典型习题对数学思维培养的渗透

陆新颖

摘要：数学思维，是数学学习的基础和数学能力提高的保障。充分利用教材中的典型习题，可以渗透对学生数学思维的培养。文章首先阐述了小学数学课程对学生数学思维发展的教学要求，然后以苏教版小学数学为例，分别从典型习题对数学数感、符号意识、空间观念、几何直观、数学推理等几个方面探索了重视典型习题研究、发展学生数学思维的具体办法。

关键词：数学思维;典型习题;苏教版;教学策略

思维培养是小学阶段数学课程的重要任务，也是数学核心素养的重要组成。习题练习是小学阶段数学实践的重要方式。依托数学教材，在实践中加强对典型数学习题的研究，以促使学生在习题练习中积极参与，全面发展数学思维，提升数学综合能力，对小学阶段数学教学而言，显得迫切而重要。下面以苏教版教材为例，结合实践，就如何依托小学数学典型习题发展学生数学思维，谈如下一些个人观点与思考：

1   小学数学课程对学生数学思维发展的教学要求

在新课标中明确指出，教师在数学课程中应注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想等思维能力，尤其要重视对学生应用意识与创新意识的教学培养。这些数学思维能力的培养，既是小学数学教材的编写指南，也应成为我们教学过程中的重要参照，由此构成了小学阶段学生数学思维发展的核心内容。

2   重视典型习题研究，发展学生数学思维

数学课程强调逻辑推理，重视对数学知识的灵活运用。数学知识多以间接经验为主，而获取其中相关知识、探寻其中蕴藏规律最有效的手段就是实践，习题练习是最为重要且最为核心的学习手段。典型数学习题在问题解决过程中，体现出对学生数学思维的培养，值得广大教育工作者在教学实践中去认真总结、系统梳理。

2.1典型习题对数学“数感”的教学启发

顾名思义，数学“数感”可理解为对数学及数字的敏感。数学“数感”直接反映学生对数学概念、相关知识与应用实践的理解，考查学生在面对具体的数学问题时，其直观判断或策略处理能力。数学“数感”是小学阶段数学思维的重要培养内容，典型习题在一定程度上反映出对这种教学设计的契合。

以苏教版三年级上册第一单元“两、三位数乘一位数”课后习题为例。题目内容为：从甲城市去往乙城市，共有3种不同票价火车可以搭乘，具体票价见下表（表1）所示。某人购买了3张相同价格的火车票，付给售票员共1000元。请选择他购买的是哪一种价位的火车票。

本题是一道典型的数学“数感”启发习题。按照正常解题思路，大抵可经过如下求解步骤：第一步，分别计算出不同票价火车的购票总花费，普通火车为198×3=594（元），特快列车为312×3=936（元），动车组列车为405×3=1215（元）。第二步，将三种购票花费与实际的支付钱数进行比较，以确定本题答案。通过第一步计算，可知936元最接近1000元，所以可判定购买的是票价为312元/张的“特快列车”。但是若借助 “数学估算”来解决本道练习题，可极大地简化题目中烦琐的计算过程，既迅速又不容易出错，体现“数感”思维对数学解题的运用。在实际教学中，可引导学生进行估算，快速选出题目答案：（1）198≈200，312≈300，405≈400，（2）200×3=600，300×3=900，400×3=1200，（3）票价为312元的“特快列車”最接近1000元，因而其为本题正确答案。

2.2典型习题对“符号意识”的教学启迪

符号在数学课程、数学习题中广泛分布，常见的诸如数字、字母、公式等，均是数学符号在不同学习情境中的显现。所谓“符号意识”是指能够理解并运用符号来表示数、数量关系和其中变化规律，能够使用符号来进行运算或推理，得出一般性结论。小学阶段数学教学要帮助学生建立“符号意识”，引导学生理解符号并能通过符号的使用来进行数学表达与数学思考。在实际教学中，可通过典型习题来启发“符号意识”，提升思维能力。

