浅谈分类讨论思想在高中数学解题中的应用

◎曾祥均 （绵阳普明中学，四川 绵阳 621000）

一、分类讨论思想在高中数学解题中的作用和地位

在近年高考中，有一类题因题目已知条件存在一些不确定因素，无法用统一的方法解答，我们往往将问题划分为若干类，或若干个局部问题来解决，这就是数学中重要的一种数学思想——分类讨论思想．

在新课标的指引下，这一思想已经成为高中数学教学中的重点和难点．分类讨论的试题覆盖文理科，试题题型包括选择题、填空题、解答题，知识面覆盖广，几乎涵盖了高中所有章节．数学作为选拔人才的考试科目之一，必定会突出对数学思想方法的考查，分类讨论是一种重要的数学思想方法，这种思想方法对于简化研究对象、发展人的思维起到重要的帮助作用．分类是为了明确题设条件中所蕴含的逻辑关系和因果关系，化整为零，形成解决问题的方案，进而从局部问题开始探究，逐个击破，最后综合各类结果，形成系统的研究结论．

二、分类讨论的原则

第一，同一性原则．在分类的时候我们要注意分类的标准应当是统一的．对整体进行统一分类，采用相同的标准，这样才能使得分类更加科学合理，避免出现错误．

第二，互斥性原则．如果各部分相互包含，就会造成部分之间的关系混乱，容易出现错误．

第三，相称性原则．划分后的部分内容在考虑和计算时，应当进行分类讨论，不能超出之前的范围．

第四，分层次原则．通过多次分层，直到找到解决问题的方法，满足解题的要求，在分类时要避免层次之间的混乱，最后通过整合得到正确答案．

三、分类标准和原则

对问题进行分类讨论时，我们必须按同一标准分类，且做到不重不漏．解题时，分类讨论通常分为四步：第一，明确目标且确定目标的取值范围；第二，采用合适的分类标准进行分类；第三，逐类、逐段分类讨论；第四，归纳概括．

四、解题中分类讨论思想应用策略

第一，图形的形状不同．若图形存在不同的形状，则需要讨论可能出现的形状，做到不重不漏．

例1平面内有两定点A、B，直线AB的垂线上有一动点M，垂足为N．若（λ为常数），确定动点M的轨迹形状．

分析此题涉及曲线的轨迹方程和轨迹的对应关系，考查分类讨论思想以及计算能力．建立直角坐标系，设A、B坐标，以及M坐标，利用向量运算建立动点M的轨迹方程，然后由λ的取值范围判断曲线类型．

解将AB所在直线作为x轴，AB中垂线为y轴，建立直角坐标系，设M（x，y），A（-a，0），B（a，0）；因为，所以y2＝λ（x＋a）（a-x），即λx2＋y2＝λa2，则：

（1）当λ＝1 时，轨迹是圆；

（2）当λ＞0 且λ≠1，是椭圆的轨迹方程；

（3）当λ＜0 时，是双曲线的轨迹方程；

（4）当λ＝0 时，是直线的轨迹方程．

第二，图形的位置无法确定．若图形的位置可能有多种情况并且会对问题的结果产生影响，则必须分类讨论．学生要对各种可能出现的位置关系全面考虑，合理分类，逐一验证，做到不重不漏．

例2已知圆O和定点A，动点P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可以是下列图形中的（）．

①点 ②直线 ③圆 ④椭圆 ⑤双曲线 ⑥抛物线

分析本题主要考查求动点的轨迹，考查与圆、椭圆、双曲线有关的轨迹问题，关键是数形结合、分类讨论思想的应用．我们分类讨论点A与圆O及点Q的关系，根据圆、椭圆、双曲线的定义，可得结果．

