研读数学教科书的三个妙招

◎王永军 （重庆市广益中学校，重庆 南岸 400065）

人民教育出版社2019年版普通高中教科书数学必修分为2 册，共10 章，经国家教材委员会专家委员会审核通过，已在全国范围内使用．新教材亮点多、课本厚实，教材提供了丰富的数学实际应用背景，为积极践行数学学科的核心素养落地与发展提供了优质的第一手素材．研读数学教科书是学习数学的第一步．本文主要探讨研读教材的三个妙招．

一、莫道小处不主角，应用解题更风流

教科书第1 册第五章“三角函数”中，从单位圆的角度给出了三角函数的定义．

如图1，设角α的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），则正弦函数sinα＝y、余弦函数cosα＝x、正切函数 tanα＝

图1

该定义具有极强的理论价值，在后续的三角函数诱导公式的证明中将大显身手，但它绝不是求解三角函数值的最好方法，最好方法其实是教科书的例2．

如图2，在角α的终边上取点P（x，y）（不与O重合），记r＝OP＝＞0，则

图2

若我们把教科书例2 看成三角函数的另一种定义的话，其显然与前述定义是等价的（用相似形，如图3）．但在三角函数具体求值的过程中，例2 在应用上更加得心应手、方便自如．

图3

图4

图5

在形式上，点B的坐标比点P的坐标复杂些．求角的终边与单位圆的交点的过程运算常常比较复杂、烦琐，而在角的终边上任意取点则灵活、随性．

我们利用例2 的方法，在角的终边上可以任意取点，这样便于计算、降低了解题的思维层次，是求解角的三角函数值最直接、最好用的方法．

课程标准解读三角函数是普通高中数学课程函数主题的核心内容之一，三角函数的应用贯穿整个高中数学教学，是学好其他相关内容的重要支撑．教科书中借助单位圆来理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，要求学生借助单位圆作出相应的三角函数的图像其实是“粗糙”的．借用单位圆作出三角函数的图像可能仅仅在第一次用过之后就不再使用，其作图过程是很烦琐的，学生在以后的三角函数的应用中更多的是运用三角函数的示意图来处理问题．

在理解三角函数的周期性、单调性、最值性等时，“终边取点”（例2）的方法更加直观，学生学习更易上手，在教学中是值得揣摩的三角函数的“好定义”．

我们利用单位圆的对称性可以推导出三角函数相应的诱导公式：α±、α±π 的正弦、余弦、正切公式等，所有这些在“终边取点”（例2）的定义中利用点的对称性同样可以轻松得到．教科书三角函数的定义中单位圆上取点是“终边取点”（定义）的一种特例，它们是等价的．但是从后来的教学实践、学生学习实践来看，三角函数的“终边取点”（定义）更胜一筹、更好一点．

中学数学教学中教师要有大的“单元观”，要努力帮助学生形成良好的数学核心素养，使学生养成良好的数学思维习惯．既要“仰望星空”，也勿忘“来时路”．数学的兴趣由此形成．例如，初中（七年级）教科书中实数加法的法则：

（1）同号2 个数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．

（2）异号2 个数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．

（3）一个数同0 相加，仍得这个数．

由这个法则我们可以进一步得到一个“想当然”的结论：2 个数相加，和为0，则这2 个数为互为相反数，它们的绝对值相等；否则，和的符号与这2 个数中绝对值较大的数（可能相等）的符号相同．这个结论常常可以使解题过程变得简单．

例题若0 ＜x＜1，a＞0，a≠1，比较｜loga（1-x）｜与｜loga（1＋x）｜的大小（写出比较过程）．

解析用实数的加法法则对问题进行处理．

“想当然”解法：实数加法法则（精妙绝伦）

由题，易见0＜1-x＜1＜1＋x、0＜1-x2＜1，由对数函数的单调性知，loga（1-x）与loga（1-x2）同号，而且loga（1-x2）≠0，loga（1-x）与loga（1＋x）异号．

loga（1-x）＋loga（1＋x）＝loga（1-x2），由实数加法的意义，立即可得｜loga（1-x）｜＞｜loga（1＋x）｜．

这里的“想当然”得到了精致运用．本题的常规解法主要有作差法、作商法．作差法为了去掉绝对值符号，需要对a进行讨论；作商法为了判定算式与1 的大小关系，需要对对数式进行创造性的构造．传统的常规的解题方法是重要的方法，但也常常是复杂的、烦琐的解题方法．

基本解法1：作差法

当0＜a＜1，易见0＜1-x＜1＜1＋x、0＜1-x2＜1，由对数函数的单调性判断，得｜loga（1-x）｜＝loga（1-x），｜loga（1＋x）｜＝-loga（1＋x），从而｜loga（1-x） ｜-｜loga（1＋x） ｜＝loga（1-x）＋loga（1＋x）＝loga［（1-x）（1＋x）］＝loga（1-x2）＞0，于是｜loga（1-x）｜＞｜loga（1＋x）｜．

类似的，当a＞1 时，同理可得｜loga（1-x） ｜＞｜loga（1＋x）｜．

基本解法2：作商法

0＜1-x＜1＜1＋x、0＜1-x2＜1，由对数函数的单调性考虑：

这里仅用此例说明研读数学教科书时我们要注重对数学主体知识的全方位把控，认真解读课程标准，不偏不倚．教科书是为课程标准服务的，用好教科书的“小知识”“想当然”也是为了完成课程标准的要求，是为学生的发展服务的．我们要灵活使用数学教科书这个载体，不盲从，不本末倒置．

