基于幂次指数趋近律的电子节气门变结构控制

贾东明，徐增勇，张 昊

（1.河南交通职业技术学院，河南 郑州 450000；2.东南大学，江苏 南京 210000）

1 引言

近年来，电子节气门逐渐替代了传统的拉索式节气门，为汽车燃烧及排放控制提供了基础保障。节气门阀板开闭的控制与汽车的排放控制是息息相关的。节气门一方面作为汽车发动机控制系统的关键部件，一方面又对内燃机的进气量及空燃比形成了影响。因此，节气门的控制精确程度影响到了进气系统控制、空燃比控制、废气再循环控制等，并最终对排放的控制形成了影响[1-2]。

PID控制作为控制领域应用最为广泛的控制算法自然而然地被应用于电子节气门的控制，并成为了目前电子节气门控制中使用最多的算法。如果被控系统能够被准确建立数学模型，或者即使无法准确建模但系统不存在参数漂变，那使用PID算法也都是精致的。但对于电子节气门而言，很难准确建模，即使模型建立也可能会随着使用时间的增加而导致模型参数漂变，并且节气门在整个工作工程中难免会受到气流影响而产生扰动。从这些角度来讲，初期能够胜任控制精度的PID算法必然会随着汽车使用时间的增长而逐渐导致控制精度下降[3]。

近年来，众多国内外学者对电子节气门的控制算法进行了研究。有的针对PID算法进行了优化，提出了模糊PID控制算法[3]。模糊PID算法主要针对传统的PID算法在系统存在扰动及系统参数发生漂变时，原先调整好的参数无法适应新的情况从而导致控制效果变差的问题，使用模糊算法根据误差及误差导数来对PID参数进行自整定。但是模糊控制过程中参数的调整是基于经验或者过程控制知识来设定的，具有一定的局限性。从而导致稳定速度变慢，无法及时整定出最佳PID参数。有的直接使用智能化算法进行控制[4-8]。文献[9]等针对电子节气门的开度不确定性和非线性特性，提出了一种基于滑模观测器的控制算法，提高了电子节气门的控制精度并降低了时间开销，但控制系统在高频时会产生抖振误差。文献[10]研究了电子节气门的非线性迟滞特性，并针对其提出了一种基于前馈补偿器的智能模糊反馈控制算法，使用模糊规则补偿电子节气门的迟滞特性，但设计的并不够理想，所以控制效果不能达到预期的精确程度。文献[7]提出了一种电子节气门最优位置预测控制算法，使得控制器对节气门各种物理参数难以辨别以及外部干扰不确定等因素的敏感度有所降低，从而提高了控制系统的鲁棒性和稳定性。文献[11]提出了基于观测器的输出反馈控制算法，用于解决电子节气门系统的状态变量不完全可测的问题。该系统由一个非线性状态反馈控制器和一个降阶观测器组成，为了抑制跟踪静差在控制器中引入了跟踪误差的积分项。将观测器误差和建模误差看作外部扰动，分析了跟踪误差系统的鲁棒性，给出了选择控制器参数的指导性原则，实现了节气门的跟踪控制。

针对电子节气门会随着时间推移而发生参数漂变、难以建立准确数学模型以及工作过程中存在各种扰动的情况，提出了基于幂次指数趋近率的滑模变结构控制算法，并将其应用于电子节气门控制。最终，得出了新算法响应速度快、鲁棒性强的特点。从而解决了建模不准、参数漂变、动态扰动所带来的种种问题。

2 电子节气门数学模型的建立

电子节气门数学模型的建立主要包括电机、复位弹簧、齿轮减速机构、阀片摩擦扭矩等模型的建立。

2.1 电机模型

驱动电机数学模型的建立主要依据基尔霍夫电压定律进行确定：

式中：R—电机的等效电阻；i—电机电枢通过的电流；L—线圈的等效电感；U—电机输入的电压；Ue—电机反向电压。实际在电机的众多参数中电感数值比较小，通常可以忽略不计，所以式（1）可以简化为：

