交换整环上保持反对称矩阵行列式的函数

戴娇凤，谭宜家

(福州大学 数学与统计学院，福州350108)

保持问题是矩阵代数的重要研究内容之一，在系统控制、微分方程等领域有着广泛的应用.1897年，Frobnius 研究了域上矩阵空间中保持行列式的线性算子，得到了n×n复矩阵空间中保持行列式的线性映射的形式[1].之后，众多学者对保持问题的相关内容进行了研究，取得了丰富的研究成果[2-9].2011年，Yao等[10]研究了保持矩阵某些性质的函数，开辟了保持问题的一个新的方向.2019年，樊玉环和袁海燕[11]刻画了域上全矩阵空间中保持逆矩阵的函数的形式,随后,文献[12]探讨了整环上全矩阵空间和上三角矩阵空间中保持逆矩阵的函数，将文献[11]的结论拓广到整环上.文献[13]探讨了一般交换环上上三角矩阵空间、对称矩阵空间以及全矩阵空间中保持行列式的函数，所得结果拓广与改进了文献[14]的结论.本文在上述基础上探讨交换整环上反对称矩阵空间中保持行列式的函数，获得了反对称矩阵空间中保持行列式的函数的形式，所得结果改进了文献[15]的结论.由于交换整环中的非零元不一定可逆，本文的结论和证明与文献[15]有所不同.

1 预备知识

设R是一个给定的环.Mn(R)表示R上所有n阶矩阵的全体.对于A∈Mn(R),如果AT=-A,则称A为R上的反对称矩阵.本文用SKn(R)表示R上所有n阶反对称矩阵的全体.设f是R到自身的一个映射，对于任意A=(aij)∈Mn(R)，定义f(A)=(f(aij)).

定义1.1 设f是R到自身的一个映射，如果∀a、b∈R，均有f(a+b)=f(a)+f(b)，f(ab)=f(a)f(b)，则称f是环R的一个自同态.

定义1.2[16]设R是一个交换环，A=(aij)∈Mn(R)，定义A的行列式如下

这里Sn是集合{1, 2, …,n}的对称群，π(σ)是置换σ的逆序数.

定义1.3 设f是交换环R到自身的一个映射，如果∀A∈Mn(R)(或∀A∈SKn(R))，映射A→f(A)=(f(aij))保持行列式，即det(f(A))=f(detA), 则称f为R上n阶全矩阵空间(或n阶反对称矩阵空间)中保持行列式的函数.

对于特征不为2的交换整环R上的反对称矩阵,下面性质是显然的.

性质1.1 若A为R上的反对称矩阵，则其主对角线上的元素全为0.

性质1.2 若A为奇数阶反对称矩阵，则其行列式为0.

本文中, 如无特别说明，R表示一个特征不为2的交换整环.

2 主要结果

引理2.1 设f是R到自身的一个映射,n≥3是整数.如果f是SKn(R)中保持行列式的函数且满足对于任意x∈R，均有f(x)f(-x)=0,那么f=0.

证明首先,取A=O∈SKn(R)，则detA=0.因为f保持SKn(R)中的行列式，所以0=det(f(A))=f(detA)=f(0)，从而f(0)=0.

其次，对于任意x∈R，作n阶方阵

则有detA=0，同时f(A)=

利用条件f(x)f(-x)=0，不难算出det(f(A))=(-1)n-1(f(x)n+f(-x)n).因为f是SKn(R)中保持行列式的函数，所以

0=f(0)=f(detA)=det(f(A))=

(-1)n-1(f(x)n+f(-x)n).

因此f(x)n+f(-x)n=0，两边同乘以f(x)，得f(x)n+1+f(x)f(-x)n=0.由于f(x)f(-x)=0,所以f(x)n+1=0，故f(x)=0.

定理2.1 设f是R到自身的一个映射，n(n≥3)是一个奇数，则下列条件等价.

1)f是R上n阶反对称矩阵空间SKn(R)的保持行列式的函数；

2)f是R上的奇函数.

证明(1)⟹(2): 首先,取A=O∈SKn(R)，则detA=0.因为f保持SKn(R)中的行列式，所以0=det(f(A))=f(detA)=f(0)，从而f(0)=0.下证f是R上的奇函数，分两种情形讨论.

情形1: 存在x0∈R，使得f(x0)f(-x0)≠0.此时∀x∈R，取

∈SKn(R),

det(f(A))=

但f(x0)f(-x0)≠0，所以f(x)+f(-x)=0.即f是R上的奇函数.