二、莫言课本无瑕疵，事实胜辩更完美

在教科书第2 册第九章“统计”中，用样本估计总体是统计的基本思想．绘制频率分布直方图是统计中最基本的技能，是研究样本数据的最基本、最常用的手段．

例题居民用户月均用水量的样本数据分析．经过一系列的统计数据处理，绘制出频率分布直方图（如图6）：

图6

在这个频率分布直方图中我们看不到横轴的坐标原点，这为后续的概率的密度曲线的引入设置了障碍．

我们可以对横轴进行类似图7的处理：

图7

现在仿照图7，改进如下（如图8）：

图8

用频率分布直方图可以估计总体的一些数字特征，比如众数、平均数、中位数、第p百分位数等（如图9）．

图9

在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积是相等的，都是0．5．为减小计算量，我们先估计中位数x1可能的取值范围：

0．077×3＝0．231＜0．5，（0．077＋0．107）×3＝0．552＞0．5．

于是x1∈（4．2，7．2），

故0．077×3＋0．107×（x1-4．2）＝0．5，

解得x1≈6．71．

其实，中位数就是第50 百分位数．（注：第p百分位数即p%分位数，是指它使得样本数据中至少有p%的数据小于或等于第p百分位数．）

教科书在求80%分位数x2时，也是先估计x2可能的区间范围：

x2∈（13．2，16．2），则x2＝13．2＋3×

在上述计算中，计算关系是不明显的．

现在回到问题的原点，我们考虑频率分布直方图中相应矩形的面积的和，问题就浅显易懂了，而且解题的过程可以简单很多：

由（0．077＋0．107＋0．043＋0．030） ×3＋0．030×（x2-13．2）＝80%，

解得x2≈14．17．

这样把“晦涩”的知识点串在一起，可以寻求其共同的本质，以不变应万变．学生在学习中要敢于质疑、勇于质疑，寻求最佳的解题办法，事实胜于雄辩．

课程标准解读统计内容是数学课程标准中“概率与统计”的两大板块之一．统计既是概率内容的延续，也是事件概率运算的内在要素．概率与统计是密不可分的统一的整体．通过统计内容的学习，学生进一步学习数据收集和整理的科学方法，学会用直观图表来整理数据．频率分布直方图是直观图表的核心表现形式，我们借此可以进一步分析采样数据的统计特征，让学生感悟在实际生活中进行科学决策的必要性与可行性，深刻体会统计思维与函数（确定性）思维的异同，积累数学建模、数据分析、数据决策等的经验．

频率分布直方图是统计板块中考查学生运用统计知识解决现实生活问题的重点．在高考数学试题中频率分布直方图是规范的、精准的．

例题为了了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查．将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下的频率分布直方图（如图10）：

图10

根据此频率分布直方图可以得到：该地农户家庭年收入低于4．5 万元的农户比率为（0．02＋0．04）×1＝0．06；家庭年收入不低于10．5 万元的农户比率为（0．04＋0．02＋0．02＋0．02）×1＝0．10；家庭年收入介于4．5 万元至8．5 万元的农户比率为（0．10＋0．14＋0．20＋0．20）×1＝0．64．还可以估计该地家庭年收入的平均值．

例题从某网络平台推荐的影视作品中随机抽取400部作品，统计其评分数据．将所得的400 个评分数据分为8 组：［66，70），［70，74），…，［94，98），并整理得到如下的频率分布直方图（如图11）：

图11

根据此频率分布直方图得到评分在区间［82，86）内的影视作品数量为400×（0．050×4）＝80．

三、莫让浮云遮望眼，去粗取精更固本

案例3教科书第2 册第十章“概率”把“事件”与第1册第一章“集合与常用逻辑用语”中“集合”建立关联，使得整个普通高中数学必修课程前后呼应，数学知识结构体系形成了一个漂亮的闭环．“事件”与“集合”几乎对等，实际上事件的关系和运算就是集合的关系和运算．比如“不可能事件”记为空集Φ、“必然事件”记为全集Ω；事件A与事件B依据发生与否有包含关系、相等关系；互为对立事件对应着集合中的补集运算．

集合的并集、交集是清晰的，符号的用法是固定的、唯一的．并集：A∪B，交集：A∩B；并集不能用A＋B，交集不能用AB．但是在事件的运算中，并事件也叫和事件，可以记为A∪B，也可以记为A＋B；交事件也叫积事件，可以记为A∩B，也可以记为AB．

我们建议事件的并、交运算只记为A＋B、AB．毕竟“事件”与“集合”是不同的概念，具有不同的实际应用背景，在写法上进行区分有利于学生对基本概念进行深入的理解，这是很好的学习习惯．比如事件A与事件B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；事件A与事件B独立，则P（AB）＝P（A）P（B）．这里事件的概率的数学表达式形式直观、简洁好记．

课程标准解读“事件”是“概率”中的基本元素，教师要结合具体实例帮助学生理解随机事件，要求学生会计算古典概型中简单随机事件的概率，以期使学生加深对随机现象的认识和理解．学生了解随机事件的并、交、互斥的含义，结合实例进行随机事件的并、交运算．注意课程标准的表述为“了解”随机事件的并、交，因此本部分教学内容对中学生来讲可以轻松一点，各种记号、符号等的应用没有必要面面俱到，学生只需抓住教学内容的核心问题即可．

高中数学教科书是数学教材专家组成员的集体智慧的结晶，其正确性、权威性常常是不可置疑的．教科书是为学生的学习发展服务的，我们要真正发挥教科书的优势，合理恰当地借鉴专家教授的专业成果、专业经验，为教育教学服务，同时要尊重数学科学、尊重数学生成发展的学科规律，注重高中学生学习数学的特殊学习规律、阶段心理特征，合理、高效地安排数学学科的教学与学习，真正发挥数学作为基础学科的作用，全面实践数学学科核心素养．