浅谈高等数学课教学及其科研心得

摘 要：首先，从高等数学教学方法上，强调形象直观教学法、注重探究教学法和发现教学法、加强陶冶教学法;其次，从高等数学教学方式上，注重数学知识的应用，加强数学实验教学，引导学生参加数学建模竞赛和高等数学竞赛，发挥高等数学课在培养学生逻辑思维能力的作用来;再次，从高等数学的教学手段上，充分利用现代化教学手段，重视习题课，重视作业的布置与批改，重视课后答疑;最后，浅谈高等数学教师在平时教学中如何提高自身科研水平的心得。

关键词：高等数学;教学方法;数学实验;逻辑思维

中图分类号：G623.5  文献标识码：A

OnHigher Mathematics Teaching and Its Scientific Research Experience

Qian ZhiXiang

The Department of Basic Education，Guangdong Polytechnic College GuangdongZhaoqing 526100

Abstract：First of all，from the teaching methods of higher mathematics，it emphasizes the image and intuition teaching method，the exploration teaching method and the discovery teaching method，and strengthens the cultivation teaching method.Secondly，from the teaching way of higher mathematics，we should pay attention to the application of mathematical knowledge，strengthen the teaching of mathematical experiment，guide students to participate in mathematical modeling competition and higher mathematics competition，and play the role of higher mathematics course in cultivating students' logical thinking ability.Thirdly，from the teaching means of higher mathematics，make full use of modern teaching means，attach importance to exercises，attach importance to the assignment and correction of homework，attach importance to answer questions after class;Finally，talk about the higher mathematics teachers in peacetime teaching how to improve their own scientific research level of experience.

Keywords：Higher mathematics;Teaching method;Mathematical experiment;Logical thinking

世間万事万物都具其自身发展的内在的规律性，教学活动也具有其自身的规律性，虽教无定法，但教学有法，只要你在教学实践中做有心人，能够把简单的事情重复做，把重复的事情精致做，不断摸索，久而久之，熟能生巧，教学才能得心应手，挥洒自如，你只要一百次、一千次把一件工作做好了，你就是一个工匠，你就是一个庖丁。我是一名高等数学教师，记得我刚开始教学时，由于教学经验不足，总是喜欢面面俱到、事无巨细地讲解书本上的每一个概念和定理，生怕讲漏了某个知识点，生怕完成不了教学计划，而且每节课都生怕讲不完，所以经常拖堂，这就导致了课堂上满堂灌，学生成为被动学习对象，学生的学习主动性被抹杀，学生就会失去对高等数学这门课的学习乐趣。当时上课感觉很累，教学效果也差，学生们厌学情绪严重，这让我不知所措。后来经过多年的教学实践，在教学中不断地摸索，不断地学习，才有了驾驭课本，驾驭课堂的能力，现在上课时基本上把精力都放在重点突出和难点解决这两个方面，一节课基本上就一个重点一个难点，重点掌握了，难点解决了，学生们都能够当堂消化知识。现在我在教学上教得很轻松，学生们在课堂上学得也很轻松。总之，教师只有在教学实践中不断地探索，不断地积累，不断地钻研，不断地总结，推陈出新，才能使自己的教学水平达到炉火纯青的境界。

1 在高等数学教学方法上的心得

1.1 在高等数学课堂上强调形象直观教学法

高等数学这门课具有其自身的特点，就是抽象难懂，趣味性低，学生学起来容易产生为难情绪，针对这种情况，我在教学过程中总是强调数形结合的思想方法来解决问题，告诉同学们学数学一定要数形结合，数与形要形影相随，不可分离，要以图示性，以图识性，以图记性。这样就可以把抽象的概念形象化，把形象的概念直观化，把直观的概念具体化，帮助同学们理解。例如我在讲《高等数学》函数的单调性和极值这节课时，其中有驻点、极值点、最值点、不可导点、间断点、拐点等这些抽象的概念，学生比较难懂，我就采用数形结合的方法，画函数图像来帮学生们理解，把这些点的概念和具体的图像的点的性质特征集合起来进行理解，这样学生很快就弄懂了;在讲《离散数学》偏序集这节课时，其中偏序集中一些特殊的元素，如最大元、最小元、极大元、极小元、上界、下界、上确界和下确界这些抽象的概念，学生很难弄懂，我也用数形结合的方法，画出这个偏序集的哈斯图，把抽象的概念与具体的哈斯图上的结点相联系，通过数形结合，帮学生们理解，学生们就很容易懂了。还有许多数学概念比较抽象，我尽量使用几何画板用动画的方式直观形象地展现给学生，有时候也用形象生动的比喻来刻画难懂的数学知识。