解设圆O的半径为r，连接AQ、OA．

（1）当点A在圆O外时，｜QA-QO｜＝｜QP-QO｜＝OP＝r＜OA，则点Q的轨迹是以两定点O、A为焦点，r为实轴长的双曲线．

（2）当点A在圆O内时，QA＋QO＝QP＋QO＝OP＝r＞OA，则点Q的轨迹是以两定点O、A为焦点，r为长轴长的椭圆．

（3）当点A与点O重合时，点Q为OP的中点，OQ＝，则点Q的轨迹是以定点O为圆心，为半径的圆．

（4）当点A在圆O上时，OP＝OA，线段AP的垂直平分线和直线OP相交于点O，则点Q的轨迹是定点O．

综上所述，点Q的轨迹可以是点、圆、椭圆或双曲线．

第三，解题时采用的各种方法，比如化简、求值或论证，都离不开运算．我们在不同条件下进行运算会引起分类讨论，比如利用导数讨论函数的极值．

例3设函数f（x）＝（1-a）lnx-x＋，求函数f（x）的极值．

分析求导过后f′（x）中存在参数a，因此令f′（x）＝0得到的函数零点中同样存在参数a，考虑三个问题：

（1）零点是否存在；

（2）零点是否在定义域内；

（3）零点之间的大小关系．

这三个问题涉及了对参数a的取值范围的讨论，即按照这一原则把a的取值精准地分成多个区间，做到对参数a的取值不重不漏，然后按照区间分情况讨论函数f（x）的单调性．

解函数定义域为（0，＋∞），对f（x）求导f′（x）＝，令f′（x）＝0，得

（1）若a＜0，此时函数f（x）在区间（0，1）递增，区间（1，＋∞）递减，所以f（1）为极大值．

（2）若a＝0，则f′（x）＝，此时函数f（x）在区间（0，1）递增，区间（1，＋∞）递减，所以f（1）为极大值．

（3）若0＜a＜，此时函数f（x）在区间（0，1）递增，区间递减，区间递增，所以f（1）为极大值，为极小值．

（6）若1≤a，此时函数f（x）在区间（0，1）递减，区间（1，＋∞）递增，所以f（1）为极小值．

第四，在概率解题时的应用．在解答概率问题时，我们也可以采用分类讨论的方法，通过分类讨论解决一些常见的概率问题．在概率题目当中经常会出现“最多”“最少”等相关的关键词，在遇到这些相关的词语时，教师可以让学生利用分类讨论的方法结合题目当中的具体问题进行解答，提高学生的解题效率．在解答问题之前，学生应当准确推断出概率的类型，然后根据题目的要求对情况进行分类，最后在综合分类讨论的情况得出结论．

例4甲乙两个人参加同一场知识竞赛，竞赛当中共有十道题目，包括六道选择题和四道判断题，如果两人各抽取一道题目，求最少有一个人抽到判断题的概率．

在解答这道问题时学生需要仔细阅读题目，理解题目当中“最少有一个人”信息的含义，在分析这一问题时可以进行分类讨论，把“最少有一个人”分为三种情况．学生可以综合这三种情况进行分类讨论，通过分析得出三种不同分类的结果，然后综合三种结果，得出最终的答案．

第五，在数列解题中的应用．在解答数列的相关问题时，我们也可以采用分类讨论的方法．数列是高中数学的基础内容，学生在解决一些数列问题时，采用分类讨论的方法也能快速解决问题，同时能避免出现纰漏．在解决问题时，学生应当根据具体的内容对给出的信息进行分类，这样才能提高解答的准确度．此外，如果在数列求解公差、公比的取值范围时，并没有给出具体的取值范围，学生也需要进行分类讨论，考虑到取值范围的各种情况，这样才能考虑全面，得出准确的结果．

例5设数列｛an｝是公比为q的等比数列，Sn＞0，求公比q的取值范围．

在解答这道问题时，我们就需要分类讨论，根据题目当中给出的条件，Sn＞0，可以得出a1＞0，q≠0．这时候学生需要思考讨论q＝1 和q≠1 两种情况，采用分类讨论的思想解答问题，得出q的取值范围．

