以计数单位统领“数与运算”教学

○吴汝萍

“数与运算”包括整数、小数和分数的认识及其四则运算。《义务教育数学课程标准(2022年版)》（以下简称《课标（2022年版）》）指出，在“数与运算”中，学生要理解和掌握数的概念，经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法；在认识整数的基础上，认识小数和分数；通过数的认识和数的运算有机结合，感悟计数单位的意义，了解运算的一致性。

教学中，教师要重视整数、小数、分数间的关系，引导学生体会它们都是基本计数单位累加或细分的结果，感悟其内在的一致性，从而形成合理的认知结构。

一、借助计数单位理解算理

运算教学中，教师应重视算理与算法，处理好它们之间的关系。算理是算法的原理和依据，算法是运算的基本程序和方法。学生只有在理解算理的基础上掌握算法，才能形成相应的运算技能，提升运算能力。

【教学回放】

师：12×20是多少？你是怎么想的？

生：先算12乘2等于24，后面添一个0，是240。

师:对！20×30呢？

生：先算2乘3等于6，后面添上2个0，是600。

师：这样算又对又快！以后遇到整十数乘法就这样算。

学生凭感觉得出一个数与整十数相乘，先算0前面的数，再在末尾添0。如果仅知其“法”，不知其“理”，让学生口算60÷20，学生很容易迁移其“法”得出商为300的错误结果。

【教学重构】

师：12×20是多少？你是怎么想的？

生：先算12乘2等于24，后面添一个0，是240。

师：这样算有没有道理呢？2表示什么？

生：2表示2个十，12乘2个十是24个十，24个十就是240。

师：原来算出的是24个十，所以再添上1个0就可以了。口算20×30呢？

生：先算2乘3等于6，后面添上2个0，是600。

师：这样算的道理是什么呢？

生：20乘3个十是60个十，60个十就是600。

生：2个十乘3个十是6个“十十”，10个10是100，6个“十十”也就是600。

生：还可以用式子来表示，20×30=2×10×3×10=6×100=600。

教师通过追问“这样算有没有道理呢”，引导学生从计数单位的角度深入思考算理，从而理解：12乘2个十是24个十，即240；20乘3个十是60个十，即600，并从多角度分析得出2个十乘3个十是6个百。

运算的本质是计算计数单位的个数，也就是对计数单位个数的运算。《课标（2022年版）》也强调，要让学生感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性。

二、借助整数计数单位“1”认识分数

学生之所以觉得分数难理解，是因为它既能表示具体的数量，又能表示两种数量之间的关系，即比率。其实整数也是既能表示具体的数量，又能表示两种数量之间的关系，即倍比。为什么学生认识分数比较困难呢？是不是分数的引入出了问题？

【教学回放】

师：把一个月饼平均分给2人吃，每人能分到多少？

生：每人能分到半块。

师：把一个月饼平均分成2块，每块是这个月饼的一半，也就是它的二分之一。

师：如果把这个月饼平均分成4块，每块是它的几分之一？

【教学重构】

屏幕上出示4个苹果、2瓶水、1块月饼。

师：这里的4、2、1都是用来表示整个物体的个数，叫什么数？

生：整数。

师：对，我们以前认识的数都是整数。整数最小的单位是——1，一个也没有就是——0。整数有多少个？

师：整数能不能表示出各种大小不一的物品个数呢？如果把1块月饼平均分给2人，每人吃了多少块月饼？你发现了什么？

生：每人分到半块，不到1，不好用整数表示了。

师：整数不够用了，就创造了——分数。

师：如果分1米长的线段、1千克的大枣，可以得到什么分数？还可以分一个什么？（引导学生分一分，认识米长的线段千克千克的大枣……）

师：今天我们认识了几分之一这样的分数，是分整数几得来的？怎么分出来的？

生：是分整数1得来的，把一样东西平均分成几份，每份就是几分之一。

“一半”是部分与整体的关系，“半块”则是表示数量的多少。强调把1块月饼平均分给2人，每人分到块，这是从表示数量的维度来引入分数。明确1块蛋糕分成2个块，在此基础上让学生认识米、千克等表示数量的分数。学生逐渐明白了：分数和整数一样也是数，几分之一是平均分整数1得到的。等到五年级理解分数的意义时，学生就容易理解“单位1”不过是“整数计数单位1”的简称而已。如此教学，有利于学生形成宏观的、完整的、结构化的认知结构，这也正是《课标（2022年版）》所倡导的。

三、借助整数计数单位间的十进关系认识小数

十进制计数法是建立整数概念的基础和核心。小数最基本的特征与整数一致，也是十进制。人教版教材选择从长度这一具体量入手认识一位小数,再延伸到人民币模型，其出发点是希望借助学生的生活经验来理解一位小数，但这样忽视了一位小数的本质是将整数1平均分成10份，表示其中的1份或几份的数，弱化了一位小数与整数计算单位1之间的十进关系。

【教学回放】

师：王东身高1米3分米，用米作单位是多少米？生：1.3米。

师：为什么是1.3米呢？

师：1分米是几分之几米呢？

（学生茫然。）

学生在生活中可能听说过1米3分米就是1.3米，但并不清楚其原理。另外，学生对1分米是米也非常陌生，因为在初步认识分数时，分数的后面基本上是不带单位名称的。所以，从长度单位或人民币单位入手认识一位小数，学生往往是被动的，很难真正理解一位小数的内涵。

【教学重构】

师：森林里正在进行吹塑料棒的比赛，塑料棒滚过1格的成绩是1分，你知道熊大和小狸成绩是多少吗？蹦蹦呢？

生：熊大成绩是4分，小狸成绩是1分，蹦蹦0.5分。

师：数是数出来的，哪里能数出0.5呀？请大家先看看涂涂的成绩，感觉是多少分？

生：0.1分。

师：的确是0.1分。想一想，这个0.1是怎么来的？

生：把1格平均分成10份，1份就是0.1。

师：你们怎么想到是平均分成10份的？为什么不是9份或11份呢？

生：因为10个一是十，10个十是一百……

师：这个0.1和我们以前学习的哪个分数意思一样？

生：十分之一。

师：我们再来看蹦蹦的成绩，现在知道为什么是0.5了吗？

生：把1平均分成10份，蹦蹦正好吹了5份。

师：对，数一数，能数出几个0.1？想一想，10个0.1是多少？

（这里让学生认识到10个0.1是1，感悟小数与整数之间都是满十进一。）

师：毛毛吹了多少格，成绩是多少？光头强吹了2.3分，你知道他吹到了哪里？

在此基础上，教师再出示米尺和1角硬币，让学生理解0.1米、1.2米及0.1元、1.2元的含义。

《课标（2022年版）》指出，要借助学生的生活经验，引导学生认识小数单位，进一步感悟十进制计数法。上述教学过程中，先让学生用整数4和1表示熊大和小狸的成绩，接着表示蹦蹦和涂涂的成绩时，因为不足1，学生自然而然想到将整数1平均分成10份，得到小数单位0.1，如此，学生很容易理解一位小数的内涵，并认识到一位小数与十分之几的分数之间的一致性。理解了一位小数后，再让学生理解0.1米、1.2米和0.1元、1.2元也就水到渠成，达到理解、迁移、掌握与运用的融会贯通。