1.2 在高等数学课堂上注重探究教学法和发现教学法

为了培养同学们自主学习的习惯，我经常用打破砂锅问到底的方法，引导学生追寻数学的源头。例如在讲《高等数学》定积分的定义这节课时，涉及不规则图形的面积，我就追问学生在中小学时就学过的许多规则几何图形的面积公式是怎么来的。例如三角形面积公式为什么是底乘高除以二，梯形的面积公式为什么是上底加下底乘以高再除以二，圆的面积公式为什么是圆周率乘以半径的平方等，让同学们思考，结果有少数同学能答出来，这些公式全部可以利用长方形面积公式推导出来，接着继续追问学生为什么长方形的面积是长乘以宽呢？就没有人能回答出来了，是人为规定的吗？我想这可能就是面积的源头吧！同样在讲到不规则几何体的体积时，问学生在中小学时所学的规则几何体的体积公式是怎么来的，例如为什么柱体的体积公式是底面积乘以高;锥体的体积公式三分之一底面积乘以高;球体的体积公式是三分之四乘以圆周率再乘以半径的立方;还有台体的体积公式等，其实不管是规则几何体的体积公式，还是不规则几何体体积求法都可以由长方体体积公式推导出来，但是长方体的体积公式是怎么来的呢？就很少有人知晓了，我想这也許就是体积的源头吧！自然数的加法也有类似的情形，例如可以由1+1=2推导出2+1=3，3+1=4，3+4=7等所有自然数的加法，但是为什么1+1=2呢？几乎没有同学能够回答出来，这就是自然数加法的源头吧！我觉得在课堂上多问为什么，让同学们自己去探索，去发现数学的源头，这不仅能活跃课堂气氛，而且能增加数学课的趣味性。

1.3 在高等数学课堂上通过数学史加强陶冶教学法

数学来源于现实生活，来源于生活实践，所以我在某一门课开始，或者某一章节开始，总是想方法设法把这一门课的历史渊源讲给同学们听，或者把与某一个数学概念有关的历史故事讲给同学们知道，让同学们懂得这门学科或某一数学概念的来源，培养同学们的数学素养，陶冶同学们的情操，激发同学们学习高等数学的学习热情。例如，在讲《图论》这门课时，我总是会讲哥尼斯堡七桥的故事[1]，讲述大数学家欧拉是如何利用图论的思想解决这个千古难题，并且写出了第一篇关于图论的文章，从而欧拉被誉为图论之父。在讲《微积分》这门学科时，我从公元前3世纪古希腊数学家和物理学家阿基米德讲起，他在著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就提到了微积分学中的积分思想[2];讲到我国古代庄周所著的《庄子》“天下篇”，讲到我国三国时期刘徽在他的割圆术，其中的思想都已经孕育了微积分中典型的极限思想;1635年，意大利数学家卡瓦列利在他的专著《连续不可分几何》中，就提到可以把一条曲线看作无数条线段拼成的，其实这就是以大化小，以直代曲的极限思想，这为后来的微积分的诞生奠定了坚实的基础;到了17世纪后期，在前人对微积分研究的基础上，牛顿从物理学的角度研究了微积分，创立了“流数术”的理论，这实际上就是现代微积分理论;几乎同时德国数学家莱布尼茨则是从几何学角度独立研究了微积分，莱布尼茨使微积分更加简洁和明了。这样通过无数数学家对微积分的研究，从而使微积分这门学科日臻完善。经常通过给同学们讲数学史，可以陶冶学生们的数学情操，培养学生的学习热情，使得上高等数学课不那么枯燥无味。

