变径基圆渐开线涡旋膨胀机几何及泄漏模型的研究

彭 斌，蒋 龙

（兰州理工大学机电工程学院，甘肃 兰州 730050）

1 引言

对涡旋机械的研究可追溯至19世纪末，时至今日依然在不断地进行着优化改进。其中，涡旋膨胀机作为涡旋机械的一个分支，以其优良的特性被广泛的应用于回收余热装置中。对于涡旋膨胀机的优化主要集中于：几何模型、数学模型的研究和以涡旋膨胀机为核心的低温余热系统的研究。

几何模型研究方面：文献[1-2]对等截面涡旋膨胀机的几何模型、数学模型进行了分析研究；文献[3]对型线结构参数进行了优化研究，得到比较适合样机的结构参数；文献[4]对涡旋膨胀机的性能、文献[5]对涡旋膨胀机的泄漏损失分别作了数值计算和分析；文献[6-7]对涡旋膨胀机的性能进行了研究。低温余热系统方面：文献[8]从等截面和变截面的涡旋膨胀机的几何模型出发，研究了涡旋膨胀机的工作腔内工质压力、温度和质量随主轴转角的实际变化规律；文献[9]研究了除Hcfc-123以外的流体工质对小型有机朗肯循环涡旋膨胀机性能的影响；文献[10-11]对以R245fa为工质的有机朗肯循环系统集成开式涡旋膨胀机进行了试验研究；文献[12]对一种用于小型发电系统的涡旋膨胀机的详细通用动态建模和仿真方法进行了研究，提出了涡旋膨胀机和发电机的整体动摩擦系数，并通过实验得出总动摩擦系数在10-3Nms；文献[13]运用逆向工程和计算流体动力学（RE/CFD）的方法，对用于微型的ORC系统中的膨胀机进行了适应性研究；文献[14]搭建了有机朗肯循环涡旋膨胀实验系统，对涡旋膨胀机变负载工况的输出性能进行实验研究；通过讨论不同基圆变化下的变径基圆涡旋膨胀机的容积、泄漏线的变化规律，得到适用于涡旋膨胀机的基圆变化规律，为变径基圆涡旋膨胀机的设计提供参考。

2 变径基圆涡旋型线方程

变径基圆涡旋型线，即以半径不断发生变化的圆为基圆所展开的型线，其基圆变化控制系数为k。变径基圆涡旋型线的公式与圆渐开线涡旋型线的公式相似，事实上，圆渐开线涡旋型线为变径基圆涡旋型线k=0时的特例。

变径基圆涡旋型线的静盘静盘公式如下[15]：

静盘外侧渐开线公式：

静盘内侧渐开线公式：

式中：ɑ—初始基圆半径；k—控制基圆变化系数；φ—渐开线展角；α—渐开线发生角。

动静盘啮合后所需最小盘径：

式中：φe—渐开线最终展角。

膨胀起始角为：

其中，φ0可由式φ0+2φ0sin(φ0-α)+2cos(φ0-α)=(π-α)2-2求解。

当k=0时，基圆不发生变化，涡旋型线为等壁厚的圆渐开线；当k＜0时，基圆不断变小，涡旋型线为壁厚逐渐减小的渐开线；当k＞0时，基圆不断变大，涡旋型线为壁厚逐渐增大的渐开线，如图1所示。分别为k=-0.06、k=0、k=0.06时所展成的渐开线。

图1 变径基圆涡旋型线Fig.1 Reducing Base Circular Vortex Line

3 容积计算

根据控制基圆变化系数k的选取的不同，渐开线的壁厚也发生变化，其容积也有所不同，与传统等壁厚圆渐开线的容积求解相比，要相对复杂一些。变径基圆涡旋膨胀机的面积求解公式如下[16]：

各工作腔的划分，以三个腔为例，分为：第一膨胀腔、第二膨胀腔、第三膨胀腔，如图2所示。

图2 腔体划分Fig.2 Cavity Partition

不考虑齿头修正对容积的影响，得各工作腔容积为：

式中：h—齿高；i—工作腔号；θ*—膨胀起始角，其计算式为（5）。

4 泄漏

泄漏主要分为外泄漏和内泄漏，内泄漏主要是高压腔向低压腔进行泄漏，涡旋膨胀机的内泄漏主要分为：由轴向间隙产生的径向泄漏和由径向间隙产生的切向泄漏两种泄漏，如图3所示。对于变径基圆涡旋膨胀机来说，这两种泄漏都会由于k的选取不同而有所变化。