式中：kb—电机所产生的反向电动势常数；ωm—电机旋转的角速度。从而可以得到电机扭矩方程如下：

式中：k—电机的扭矩系数；Bm—电机的阻尼系数；Jm—电机主轴的转动惯量—电机旋转时的角加速度。

2.2 复位弹簧模型

为了使得电子节气门在初始的时候能够有一定的开度，所以在其中使用了两个弹簧，分别是开启弹簧和回位弹簧。当电子节气门阀板的转角θ大于初始位置转角θ0时，只有返回弹簧提供力矩来保证阀板返回θ0；当阀板转角θ小于初始位置转角θ0时，开启弹簧和回位弹簧同时提供相反方向的力矩，这时弹簧组的输出力矩就是两个弹簧的力矩之差。节气门所受的扭矩为：

式中：KS—复位弹簧弹性系数；Tp—复位弹簧预紧力矩。

2.3 齿轮减速机构模型

电子节气门驱动电机输出为高转速低扭矩，可以通过一组相互啮合的齿轮将动力转换为低转速高扭矩。减速齿轮的传动比为：

式中：ωt—电子节气门阀板转动的角速度。

2.4 摩擦扭矩数学模型

电子节气门体中的摩擦力矩主要来源于粘性摩擦力矩Td和库仑摩擦力矩Tf。总摩擦力矩Tr就是这两种摩擦力矩之和，即：

式中：kd—粘性摩擦系数；kf—库伦摩擦系数。

2.5 节气门执行机构的学模型

电子节气门阀板在运动的时候是受到多个力矩的共同作用而进行的。主要包括以下三个力矩的作用：由直流电机所提供的驱动力矩Tm是最主要的力矩、由复位弹簧产生的弹簧力矩Ts以及节气门阀板在运动过程中所受到的总摩擦力矩Tr也参与其中。通过上述分析，我们可得出电子节气门执行器的动力学方程如下：

式中：Jt—节气门阀板轴的转动惯量—节气门阀板运动时的角加速度。将式（3）～式（6）代入上式并进一步化简得到：

如果以节气门转动的角度θ作为变量，则可以得到一个二阶系其统传递函数如下：

可将其转化成能控能观的状态方程如下：

经系统辨识之后使用如下参数：

3 基于趋近率的变结构控制研究

滑模变结构算法是20世纪50年代所提出的一种可以应对非线性控制的简单有效方法。但滑模变结构算法在提出之初由于技术条件和控制手段的限制并没有得到广泛的关注。近年来，随着电脑控制速度的提升此算法开始受到了广泛关注。

滑模变结构控制算法需要寻求滑模面，当系统被控制到滑模面后，就会被吸附，从而沿着滑模面趋近到原点。因此，滑模变结构算法是大范围渐进稳定的。

滑模变结构算法控制率分两个阶段，第一个阶段是趋近运动，即使得系统向滑模面靠拢。第二个阶段是滑模运动，即系统沿着滑模面滑动到平衡点。

3.1 趋近运动的研究

趋近运动的目的是使系统运动到滑模面s=0，所以在滑模面两侧采用不同的控制方式，在滑模面上方时采用使系统朝着滑模面下方运动的方式，而在滑模面下方时采用朝着滑模面上方运动的方式。由于在滑模面上下方的控制率不同，所以称之为变结构控制。趋近运动关系到系统运行到滑模面时的状态，所以后来有学者开始着重研究趋近率。

式中：sgns—依据滑模面值的符号函数，即s＞0时取1，s＜0时取-1。三种趋近率都满足＜0，即在滑模面上下方分别沿着趋近于滑模面的方向运动。

在采用等速趋近率时，系统运动到滑模面附近，只能在滑模面上下穿行，不能使得s=0，所以引发了系统的抖振。

采用指数趋近率时，其运动方程是：

在系统远离滑模面时由s(0)e-kt起主导作用，从而快速趋近于滑模面，但是却永远无法到达。所以在系统靠近滑模面时由-εtsgns起主导作用，由于控制时间很短，所以t所起的作用微乎其微，主要由-εsgns主导。因此系统到达滑模面附近时也是上下穿越，所以系统振动也没有解决。

采用幂次趋近率时，其运动方程是：

从运动方程可知，系统可以在有限时间内到达滑模面，且其在到达滑模面时运动方向是与滑模面相切的[12]，所以可以很平稳地过渡到滑模面。所以幂次趋近率从本质上解决了滑模算法的振动情况。

