数学实验：让经验与思想同构共生——以《多边形的内角和》教学为例

○周海斌

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）在“课程实施”中指出，通过丰富的教学方式，让学生在实践、探究、体验、反思、合作、交流等学习过程中感悟基本思想、积累基本活动经验，发挥每一种教学方式的育人价值，促进学生核心素养发展。

数学实验教学旨在引导学生“做中学”，通过观察、猜想、操作和推理等活动，验证和归纳结论，建立数学模型，帮助学生积累数学活动经验，感悟数学思想。

一、创设情境，提出问题

（出示奥运场馆“水立方”外景图。）

师：你看到了什么？什么是多边形？你想研究它的什么？

创设生活情境，引发数学思考，抽象数学问题，激发实验动机，是数学实验的第一步。由学生熟知的“水立方”引入，厘清核心概念，提炼关键问题，促进学生形成用数学的眼光观察现实世界的意识，积累发现问题、提出问题的经验。

二、发现变量，合理假设

课件演示，回顾旧知，引导学生发现：不管三角形大小、形状如何变化，内角和始终是180°。

继续课件演示，变成长方形，内角和变成了360°。引发学生猜想：多边形内角和与边数有关系，多了一条边，就多180°。

三角形是最简单的多边形，学生已有求三角形内角和的经验，以此为基础，引导学生在观察“变与不变”中发现：在多边形边数确定的情况下，不管多边形形状和大小如何变化，内角和是不变的，而边数发生变化后，内角和也随之发生变化。继而引发猜想，提出合理假设。

寻找自变量与因变量，并假设之间的关系，是数学实验的重要环节，决定后续实验的方向和成效。引导学生经历此过程，积累有根据的猜想的活动经验，体会“数学是研究数量关系的科学”，渗透模型思想。

三、实验操作，验证假设

1.验证四边形内角和。

任意画四边形，自主探索内角和，归纳方法：测量法、拼凑法、分割法。

比较方法优劣，重点交流“分割法”：画一条辅助线，将四边形分割成两个三角形，原来的4个内角被分成6个角，并重新组合，四边形内角和转化成两个三角形的内角总和，180°×2=360°。

由长方形内角和类推任意四边形内角和，从特殊到一般，进一步验证边数确定的情况下，内角和与形状、大小无关。此环节，少一些指令和限制，多一些开放和发散，学生的思维被充分激活，既有“测量求和”“拼成周角”等旧方法的迁移，也有“分割转化”新方法的生成。通过追问、解释和演示，学生初步认识和学会使用辅助线，借助直观为思维提供表象支撑，理顺原来的“大角”与分割后的“小角”之间的对应关系，重新组合时做到不重复、不遗漏，为后续求复杂多边形内角和积累活动经验，并感悟分割等方法背后的转化思想。

2.探索五边形、六边形、七边形内角和。

小组合作，按要求进行实验操作。

从信封中取出纸片，每人任选一张，数一数它是几边形；用喜欢的方法求出多边形的内角和，并交流自己的思考过程。

小组投影反馈，汇报交流，比较优劣，纠错融错。

常规方法：从同一顶点将多边形分割成若干个三角形，拼成若干个180°。

错误方法：无序分割，重新组合时有重复或遗漏。

创新方法：从多边形内一点连线分割。以七边形为例，分割成7个三角形，但以分割点为顶点的7个角拼成的周角，不能算内角，180°×7-360°=900°。

数学实验具有较强的操作性，是帮助学生积累数学活动经验的重要载体。教师不仅要传授学生操作的方法和技能，更要让学生带着问题和任务去操作，边操作边思考。本环节采用小组合作学习的模式，给学生充分的时间去操作、探索和交流，呈现多种分割方法，让学生对比、说理，优化策略，积累活动经验，培养创新意识、实践能力和空间观念，并感悟有序、转化、对应等数学思想方法。

四、归纳推理，建构模型

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汇总实验数据，证明猜想正确，引导学生发现边数、三角形个数与内角和之间的关系，并建构数学公式：n边形的内角和=180°×（n-2）。

师：n-2，怎么想的？

生：三角形个数比边数少2。

生：从同一顶点分割，中间三角形只占有多边形的一条边，两边三角形各占有多边形的两条边，减去多占的两条边后，每个三角形都只对应一条边，就有（n-2）个三角形。

生：依据乘法分配律，180°×（n-2）=n×180°-360°，也可以理解为从n边形内一点分割，分割成n个三角形，用它们的内角总和减去以分割点为顶点的周角360°。

《课标（2022年版）》指出，模型意识是小学阶段核心素养的主要表现之一。在充分经历实验操作、获取大量实验数据后，引导学生分析、推理和归纳规律，尝试用数学符号建立公式，积累建模经验，渗透模型思想。“n-2，怎么想的”，使学生加深理解模型的意义，掌握内角和与边数之间的关系，同时也以说理的方式对模型进一步解释和验证。

五、回顾总结，解决问题

1.学生反思总结实验探索过程。

2.内角和为1800°的多边形是几边形？

3.今年是2022年，我国成功举办了冬奥会。小华有一个设想，要是能设计一个内角和是2022°的多边形花坛，该多有意义啊！小华的这个想法能实现吗？

《课标（2022年版）》指出，要让学生会用数学的语言表达现实世界，能够在现实生活与其他学科中构建普适的数学模型，表达和解决问题。引导学生应用数学模型解决问题，发展模型意识、推理意识和应用意识，体会数学与现实世界的联系，积累分析问题和解决问题的经验。数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，所以，教师要引导学生回顾探究过程，归纳数学实验的一般步骤，促使学生将内在的活动经验和数学思想外显化，并养成自我反思的良好习惯。