以下题为例：若6*3=9，14#1=13，那么，7*5=？9*11#12=？本题引入了两个未知符号“*”“#”，体现“符号意识”在数学解题过程中的运用。在实际教学中，我们可通过引导学生仔细观察，发现其中规律，探寻解题路径。通过观察，学生发现原来题目当中的未知符号“*”“#”，是数学计算中“+”“-”号的替换。题干中的6*3=9，14#1=13可替换为6+3=9，14-1=13。这样，符号一经替换，整个计算过程就变得异常简单起来，7*5=7+5=12，9*11#12=9+11-12=8。再以一题为例：已知A、B为下述线段，两者大小关系见下图（图2）。想一想，比一比。（1）A=（   ），B=（   ）（括号内填写具体数字）。（2）A与B一共是多少？（3）A比B少多少？

这道题是图形符号在数学解题中的运用，同样考查学生“数感”思维的敏锐程度。通过比较，学生发现：本题中的A占据2个单位线段，B则占据了4个单位线段。已知，2个单位线段为6，则A=6，而B为A的2倍，即B=12。那么，A+B=18，B-A=12-6=6。从上述经典习题中，我们不难发现：“符号意识”建立在对数字敏感、数学规律熟练的基础之上，培养“符号意识”有助于启发学生的数学思维，提升学生的数学创造力。

2.3典型习题对“空间观念”的教学培养

“空间观念”是空间感觉、空间方位及空间想象等在数学学习中的综合体现。新课标指出，小学数学“空间观念”培养主要包含以下几方面：根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出实物，想象物体方位与位置关系，能够描述图形运动与变化，能够依据语言的描述画出图形，等等。在教学过程中，巧妙借助典型习题，可提升学生的“空间观念”，培养良好的数学思维。

以下题为例：小明要过生日了，妈妈送他的生日礼物被彩带包装成如下图所示（图3-1）样式。其中的接头处彩带长为15厘米。问：要完成这样的包装，2米长的彩带够不够用。

本题是一道经典的数学“空间观念”思维培养习题，考查学生通过几何图形去想象实际物体，以实现数学问题解决的过程。结合生活经验，假借“空间观念”思维，学生发现：整个包装的彩带总长度由三部分构成：两个不同横截面的周长，再加上接头处的15厘米。只要计算出实际使用彩带的总长度，就可求出2米彩带到底是否够用。未知的两个长方形周长长度，可利用周长公式C=2（a+b）算出，分别为2×（40+10）=100（厘米），2×（30+10）=80（厘米），彩带总长度为：15+100+80=195（厘米），小于2米，所以，够用。当然，在彩带计算过程中，可以通过数学“空间观念”中的“位置移动和变化”思维，简化求解过程。我们发现：彩带在对生日礼物礼盒的缠绕过程中，形成了两个封闭的长方形，借助对彩带每个边长的图形位移，我们发现：彩带使用部分的长度，实际是对原立方体的40厘米、30厘米边长进行2次重复捆扎、对10厘米边长进行4次捆扎的长度总和（见图3-2）。那么，计算过程简化为：（40+30）×2+10×4=180（厘米），加上打结处的15厘米，总长度为：180+15=195（厘米），所以，2米的彩带够用。

2.4典型习题对“几何直观”的教学渗透

小学阶段的学生刚刚接触数学，处于数学兴趣培养的启蒙期，是数学素养的奠基培育阶段。数学本身所具有的抽象、严谨等学科特征，容易引起初学者的恐惧，其教学中包含的大量概念、公式、定理、推导等相关内容，也会使学生在学习上产生倦怠，不利于数学兴趣的激发。“几何直观”将直观的图形图像引入数学学习当中，利用图形来描述和分析具体问题，将其简明化、具体化、形象化，让学生能更加直观地理解数学，从而降低数学问题难度，提升数学问题解决效率，有助于提升学生的学习参与度与数学学习兴趣。在典型数学习题练习中，我们总能遇到借助“几何直观”思维来简化解题过程的精彩运用。

