上式可确定点E在边AC上的位置）

变式问题在核心问题的基础上进一步深化，得到“A（斜A）型”基本圖形（如图8②所示），而确定DE的位置时，可通过取特殊位置，得到图9所示的“子母三角形”基本图形，这也与例2的意图不谋而合.

对课内例题（习题）及其变式的再设计与再加工是设计与开发问题探究活动的重要源头，这样不仅能起到巩固所学、发展能力的作用，还能引发学生对例题（习题）价值的深度思考. 由上可知，根据相似型基本图形可衍生出一系列基本图形（如图10所示），上述过程能让学生亲历图形的运动、变化过程，有利于他们构建完整的知识体系，并体会题目背后蕴藏的思想方法，从而拓展思维.

3. 项目实践活动——素养的提升

由于沪教版教材缺少相似三角形判定的实际应用问题，因此笔者借鉴人教版和北师大版中“测量旗杆高度”的单元活动作为项目实践活动，以此引导学生在新的情境中应用数学工具解决问题，经历数学探究的全过程，感悟实际问题转化为数学模型的转化思想. 项目实践活动注重小组合作，因此设计螺旋问题链导向下的活动报告，建议在课外活动中完成. 表5所示为测量旗杆高度活动报告.

在课外活动中，学生以小组为单位查阅相关资料，结合相似三角形的判定定理，利用测角仪、皮尺等测量工具，完成对旗杆高度的测量. 回到课堂后，学生再以小组为单位分享测量方案、示意图及推理过程（如表6所示）.

整个测量过程从课外到课内，这种“拓展学习时空”的活动方式，使学生经历了“设计方案→推理计算→检验结论→反思总结”的活动过程. 这样螺旋上升、层层深入的方式，能在潜移默化中培养学生的数学建模能力，同时能使他们明白只有严谨规范，才会减小误差，且通过伙伴之间的团结协作，能选择最佳的测量方案，从而培养他们严谨求实的科学探索观.

基于活动差异，设计单元评价

初中数学单元活动可分为三种不同的类型：新知建构活动、问题探究活动及项目实践活动，前两类又可归为“教师引导型”活动，而项目实践活动为“学生主导型”活动.

“教师引导型”活动由教师根据学生的“最近发展区”设计螺旋问题链，学生根据教师搭建的问题链进行学习，强调新知建构或问题探究;“学生主导型”活动由学生发现问题、提出假设、制订方案、验证结论，强调探索和创造. 对于这两类活动，评价时要有所区别，在教学成效的认知要素上，前者应针对“知识及过程的理解”和“方法与思想的运用”进行评价，以教师评价为主（表7为“探究相似三角形的判定定理”活动评价表）;后者则应针对“问题的发现与解决”进行评价，以学生的自评、互评为主（表8为“测量旗杆高度”课堂汇报活动组间互评表）.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》[6]中指出，在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程. 由此可见，将教材内容进行合理的划分和整合，并设计单元活动，是优化学习过程、提升学习力的重要途径. 基于学情，整体构建并系统开发单元活动，以螺旋型问题链为导向进行问题设计，无疑为培养学生数学式思考、促进学生核心素养落地、发挥数学育人功能提供了支持与保障.

参考文献：

[1] 上海市教育委员会教学研究室. 初中数学单元教学设计指南[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2] 徐颖. “分”“合”“联”，整体设计三角形单元教学[J]. 中国数学教育，2019（23）：17-20.

[3] 黄肖晶. 数学学科探究发现型单元活动设计研究[J]. 上海课程教学研究，2017（02）：33-35.

[4] 施卫卫. 基于学生发展需求  在结构中教与学——“相似三角形的判定”的教学实践与反思[J]. 数学教学通讯，2020（02）：7-10.

[5] 顾彦. 立足“四基”，回归原点的教学重构——以“相似三角形的判定”为例[J]. 数学教学通讯，2020（23）：3-5+8.

[6] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

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