高中数学变式教学实践研究①——以“导数法求含参函数的单调区间”教学为例

秦泗伟

（延边第二中学，吉林 延吉 133000）

数学问题是学生深度学习的载体和原动力，变式教学是数学解题教学中常用的手段，是提升学生的“四基”“四能”水平，满足学生需要的重要途径。所谓变式教学，就是教学中针对教学对象，改变命题的非本质特征，保留本质因素，通过条件和结论的适当改变，转换问题的内容和形式，配置实际应用的各种环境，将问题和方法进行归类，使解题方法明确化，帮助学生掌握数学对象的本质属性[1]。

变式教学主要围绕两个方面进行：一是立足概念根本，通过概念的外延和拓展，凸显概念的本质特征，提高学生分析数学本质的能力；二是立足于问题的解决根本，通过对问题的探究和归类、多角度多层次的设问和质疑，提高学生的数学思维能力[2]。

变式教学重点在一个“变”上，需要解决三个问题：一是从何而“变”，即从哪里来的问题，是变式教学的根本；二是为什么要“变”，即到哪里去的问题，是变式教学的目标；三是怎么“变”，即方法手段问题，这是变式教学的关键。

一、学情诊断，确定主题

笔者曾到我校初中部“送课”，学生的数学素养整体水平比较低，这就要求教师降低教学的难度，而教学进度刚好赶在导数学完进行章末复习。导数部分考查点集中在导数的计算、几何意义、单调性、极值和最值，以及与方程、不等式等的综合，解答这类问题的共性之处是必须分析函数的单调性，研究函数的图象，而对参数的讨论是学生知识网中的薄弱点。学生不知道讨论的标准如何确定，解题的步骤做不到规范严谨。教师根据问题，深入分析学生思维受阻的原因，将问题进行细化，从而确定“含参数函数的单调性”变式教学这一主题。

分析：本题函数的定义域不是全体实数，函数中出现了对数函数、一次函数、幂函数，需要对参数进行讨论，难度较大。

二、回归教材，把握基础

设计意图：以教材例题出发，梳理导数法求解不含参多项式函数的单调性和极值的基本步骤。作出函数图象，加强直观感知，体会在函数图象的获得过程中，函数单调性的重要性，并理解函数单调性问题的落脚点是导函数的图象，其本质是解不等式问题。

三、变式探究，内化提升

变式教学可以源于对考点的细化、对知识点的延伸和对易错点的辨析上，也可以源于对难点的突破和思维的提升上。本节课是习题教学，重在函数形式的变化上、定义域的改变上、参数出现的位置上进行变式，由易到难，层层设问，逐步搭牢每个环节知识的“脚手架”，真正做到“多题归一”。

设计意图：由函数不含参到含参，求导因式分解后，比较两根大小，确定讨论分a ＞0,a ＜0,a=0三种情况。

设计意图：改变参数的位置，讨论二次项的系数a与0的大小，确定讨论分a ＞0,a ＜0,a=0三种情况。

设计意图：改变参数的位置，讨论x2−a=0的根的情况，确定讨论分a ＜0,a ≥0两种情况。

通过对前四个变式的解答，学生总结出“二次型”含参函数分类讨论的基本流程：（1）二次项的系数，确定函数是否为二次函数，抛物线的开口方向；（2）判别式和0 的比较，确定方程是否有根，要注意有些可以直接因式分解；（3）比较两根的大小，确定不等式的解集。那对于一些非“二次型”含参函数如何讨论呢？

四、迁移应用，拓展思维

设计意图：改变函数形式，引入指数函数，确定分a ＞0,a ≤0两种情况。

设计意图：改变函数形式，引入对数函数，注意定义域的改变，确定分a ＞0,a ≤0两种情况。

设计意图：改变函数形式和定义域，进一步优化提炼程序化流程：（1）求函数定义域；（2）求导函数（通分、因式分解）；（3）方程在定义域内是否有根？（4）根大小的比较。

流程化解决方案的优点明显，这是一套行之有效的解题方案，教学中应该逐步引导让学生自己归纳出来，数学教学的目的不是告诉学生”如何做”，而是让学生在教师的适当引导下主动获得解决问题的方法和能力。从而实现“教是为了不教”的目的，让学生实现“再发现、再创造”的过程。

练习1：设a为常数，求函数的最大值。

设计意图：课后继续独立完成，继续把教学内容延伸至课堂外。

教师是教学的执行者，要针对教学内容，结合学生的学情，进行教学诊断，变式教学好用但不能滥用，要明确哪些课型什么内容适合用变式教学；教师是教学的领航者，要在准确把握难度的基础上开展变式，防止变得过度，偏离变式的目的，本节课基于这个原因没有出现三角函数、指数函数或对数函数同时出现，变式教学变的“题源”在教材，要找到题根，明确解题的通性通法，只有根基牢了，变式才有现实意义；教师是教学的实践者，为促进学生的深度学习，帮助学生跳出题海，积极开展有效的变式教学实践，教师需要在“实践-反思-实践”中不断探索。