巧用数学建模渗透思想方法——以人教版数学教材“数与代数”领域为例

甘肃武威市凉州区武南镇宋府沟小学（733000） 张海文

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022版新课标”）中指出：“模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径；能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释。模型意识有助于开展跨学科主题学习，增强对数学的应用意识，是形成模型观念的经验基础。”从广义的角度来讲，数学的概念、定律、法则、公式、数量关系、统计图表等属于数学模型。

同时，2022版新课标对模型意识在小学数学教学中的落实提出两个要求：一是渗透模型思想，二是教会学生如何建立数学模型。数学建模对学生来说是一个具有挑战性的任务，需要经过以下几个步骤：第一，明确要解决的问题是什么，这个问题是什么模型系统；第二，把复杂的情境和数字化繁为简，从较多信息中筛选出有用的信息，并确定有用的数据；第三，根据实际问题建立数量关系式或图形模型；第四，通过模型解决实际问题，并拓展模型的应用价值。经历数学建模的过程，是让学生像数学家那样经历探索和再创造的过程。虽然在这个过程中，学生会不断遇到挫折和困难，但这有利于他们朝着解决问题的正确方向不断前进。那么，作为数学教师，我们应当怎样在数学课堂上引导学生有效建立数学模型，并让学生运用数学模型解决生活中的实际问题呢？

一、借助加法故事，建立加法模型

学生学习加法运算时需要掌握三种语言之间的转化：先呈现圆片等模型，再借助文字呈现问题，最后用算式表示模型的计算方法。如教学加法运算4+3=7时，教师出示4个圆片和3个圆片，让学生结合模型来讲一讲4+3=7的加法故事以及用圆片说明等式的含义。

在小学数学学习阶段，加法运算包括四种不同的模型：一是“添加型”，即知道起始量和改变量，计算结果量的问题；二是“拿走型”，即知道改变量和结果量，计算起始量的问题；三是“组合型”，即知道部分量和另一个部分量，计算整体量的问题；四是“比较型”，即知道小的集合和差异量，计算大的集合的问题。

例如，教学人教版数学教材二年级上册《100以内的加法和减法（三）》一课后，教师在教材情境的基础上增加了其他加法运算模型，让学生对加法运算模型有更加全面、深刻的理解。

活动1：学习“添加型”加法运算模型

出示题目：公共汽车上原来有5人，到站后又上来3人，现在一共有多少人？

师：小朋友们，我们一起来读一读题目，边读边想怎么计算现在一共有多少人。

生1：5+3=8（人）。

师：为什么用加法计算？

生2：因为“公共汽车上原来有5人，到站后又上来3人”，这时候公共汽车上的人变多了，所以要用加法计算。

师：用1个圆片表示1人，原来有5个圆片，后来增加了3个圆片，我们一起来数一数现在有多少个圆片。

……

活动2：学习“拿走型”加法运算模型

出示题目：铅笔盒里有一些铅笔，明明拿走4支铅笔后，还剩2支铅笔，铅笔盒里原来有多少支铅笔？

师：小朋友们，我们一起来读一读题目，边读边想怎么计算铅笔盒里原来有多少支铅笔。

生3：4-2=2（支）。

生4：4+2=6（支）。

师：要计算铅笔盒里原来有多少支铅笔，到底用加法还是减法呢？谁能说明理由？

生5：（边说边操作）我认为这道题目要用加法计算。看，这是明明拿走的4支铅笔，这是剩下的2支铅笔，计算原来铅笔的支数，就是把拿走的和剩下的合起来。

……

活动3：学习“组合型”加法运算模型

出示题目：妈妈买了3个苹果和4个梨，一共有多少个水果？

师：小朋友们，我们一起来读一读题目，边读边想怎么计算一共有多少个水果。

生6：3+4=7（个）。

师：为什么用加法计算？

生7：因为苹果和梨都属于水果，要算一共有多少个水果，就要把3个苹果和4个梨合起来，所以要用加法来计算。

……

活动4：学习“比较型”加法运算模型

出示题目：迪迪有7元，佳佳比迪迪多1元，佳佳有多少元？

师：小朋友们，我们一起来读一读题目，边读边想怎么计算佳佳有多少元。

生8：题目告诉我们“迪迪有7元，佳佳比迪迪多1元”，由此知道佳佳多、迪迪少，而要算佳佳有多少元，就是算多的，所以用加法计算。

师：（边讲边画线段图）如果我们用这样一条线段表示迪迪的7元，那么表示佳佳的线段就要画得长一些，这是多出来的1元……

上述教学，教师将生活中的情景转化为数学问题，通过圆片、铅笔、线段图等模型帮助学生理解题意，最终抽象出用算式和符号表示结果。同时，教师借助问题串联起加法运算中的四个模型，有利于学生对加法运算的解决问题形成网状结构，结构化地学习数学知识。

二、借助减法故事，建立减法模型

减法运算模型和加法运算模型一样，也有四种基本运算模型：一是“添加型”，即知道结果量和起始量，计算改变量的问题，或知道结果量和改变量，计算起始量的问题；二是“拿走型”，即知道起始量和结果量，计算改变量的问题，或知道起始量和改变量，计算结果量的问题；三是“组合型”，即知道整体量和部分量，计算部分量的问题；四是“比较型”，即知道大的集合和小的集合，计算差异量的问题，或知道大的集合和差异量，计算小的集合的问题。运用哪个模型，主要看哪个量是由未知量来决定的。