以下题为例：图中（见下图4-1）大圆的周长为628厘米，大圆内部有3个小圆，它们的圆心都在大圆的直径上面，并且相切。请问：这3个小圆的周长之和是多少厘米？

本题看似是利用圆的周长公式展开相关运算的专项练习习题，实则是一道典型的“几何直观”思维培养习题。常规解法是：（1）分析题意，找出未知条件。根据圆的周长计算公式C=πR，π是隐性已知条件，发现：想要计算3个小圆周长，前提是要获悉它们的直径数值，于是，解题的焦点回归到探寻图中3个小圆直径上来，这是解决本题的核心关键;（2）探寻解题关键，寻找解决途径。本题已知条件只有大圆周长是628厘米，那么借助周长公式C=πR，我们可计算出大圆的直径R=C÷π=628÷3.14=200（厘米），通过观察，我们发现这3个小圆的直径之和等于大圆直径，可借助C总=C1+C2+C3=πR1+πR2+πR3=π（ R1+R2+R3）的公式变化，将分别寻找三个小圆直径的核心关键，转化为对三个小圆直径之和的探究，直径之和就是大圆直径，借助圆周长计算公式C=πR，可求出图中3个小圆周长之和。（3）整理并输出计算。运用上述分析，将思维过程转化为解题步骤：因为C总=C1+C2+C3=πR1+πR2+πR3=π（ R1+R2+R3），π=3.14，R1+R2+R3=200，则C总=3.14×200=628（厘米）。那么，细心的学生发现：3个小圆的周长之和与大圆周长相等。其实，借用数学“几何直观”思维，我们可以通过“小圆直径之和与大圆直径相等”这一隐藏在图形内部的条件，很容易得出本题的计算结果。拓展开来，如果在同样条件下，大圆内的小圆变成了10个、20个、100个，那么，它们的周长之和，结果是多少？显而易见，与大圆的周长相等，同样是628厘米。在这个典型习题的基础上，还会进行其他延展，体现对“几何直观”思维的培养。如图4-2所示，若大圆的周长为628厘米，那么内部6个小圆的周长之和为多少呢？在此不做赘述，留作读者思考。综合而言，“几何直观”是小学阶段重要的数学思维，借助典型习题，透过课堂训练积极引导，可激发数学思考，提升数学洞察能力，培养良好的空间思维能力。

2.5典型习题对“数学推理”的教学应用

推理是数学基本思维。利用推理来解决数学问题，贯穿于全部数学学习过程。常见的“数学推理”主要包括两个方面：其一是合情推理，强调从事实出发，凭借经验与直觉，利用归纳或类比等方法来进行数学结果的推断。其二是演绎推理，是指依据数学事实与数学规则，按照逻辑推理法则来进行数学计算或数学证明。在实际教学中，多数数学习题反映了“数学推理”思维的过程，体现对学生“数学推理”思维能力的培养。因此，要求我们在实践中要加强对典型推理数学习题的研究，在数学运用中去发展学生的“数学推理”思维能力。

以下题为例：求出分数算式1/2+1/4+1/8+1/16的结果。本题虽然是一道计算类习题，但其求解过程却充分体现了“数学推理”的灵活运用，可谓数学习题中的经典题型。本题常规解题思路是先对其中各个分数施行分母通分，找出分母的公倍数，将分子相加，从而求出最终结果。本题分母的公倍数为16，分数计算过程大抵如下：1/2+1/4+1/8+1/16=8/16+4/16+2/16+1/16=（8+4+2+1）/16=15/16。在“数学推理”思维指引下，我们可探寻另外的解题思路，借助推理简化计算过程，体现推理思维对数学解题的重要作用。研究发现：本题算式中各分数可分别用一组首尾呼应的分数减式进行替换，如1/2=（1-1/2），1/4=（1/2-1/4），1/8=（1/4-1/8），1/16=（1/8-1/16），将分数减式代入算式，前后抵消后即得到极大简化，过程为：1/2+1/4+1/8+1/16=（1-1/2）+（1/2-1/4）+（1/4-1/8）+（1/8-1/16）=1-1/16，迅速得出计算结果为15/16。

3   结语

思维培养是数学课程的重要教学任务。习题练习是数学实践的重要组成，典型数学习题渗透有利于学生数学思维能力的培养。在教学过程中，应重视对习题教学的研究，从中发展学生的数学数感、符号意识、空间观念、几何直观、数学推理等思维意识，以全面提升数学综合能力，促进数学核心素養形成。

参考文献：

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