层层递进抓本质多法归一促提升

黄浩

摘要：从多面体的结构特征出发，以找多面体的外接球球心位置为教学核心，通过补形构造法、方程思想求解法，以及找两个相交平面多边形的外心，然后过外心作两个平面的垂线找交点定位球心的方法。通过层层递进，直达问题本质;通过多法归一，培养学生的聚合思维，实现解题能力的提升。

关键词：多面体的外接球聚合思维

一、问题提出

若一个多面体的所有顶点均在一个球面上，则称此球为该多面体的外接球。多面体的外接球是高考常考知识点，也是高考的热点与难点问题，主要考查学生的空间想象力、逻辑推理能力、运算求解能力。通常试题综合性强，思维难度大，学生得分率低。

如何打破学生的思维障碍，让学生在解题过程中有法可依、有规可循，在教学中通过操作实践和问题解决，让学生发现规律，感悟数学思想方法，形成思维品质，发展创新精神？笔者曾在高三一轮复习时上了一节本课时的校际研讨课，现将教学设计思路及反思整理如下。

二、案例剖析

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。”解决多面体外接球问题，实际就是确定球心位置和计算球半径大小。

（一）突出模型意识，实现转化化归

自主练习：一个棱长为2的正方体外接球表面积为。

本题从学生熟悉的正方体模型入手，切入本节课的课题，让学生快速进入学习状态。高三的一轮复习课从简单的自主练习入手，通过问题激发学生的回忆与联想，自主检索知识，提取知识，其往往会比单纯的概念提问式的复习更有效、印象更深刻。

在学生给出自主练习答案后，追问学生：正方体一定有外接球吗？若有，球心在什么位置？长方体的外接球球心呢？

通过追问，引发学生理性思考。研究多面体外接球，本质上是找多面体的外接球球心，即研究空间一点到多面体各顶点的距离相等。通过明晰概念内涵，为后续问题做铺垫。正如毕达哥拉斯所说：“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。”其实长方体、正方体和球都是中心对称图形，长方体、正方体的对称中心就是其对角线的交点，也是其外接球的球心。

例1：边长为2的正方形ABCD，E、F分别为边AB、BC的中点，现将△ADE、△BEF、△CDF分别沿着DE、EF、FD折叠，使顶点A、B、C重合于P点，求三棱锥PDEF的外接球半径。

通过自主练习，学生虽然有了解决正方体外接球球心的经历，但解决多面体外接球问题的能力并未得到实质性提升。

本例设计从正方体模型到三棱锥，问题情境上有变化，思维上有跨度，如何处理好这个跨度，教学中关键在于引导学生思考折叠后三棱锥的空间几何特征，发现该三棱锥与长方体之间的联系。如何将不会的问题转化为熟知的问题来进行解决？前面自主练习的解决能否给我们提供思路和方法，能否将该问题转化为长方体问题来解决？通过一系列的追问，学生自然联想到折叠后的几何体是由长方体截得的，从而想到通过补形构造长方体来解决，进而实现思维的进阶。

教师追问：什么样的多面体才能借助补形构造正方体（长方体）来求外接球呢？你能举出一些图例吗？

通过追问来引发学生思考补形构造法的适用范围，让学生对此类问题由感性认识上升到理性思考;通过自主探索和体验，学生能提高模型意识，为以后解决此类相关问题积累经验，能创造性地构造几何体。更重要的是通过课堂互动，学生积极参与课堂思考，提升了课堂复习效率。

变式1：一个棱长为2的正四面体的外接球半径为。

在对例1的学习与归纳后，通过变式1来检验学生的学习效果。预设变式1时考虑到学生受例1的思维的约束，容易在正方体（长方体）中找一些有明显垂直关系的几何体，而变式1就是要打破学生的思维定式，拓展学生的思维视野，引导学生在研究多面体外接球问题时要关注几何体结构本身，而不是套用固定的方法。

问题解决后，教师追问：正四面体的外接球球心在哪？同学们还有其他方法来解决此问题吗？

通过追问，引发学生新的思考，来培养学生的发散思维。课堂上教师是主导，而学生才是学习的主体，教师的任务是设计合理的问题，引导学生独立解决问题，而不是直接由教师抛出方法，把复习课变成教师的解题秀。教师的追问，起到承上启下的作用，引出解决外接球问题的第二类方法，即方程思想求解法。

（二）注重结构分析，发现数量关系，凸显方程思想

爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许只是一个数学上或实验上的技巧问题。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧问题，却需要创造性的想象力，標志着科学的真正的进步。”

层层递进抓本质多法归一促提升2022年1月中第2期（总第102期）例2：四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，顶点P在底面的射影为底面中心，其中AB=2，PA=6，求四棱锥的外接球半径。

从变式1到例2，从三棱锥到四棱锥，从可构造长方体到不可构造，几何体结构有变化，也有共同点，引导学生关注问题中的变与不变，利用数学思维顺向正迁移来解决此题。引导学生归纳总结，当多面体的底面为特殊多边形时，可找出其外心，并作出底面的垂线，利用方程思想来求解问题。