第六，在函数解题中的应用．教师可以利用分类讨论的方法帮助学生解决学习的重难点问题．函数问题经常会出现参数值变化的情况，这时函数的一些参数就会存在不同的取值情况，学生可以对参数进行分类讨论．在解答问题时，学生要明确分类的思想，全面考虑问题，这样才能提高准确率．学生要从具体的条件出发，考虑具体的情况，要学会灵活应变．

例6已知函数f（x）＝-x2＋2ax＋1-a在x∈［0，1］内有最大值2，求a的值．

这一问题就存在不确定性的参数．这道函数题中已经给出了函数的定义域，学生需要结合二次函数的特点，确定函数最值的取值范围．在取到最大值时，学生要考虑极值和定义域的端点．而二次函数的极值点和它的对称轴有密切的联系，学生需要结合具体的问题进行讨论，考虑在定义域内是否存在二次函数的对称轴．学生采用分类讨论的思想，根据给出的条件进行分类思考，从而计算出a的取值．

以上几种情形是近几年高考中的热点类型，除了这几种情形还有以下几种：

概念分段定义．绝对值属于分段定义概念，类似的还有偶次根式、线面角、分段函数、直线斜率等，它们都属于分段定义概念．定义本身决定了在解决包含这些概念的题目时要进行分类讨论．

公式分段表达．解题会用到数学公式和定理，如果公式或定理本身有附加的限制条件，那么必须分段表达，学生在应用这些公式时，需要分类讨论，比如反比例函数解析式中k的正负决定了函数本身的单调性．

参数系数参与引起分类讨论．问题中如果包含了参数系数，则会使问题结果出现多种情况，必须分类讨论．例如集合间的基本关系会因其中参数值的改变而发生变化．圆锥曲线中曲线类型是根据离心率的取值范围进行划分的．

条件不唯一导致分类讨论．条件不唯一直接导致方程类型不确定、曲线种类不确定、位置关系不确定等情况出现，解题关键是对分析情况合理分类，正确讨论．

五、分类讨论思想的注意点

在采用分类讨论思想解答问题时，教师要让学生学会分类，以免讨论时出现遗漏的情况，这样才能在考试中取得理想分数．在解题时要注意几点：第一，要学会划定范围．一些学生在划定范围时存在困难，导致解题受到阻碍无法解出最终的答案．因此教师要注意培养学生划定范围的能力．如果题目当中没有给出明确的范围，教师可以让学生通过分析题目当中的其他信息进行分析计算，在学习过程中理清思路．第二，学会大范围分类讨论．在掌握了划定范围的能力后，一些学生在细分范围时不知道如何进行分类，教师需要帮助学生解决这类问题，培养学生的分类能力，要让学生明白分类的依据，结合题目当中的条件进行分析，培养学生的思维能力，让学生认真读题，理清解题的思路，然后对问题进行分类汇总．第三，重视培养学生的解题敏感度，分类讨论思想是解决数学问题的一种重要思想，需要学生重点掌握．在训练过程中，学生要提高解题速度和准确度．在解决需要分类讨论的问题时，一些学生往往想不到采用分类讨论的方法，缺乏对于题目的敏感性，因此教师需要重视学生的训练，让学生多做一些相关的习题，找出相关习题的规律和解题方法，这样才能有效地提高学生的学习能力，培养学生的数学素养，提高学生的学习成绩．

六、总结

高中数学几乎所有板块都涉及了分类讨论思想，因此培养学生运用分类讨论思想去解决问题是非常有必要的，它可以帮助学生找到解题思路，化繁为简，提高解题效率，帮助学生形成科学严谨的学习态度，进而强化逻辑推理能力，提升数学核心能力，推动学生综合素质的提升．教师要着眼于引导学生感受其思想精髓，学会运用分类讨论思想解决问题，以此来培养学生综合分析问题的能力，使学生形成正确的数学观，帮助学生高效地解决数学问题．