2 在高等数学教学方式上的心得

2.1 注重数学知识的应用

注重数学知识的应用，让学生知道数学不是枯燥的概念和公式的集合，而是一个实际应用的工具。例如，高等数学中微分的应用这一节，我就要让学生知道，中学阶段的各种数学用表，如平方根表、立方根表、指数表、对数表，还有三角函数表等都是高等数学中微分及其近似计算理论的应用而得到的。

2.2 加强数学实验的教学

加强数学实验的教学，让学生掌握应用数学软件来解决实际问题的能力，让学生懂得数学是一门工具，数学实验是把数学理论与数学实践结合起来的重要的教学手段，随着电子计算机技术的飞速发展和数学软件的不断开发，数学实验课已经变得越来越重要了，数学实验课不仅能提高学生的数学素养和灵活运用计算机的能力，而且能培养学生利用数学建模从事科学研究的能力，让学生们懂得数学不是那么抽象，而是具体的应用工具。

2.3 引导学生参加数学建模竞赛和大学生数学竞赛

引导学生参加数学建模竞赛[34]和大学生数学竞赛[5]，让学生们体会到高等数学的精妙绝伦和独特的魅力。调动同学们的学习积极性，增强荣誉感，培养同学们应用数学理论解决实际问题的能力，锻炼同学们创新思维能力，也可以借此来推动高等数学的教育教学改革，让同学们学会把高等数学中的基本理论与实际生活紧密结合起来提高对高等数学的认识与实践，从而提升高等数学教学方式和教学方法。

2.4 发挥高等数学教育在培养学生逻辑思维能力中的作用

培养学生逻辑思维能力是高等数学的一个核心素养，高等数学教育教学中概念的引入、定理的证明、公式的推导等到处都蕴含着逻辑思维，逻辑思维的形式是多种多样的[6]。例如：在高等数学中，从一元函数微分学向多元函数微分学的推广和完善，就是运用了延伸式思维;在高等數学中，把二维向量空间、三维向量空间的有关概念和定理向N维向量空间中推广应用就是扩展式思维的运用;在高等数学中，导数的应用、矩阵与二次型的关联等都离不开联想式思维;在高等数学中，运用极限的思想，通过“以大化小、以常代变、近似求和、取极限”方法求不规则几何体的面积和体积，就是运用式思维的体现。此外还有逆向式思维、幻想式思维、奇异式思维、综合式思维、求异式思维的运用等，高等数学教育中到处都充满着逻辑思维的运用，因此在高等数学教育教学中要时时刻刻加强对学生进行逻辑思维的训练，为培养创新型人才做出贡献[7]。

2.5 强化高等数学中的公式和定理的证明

高等数学中的公式和定理的证明也能够培养学生们逻辑思维能力和创新能力，数学公式的证明是学好数学，培养抽象思维能力的一种重要的方法和途径。高等数学的定理的证明，对于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力都有很大帮助。证明一个数学上的问题往往不像证明工程技术中的实验那样具体，高等数学中的一些公式和定理证明是一种高度抽象的思维活动。高等数学可以培养学生们的抽象思维能力和逻辑思维能力，而抽象能力和逻辑思维能力是学好自然科学学科所必需的能力。

3 在高等数学教学手段上的心得

3.1 充分利用现代化教学手段

充分利用现代化教学手段，精心制作课件，尽力使课件重点突出，简洁明了，条理清晰，结构合理，并且加以动画，让自己的课件动起来，这样才能让同学们听课不枯燥，才能使同学们能够专心听讲，适当的时候穿插一些准备好的教学视频，让课堂教学多样化。还可以使用微课[8]精讲某个知识点，效果更好。使用翻转课堂，让学生和老师的角色发生变化，老师通过学生提出的问题来引导学生学习和运用知识。

3.2 重视习题课

重视习题课，每一章我至少安排两节课的习题课，习题课是高等数学教学的一个重要环节，是对本章知识的一个概括、总结、运用和深化，也是培养学生学会归纳总结，抽象概括和综合运用能力的一个有效途径。上好习题课，首先要帮助学生在思维中形成一个完整的知识体系和知识结构，梳理本章中的数学概念、定理、公式和法则，以及它们的应用条件，应用范围和相互关系，然后配合经典的例题讲解，帮助同学们复习，巩固所学的知识内容，温故而知新，同时还会加深同学们对本章知识的理解，提高同学们运算能力、综合运用能力和归纳演绎能力。