如本例中，AB=2，PA=6，可计算PO′=2，设BO=PO=R，利用勾股定理BO2=（BO′）2+（OO′）2，即可解得R=32。

一轮复习的课堂切忌就题讲题，要一例一反思，一例一总结，精心选例，环环相扣，渐次提升。

教师追问：若顶点P在底面的投影不在底面中心，又当如何来求外接球半径呢？

变式2：四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB为等边三角形，其中AB=2，求四棱锥PABCD的外接球半径。

在学生的最近发展区设置问题，利于学生思维的正向迁移。本例的难点在设出OO1=h后如何表示OP的长，教学中通过追问如何表示OP的长来化解难点，接下来引导学生通过代数法（建空间坐标系）或几何法（勾股定理）列方程OP=OD来解出OO1，即R=12+（3-h）2=（2）2+h2，进而求出半径R=213。

教师提问：同学们对例2及变式2中所采用的求解外接球半径的方法有怎样的认识？引导学生及时反思与归纳。同时追问学生本题还有没有其他方法，引发学生思考，培养学生的发散思维。

数学课堂是师生互动的课堂，教师设置的问题要发挥学生的主体作用，促进学生数学核心素养的发展。尤其是高三的复习课堂，切忌教师一言堂，只讲不思，只讲不练。

本例中，学生容易想到球心O在四边形ABCD外心的垂线上，课堂教学中要引导学生回到外接球球心概念的本质上来，即空间一点O到多面体各顶点的距离都相等，球心O自然也在其他平面多边形过外心的垂线上，两条高的交点即为球心位置。数学中很多问题的解决都要回归到概念本身，学生理解了概念本身，应用能力自然就随之提高。

变式3：四棱锥PABCD中，底面ABCD为长方形，二面角PABC为120°，△PAB为等边三角形，其中AB=23，BC=2，求四棱锥PABCD的外接球半径。

变式3使问题更具有一般性，对学生的空间想象力、运算求解能力要求更高。一方面能够检验学生对前面所学方法的掌握情况，加深学生对求多面体外接球方法的理解;另一方面也能检验教师的教学成果，及时了解学情，优化课堂教学设计。

本例中分别过两个平面多边形的外心O1、O2作各自平面的垂线交于一点O，即为球心，又O1E=O2E=1，∠OEO1=60°，即可算出OO1=3，进而求出R=7。

荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，数学学习的唯一正确方法是让学生进行“再创造”，就是说，由学生本人把学习的东西实现或创造出来，教师的任务是为学生的发展创造条件、引导探索。从教育心理角度讲，所有的新知识，只有通过学生自身“再创造”，使其纳入自己的认知结构中，才能成为有效的知识。

本例处理结束后，进行课堂小结，引导学生对本节课所学内容及时进行反思、总结、提升，并布置相关课后练习。

三、教学反思

本节课后，校际的同事、特级教师、市教研员分别对本节课作出了点评，结合自己的思考，笔者就如何上好高三一轮复习课做了如下总结，以供参考。

（一）一轮复习要紧扣考纲，有的放矢，发展学生核心素养

课标要求高中数学应以发展学生核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。本节一轮复习课正是基于此进行设计，笔者在备课时，查阅了近五年的全国卷真题以及近三年合肥市的模考题，把握多面体外接球试题的难度、考查方向，以及对学生数学核心素养的要求。总之，只有知己知彼，方能高效备考。

（二）一轮复习课要层层递进，化解难点，夯实重点

高效的一轮复习课要选取典型例题与变式练习，精心设计好问题链，层层递进，拾级而上，化解难点。但在设计问题链时，切忌束缚学生思维，应给学生思维空间。解题方法要注重通性通法，利于学生正向迁移;既注重一题多解，培养学生发散思维，更注重多题一法，培养学生的聚合思维;既要关注单个知识点教学，更要关注知识体系间的整体联系。

（三）一轮复习要关注课本，重在课堂落实，提升复习效率

重视课本，是重视课本中的基本概念、基本方法，书本上的概念、定理、法则，不是简单的重复，而是以问题为导向，激发学生联想回忆，梳理知识，灵活运用知识。要通过课本中的典型例题、习题传授高中数学中常见的解题方法、技巧。一轮复习要讲实效，重在落实，课堂上每节课教师至少要有一道例题的规范板书，培养学生养成严谨、规范的解题习惯，每节课学生至少有一次上黑板的板演展示，对于学生出现的典型错误，要及时纠正。切忌教师一言堂，自我感觉良好，只关心自己讲了多少，而不关注学生学会了多少，这样的复习课無疑是低效的。

（四）一轮复习要关注学情，注重学生知识体系的形成

每个学校、每个班级的学情千差万别，课堂教学设计要充分考虑学情及学生的可接受性。学生已会的不讲，考试要求以外过分拓展的内容要少讲，考试范围内，学生似懂非懂的要重点讲。要避免把复习课上成无目标、无重点、无整合、无归纳的习题讲解课。在设计一轮课复习课例时，还应明确课时复习内容与高中知识体系的关系，切忌内容设计时贪多求全，要通过复习逐步构建知识体系网络，聚点成线，连线成面，这样学生每节课才有收获。

随着新高考的到来，高考试题要增强灵活性与开放性，考试要采取多样化的形式，多角度命题。题海战术、机械刷题越来越不能适应新高考。因此，科学的一轮复习教学设计，高效的复习课堂才是学生未来制胜高考的关键。

参考文献：

中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）＼[M＼].北京：人民教育出版社，2018.

责任编辑：唐丹丹