例如，教学人教版数学教材二年级下册《两、三位数的加法和减法》后，教师设计了一节有关减法运算模型的数学课，让学生对减法运算的四种模型有更加系统、全面的理解。

活动1：学习“添加型”减法运算模型

出示题目：树上现在有16只小鸟，原来有10只小鸟，多了多少只小鸟？

师：小朋友们，我们一起来读一读题目，边读边想怎么计算多了多少只小鸟。

生1：16-10=6（只）。因为“树上现在有16只小鸟，原来有10只小鸟”，要计算多了多少只小鸟，就是计算现在和原来相差多少只小鸟，所以要用减法计算。

师：小朋友们，请你们想一想，能用这道题中的信息编一道减法题吗？同时写出减法算式。

生2：树上飞来了6只小鸟，现在有16只小鸟，树上原来有多少只小鸟？算式是16-6=10（只）。

……

活动2：学习“拿走型”减法运算模型

出示题目：粉笔盒里有36支粉笔，聪聪拿走了11支，还剩多少支粉笔？

师：小朋友们，我们一起来读一读题目，边读边想怎么计算还剩多少支粉笔。

生3：36-11=25（支）。因为聪聪拿走11支粉笔，粉笔盒里的粉笔变少了，所以用减法计算。

师：小朋友们，请你们想一想，能用这道题中的信息编一道减法题吗？同时写出减法算式。

生4：粉笔盒里有36支粉笔，聪聪拿走一些粉笔后，盒子里还有25支粉笔，聪聪拿走了多少支粉笔？算式是36-25=11（支）。

……

活动3：学习“组合型”减法运算模型

出示题目：小华和小军一共跳了86下，小华跳了45下，小军跳了多少下？

师：小朋友们，我们一起来读一读题目，边读边想怎么计算小军跳了多少下。

生5：86-45=41（下）。因为题目告诉我们“小华和小军一共跳了86下，小华跳了45下”，算部分量——小军跳了多少下，所以用减法计算。

师：小朋友们，请你们想一想，能用这道题中的信息编一道减法题吗？同时写出减法算式。

生6：小华和小军一共跳了86下，小军跳了41下，小华跳了多少下？算式是86-41=45（下）。

……

活动4：学习“比较型”减法运算模型

出示题目：小明有56枚邮票，小芳比小明少24枚邮票，小芳有多少枚邮票？

师：小朋友们，我们一起来读一读题目，边读边想怎么计算小芳有多少枚邮票。

生7：题目中说“小芳比小明少24枚邮票”，由此知道小芳的邮票少、小明的邮票多，所以计算小芳的邮票数量要用减法，算式是56-24=32（枚）。

师：小朋友们，请你们想一想，能用这道题中的信息编一道减法题吗？同时写出减法算式。

生8：小明有56枚邮票，小芳有32枚邮票，小芳比小明少多少枚邮票？算式是56-32=24（枚）。

……

上述教学，教师先让学生根据已有的数学信息编写减法运算的问题，再让学生自己解决这些减法问题。在分析和解决减法问题时，学生需要提取题目中的有用信息，利用已有的数学知识建立模型，从而解决新的减法问题。

三、借助乘法故事，建立乘法模型

乘法运算也包括四种不同的模型：一是“等值群组型”，即求若干个相等集合的和的问题；二是“倍数比较型”，即每一个相等的子集合对应参考集合，求子集合的几倍是多少的问题；三是“搭配组合型”，即计算出两种集合之间可以制造出的搭配种数的问题；四是“面积测量型”，如长乘宽求面积的问题。在小学数学学习阶段，学生经常遇到的是“等值群组型”和“倍数比较型”的问题。

例如，教学人教版数学教材三年级上册《两、三位数乘一位数》后，教师设计了一节有关乘法运算模型的数学课，帮助学生梳理哪些情况下要用乘法计算，解决问题。

活动1：学习“等值群组型”乘法运算模型

出示题目：杰克有4袋苹果，每袋有7个苹果，杰克一共有多少个苹果？

师：同学们，先读一读题目，再在学习单上列式计算。

生1：4×7=28（个）。题目告诉我们“杰克有4袋苹果，每袋有7个苹果”，就是求4个7是多少，用乘法计算。

师：同学们，求几个相同加数的和用乘法计算。想一想，还有哪些题目也是用乘法计算的？你能编道题目吗？

生2：知道速度和时间，计算路程用乘法。比如：客车的速度是80千米/时，4小时行驶多少千米？

生3：知道单价和数量，计算总价用乘法。比如：一条毛巾的价格是8元，10条毛巾要多少元？

……

活动2：学习“倍数比较型”乘法运算模型

师：你还能想到哪些乘法运算模型呢？

生4：求一个数的几倍是多少。

师：那你能编一道有关倍的问题的题目吗？

生5：红花有8朵，蓝花的朵数是红花的3倍，蓝花有多少朵？

……

活动3：学习“搭配组合型”乘法运算模型

生6：我还想到了上衣和裤子的搭配问题，求搭配种数也是用乘法计算的。

师：那你能编一道有关搭配问题的题目吗？

生7：上衣有5件，裤子有3条，能搭配出多少套不同的衣服？

师：请你试着通过画图解决问题。

……

活动4：学习“面积测量型”乘法运算模型

生8：知道长方形的长和宽，求长方形的面积用乘法；知道正方形的边长，求正方形的面积也是用乘法。

师：那你能编一道有关面积计算问题的题目吗？

生9：长方形的长是6厘米，宽是4厘米，它的面积是多少平方厘米？

……

上述教学，教师引导学生回忆乘法运算模型，共同总结出“等值群组型”“倍数比较型”“搭配组合型”“面积测量型”等乘法运算模型，有利于学生整体把握乘法学习的规律。

总之，教师要精心设计课堂教学，引导学生经历数学建模的过程，并且利用模型解决数学问题。数学课堂中，教师渗透模型意识，能为学生跨学科学习和再创造提供活动经验与解决问题的思路，让他们学会运用数学知识解决实际生活的问题。