3.3 重视作业的布置与批改

重视作业的布置与批改，高等数学课作业的布置与批改是高等数学课教学的一重要环节，是对高等数学课教学效果的检验和加固，教学中所产生的一切问题都体现在学生的作业情况之中，因此必需引起高度重视，但是众所周知高等数学课是一门公共基础课，大多是以合班的形式授课的，授课的班级人数较多，而且每两次课都要布置一次作业，这样对于一个高等数学教师来说，如果全批全改显然工作量巨大，有的教师会在这个环节上偷工减料。但是我认为教师应该要有乐于奉献的精神，要全身心地专注于每个教学环节，认真批改好学生的作业，从学生的作业中发现问题，从而改进今后的教学。我总是习惯于全批全改学生的作业，在批改学生的作业过程中与学生发生互动，我喜欢给学生的作业进行点评，加批注。如遇到一些普遍性的问题，那就更要注意了，我就把它记入教学后记中，在今后的教学中加以注意。我在给学生布置作业的时候，也是有讲究的，我布置的作业类型有课前作业、随堂作业，还有课后开放性的作业。课前作业是用来引导学生养成课前预习的好习惯，随堂作业是培养学生的学习积极性的，课后开放性的作业是培养学生的学习兴趣的。总之，用好作业这个教学环节是非常重要的。

3.4 重视课后答疑

重视课后答疑，高等数学课每节课授课内容多，知识点抽象难懂，而且每个学生的基础知识和理解能力参差不齐，这样教师很难在短短的一节课里让每个同学都能完全掌握所学知识，因此课后答疑解惑环节不可或缺，过去有些教师一下课就甩手走人，课下学生找不到老师踪影。现在互联网高度发达，我们可以通过微信、腾讯QQ、腾讯课堂等有效形式给同学们进行课后答疑解惑，同学们学习上只要遇到什么问题，我们都可以随时给他们进行答疑，教学效果显著提高。

结语

首先要广泛阅读同行专家撰写的经典论文，认真研究他们解决问题的方法和解决问题的技巧，模仿着写几篇论文，提高自己的自信心。其次，平时要多积累素材，充分利用图书馆的资源。对于我们高等数学老师来说，我们不仅要充分利用图书馆的资源中的有用书籍，而且更重要的是充分利用数据库上的网络资源。如果能够有效利用网上资源，那么会给我们带来意想不到的成功。为了解学科前沿，我们要尽量多地参加国内外著名专家的学术讲座，从中受到启发，激发灵感。了解本专业的科研动态和最新发展方向，了解国内国外学者们的最关注的学术前沿，在教学中也要多留意各样的素材，善于总结，多积累，厚积薄发，利用课堂教学积累资料，撰写教学研究论文，教研相长。再次，要积极主动地申报科研项目，利用科研项目来促进科学研究，且善于动用所有资源，寻找研究方向，进行有效的突破。然后，写论文时候要在学中写，在写中学，不能等万事俱备。最后，还要有坚持不懈、持之以恒、敢于攀登的精神。

参考文献：

[1]李刚.离散数学[M].上海：复旦大学出版社，2012：225226.

[2]卡尔·B·波耶.微积分概念发展史[M].唐生译.上海：复旦大学出版社，2007：225226.

[3]甘筱青.数学建模教育及竞赛[M].（第一版）南昌：江西高校出版社，20042：136140.

[4]王小琴.提高高职学生数学建模能力的方法探讨[J].科技资讯，2020（17）：116117.

[5]赵珈玉.以学科竞赛促进数学与应用数学专业课程改革路径浅述[J].科技资讯，2021（12）：137139.

[6]韦特海默.创造性思维[M].林宗基译.北京：教育科学出版社，1987：8691.

[7]李亚兰.试论高职数学课程对大学生创新能力的培养[J].科技创新导报，2020（02）：201202.

[8]练琪，王锦.微课教学模式在高职公共课教学中的应用探讨[J].科技创新导报，2020（18）：204205.

基金项目：广东理工学院高等教育教学改革项目（JXGG202151）

作者简介：钱志祥（1974— ），男，汉族，安徽巢湖人，硕士，副教授，研究方向：微分算子理论。