情形2: 对于任意x∈R，均有f(x)f(-x)=0,那么由引理2.1知f(x)=0.此时，f显然是R上的奇函数.

(2)⟹(1)：∀A∈SKn(R)，由性质1.1，可设

因为f是R上的奇函数，则有f(0)=0，所以

由性质1.2，知detA=0, det(f(A))=0.于是f(detA)=f(0)=0=det(f(A)).

定理2.2 设f是R到自身的一个映射，n(n≥3)是一个偶数，则下列条件等价.

1)f是R上n阶反对称矩阵空间SKn(R)的保持行列式的函数；

2)f是R上n阶全矩阵空间Mn(R)的保持行列式的函数；

3)f=f(1)δ，其中fn(1)=f(1)，δ是R上的非零自同态.

证明(1)⟹(3)：首先,取A=O∈SKn(R)，则detA=0. 因为f保持SKn(R)中的行列式，所以0=det(f(A))=f(detA)=f(0)，从而

f(0)=0.

(1)

下证f满足条件3),分两种情形讨论.

情形1：存在x0∈R，使得f(x0)f(-x0)≠0.对此,作n阶矩阵

其中

现作n阶矩阵

则有detS=1，同时由式(1)得

由det(f(S))=f(detS),得

(2)

对于任意x∈R，作n阶矩阵

f(1)f(-x)=f(-1)f(x)

(3)

现令x=-1， 则有f(1)2=f(-1)2,那么

f(-1)=f(1) 或者f(-1)=-f(1).

当f(-1)=f(1)时，作n阶矩阵

则有detT=1，同时由式(1)及f(-1)=f(1)得

(4)

当f(-1)=-f(1)时，由式(2)得,f(1)n=f(1),进而

f(1)n-1=1

(5)

同时由式(3)得,f(-x)=-f(x)，即f是R上的奇函数.

进一步,对于任意x,y∈R，作n阶矩阵

则有detB=0，同时由式(1)得

所以det(f(B))=(f(x)f(y)-f(1)f(xy))2fn-4(1).

于是,由det(f(B) )=f(detB),得

(f(x)f(y)-f(1)f(xy))2fn-4(1)=0,

(6)

由于f(1)≠0，所以由式(6)可得

f(x)f(y)=f(1)f(xy).

(7)

再作n阶矩阵

则有 detC=0，同时由式(1),得

所以det(f(C))=(f(x)+f(y)-f(x+y))2fn-2(1).

由于det(f(C) )=f(detC)=f(0)=0,所以

(f(x)+f(y)-f(x+y))2fn-1(1)=0.

(8)

由于f(1)≠0，所以由式(8)可得

f(x)+f(y)=f(x+y)，

(9)

现取δ=fn-2(1)f，则由式(5)得，f=fn-1(1)f=f(1)(fn-2(1)f)=f(1)δ. 进一步，由式(5)、(7),得

δ(x)δ(y)=f2n-4(1)f(x)f(y)=

f2n-3(1)f(xy)=fn-2(1)f(xy)=δ(xy)，

同时由式(9)得

δ(x)+δ(y)=fn-2(1)(f(x)+f(y))=

fn-2(1)f(x+y)=δ(x+y).

又因为δ(1)=fn-1(1)=1，所以δ是R的非零自同态.

情形2：对于任意x∈R，均有f(x)f(-x)=0.那么由引理2.1知，f(x)=0.此时任取R的一个非零自同态δ，均有f=f(1)δ.

(3)⟹(2)：设f=f(1)δ，其中f(1)n=f(1)，δ是R的非零自同态，则对于任意x∈R，均有δ(-x)=-δ(x)，因此，对于任意A=(aij)∈Mn(R)，我们有

=det(f(A)).

(2)⟹(1)：显然，证毕.

由于任何域是整环，并且域上任何非零自同态均为单自同态，因此可以得到以下两个推论：

推论2.1 设f是域F到自身的一个映射，n(n≥3)是一个奇数，则f是SKn(F)中保持行列式的函数的充要条件为f是F上的奇函数.

推论2.2 设f是域F到自身的一个映射，n(n≥4)是一个偶数，则f是SKn(F)中保持行列式的函数的充要条件为f=f(1)δ，其中f(1)n=f(1)，δ是域F上的单自同态.