图3 两种泄漏的示意图Fig.3 Schematic Diagram of Two Leaks

4.1 切向泄漏

由于径向间隙产生的切向泄漏，其泄漏线长即涡旋齿的齿高，所以切向泄漏的泄漏线长度的计算公式为：

4.2 径向泄漏

由于轴向间隙产生的径向泄漏，其泄漏线长与涡旋型线长和主轴的转角有关系，径向泄漏的泄漏线长度计算公式为：

式中：φi、φi+1—啮合型线的起始终止角。

5 计算与分析

根据上述各公式的推导，可以看出，对变径基圆涡旋膨胀机的型线研究，主要涉及以下参数：初始基圆半径ɑ、控制基圆变化系数k、渐开线展角φ、渐开线发生角α、渐开线最终展角φe、齿高h。下面在一些参数确定的条件下，研究其余参数的变化规律，如图4所示。

图4 盘径随k的变化Fig.4 Disk Diameter Changes with k

5.1 k对盘径的影响

选取ɑ=3.2mm、α=2π/9、φe=20.41，研究不同k的取值对盘径的影响。

如图4可以看出，k的取值由（-0.06）增加至0.06，随着k的增加，在其他参数一定的情况下，动静涡旋盘啮合盘径呈近似线性增加。这表明，k的选取对盘径有着正比的影响，合理的减小k的选取可以控制涡旋膨胀机的尺寸和重量。

5.2 最终展角φe与盘径D的关系

选取ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究最终展角φe、k、与盘径D之间的关系，如图5所示。由图5可以看出，随着盘径D的增加，各取值的k所对应的最终展角φe都在增加，其中k的取值越小，φe的增加率越大；相同盘径时，随着k的取值增加，最终展角φe逐渐减小，可见在盘径一定时，k与φe成反比。

图5 φe-D-k关系图Fig.5 Diagram ofφe-D-k

5.3 盘径D一定时，k与容积vi的关系

选取D=137.41mm、ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究在不同k的取值下，各腔容积的变化，如图6所示。

图6 各腔容积vi随k的变化Fig.6 The Volume vi of Each Cavity Varies with k

由图6可以看出，随着k的取值不断增加，各腔容积都有不同程度的减少，其中第三腔容积减小的幅度最大，这是由于壁厚的增加导致的。根据涡旋膨胀机的工作特点，应选取k＜0的变径基圆涡旋型线，从而在保证强度的同时可以有较大的膨胀腔。

5.4 盘径D一定时，k的选取对切向泄漏线的影响

切向泄漏线长即涡旋膨胀机的齿高h，选取D=137.41mm、ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究盘径一定时，k对h的影响，如图7所示。

图7 h随k的变化Fig.7 The Change of h with k

由图7可知，在盘径一定的情况下，随着k的增加，涡旋齿高不断增大，即切向泄漏线不断的增加，泄漏量也就随着增加。故可以通过合理减小k的取值来减小切向泄漏。

5.5 盘径D一定时，k的选取对径向泄漏线的影响

径向泄漏即涡旋型线啮合点间的型线长，选取D=137.41mm、ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究盘径一定时，k对涡旋膨胀机径向泄漏的影响，如图8所示。

图8 k=-0.06各腔泄漏线长随主轴转角的变化Fig.8 The Change of the Leak Line Length of Each Cavity with the Spindle Rotation Angle at k=-0.06

由图8可以看出，当k=-0.06时，各腔径向泄漏线随着主轴转角的变化而增加，但其增加率不再像圆渐开线涡旋膨胀机的泄漏线那样呈线性增长，这是由于变径基圆涡旋膨胀机涡旋型线随着转角不断发生变化，导致径向泄漏线与主轴转角不再呈线性增长。

随着主轴转角的变化，如图9所示。径向泄漏线总长的变化趋势是增长的，其中，k=0.06时增长的最快，其各角度时的径向泄漏线也是最长的；k=-0.06时增长的最慢，其各角度时的径向泄漏线也是最小的；k=0时介于前两者之间。可见当k＜0时，可以减小涡旋膨胀机的径向泄漏。

图9 径向泄漏线总长随主轴转角的变化Fig.9 Change of Radial Leakage Line Total Length with Spindle Angle

6 结论

（1）根据涡旋型线的啮合原理，对变径基圆涡旋膨胀机的型线公式进行了推导计算，讨论了k的取值对盘径D的影响和最终展角φe与盘径D、k的关系，得到了盘径D的变化与k的取值成正比，最终展角φe的增长率与k的取值成反比。

（2）以三个腔体为例，对变径基圆涡旋膨胀机的腔体进行了划分，并推导了各腔容积的计算公式，探讨了在盘径D一定的情况下，不同k的取值对各腔容积vi的影响，得出了随着k的增加，各腔容积减少。进而得到了涡旋膨胀机应选取k＜0。

（3）对工作腔的切向、径向泄漏进行了探讨，探讨了在盘径D一定的情况下，切向泄漏线和径向泄漏线随k的变化规律，得出切向泄漏线长h与k的选取成正比，径向泄漏线长Lr与k的选取成反比，同时也得到各腔径向泄漏随主轴转角的变化由于基圆的改变不再呈线性变化。进而得出，涡旋膨胀机可以通过适当的选取k＜0的值，来减小泄漏。