3.2 滑模运动的研究

在趋近运动阶段，由算法保证在有限时间内到达滑模面，然后系统便沿着滑模面运动。滑模运动由所采用的滑模面函数保障。滑模面函数如式：

式中：c—可以选择的参数；e—系统误差。当系统运行到滑模面上则s=0，带入式（16）之后求解微分方程可得：

从式（17）可以得到，当时间趋于无穷大时，误差可以趋近于零。所以滑模面除了参数c之外无需设计。参数c的数值大小关系到系统误差收敛到零的速度。

3.3 幂次指数趋近率

从上面的研究可以看出，滑模面的设计本身就保障了误差可以趋近到零，所以不必过多去考虑。但是趋近率的设计却决定了系统是否能够在有限的时间内到达滑模面，以及是在滑模面上下穿行还是能真正到达。所以趋近率的研究是算法的重点。

幂次趋近率使系统能够在有限时间内真正到达滑模面，但是在系统远离滑模面时，其趋近速度远远不及指数趋近率。指数趋近率保障系统可以很快到达滑模面附近，但是最终却在滑模面上下穿行。有学者提出采用饱和函数来代替开关函数解决抖振问题，但其本质只能让振动减弱却无法消除。综合幂次趋近率和指数趋近率的优点，可得出幂次指数趋近率如式：

式（18）所示的趋近率不仅保障了系统在远离滑模面的趋近速率，而且保证了系统能在有限时间内真正到达滑模面，并且保证了系统是以切入的方式到达。

4 幂次指数趋近率算法的应用

基于幂次指数趋近率的变结构算法可应用于电子节气门的控制。

4.1 控制率的推导

系统的状态方程可具体写成：

4.2 系统仿真及分析

将系统参数带入式（21），并取ε=10，k=50，c=15，α=0.9，r=sin（πt），系统初始状态取[11]。进行仿真，如图1～图5所示。

图1 正弦输出跟踪曲线Fig.1 Sine Output Tracking Curve

图2 输出误差曲线Fig.2 Output Error Curve

图3 输出力矩曲线Fig.3 Output Torque Curve

图4 幂次指数趋近律相轨迹曲线Fig.4 Phase Trajectory Curve of Power Exponent Reaching Law

图5 等速趋近律相轨迹曲线Fig.5 Phase Trajectory Curve of Constant Velocity Reaching Law

实线代表的期望输出是一正弦函数，虚线是初始位置不为0的节气门开度在控制算法作用下对期望函数的跟踪曲线，如图1所示。可以看出，在很短的时间内即可使得输出误差趋近于零，从而精确跟踪期望曲线。输出误差曲线，更加明确地显示了误差趋于零的过程，如图2所示。输出力矩曲线，显示出系统为了使得节气门实际开度跟踪期望开度而不断改变的电机力矩，如图3所示。相轨迹曲线，其中虚线是相平面，它是经过误差及误差导数均为零的一条直线，是滑模变结构控制的核心，控制实施的目的是使得系统实际输出相轨迹曲线能在有限时间内达到相平面，并沿着相平面运动到零点，从而使得误差及误差导数均为零，实现期望输出的完美跟踪，如图4、图5所示。使用等速趋近律的相轨迹曲线，如图5所示。可以看出，系统在到达相平面之后并没有平滑运动，而是在相平面上下穿行，使得误差在正负数据之间不断改变，反应在被控元件上就是电子节气门阀板的不断抖动。所使用的幂次指数趋近律变结构控制算法，如图4所示。它解决了图5的缺陷，使得系统在切入相平面后平滑运动到误差为零处，解决了抖动问题。

5 算法的鲁棒性研究

则可以得出函数导数小于零的结论，所以算法的稳定性是能够得到保障的。但是当系统存在建模误差、系统漂变或者外界扰动时，控制器的鲁棒性是否能够得到保障则是需要进行研究的。很多学者在系统中增加了扰动，然后建立了带扰动的李雅普诺夫函数来求证系统的鲁棒性。但我们知道，在寻找李亚普诺函数时，充满了技术性[13-14]。因此，这里力图在不寻找李雅普诺夫函数的条件下对控制器的鲁棒性进行分析。

5.1 基于微分方程求解的鲁棒性分析

控制系统在进行控制时是分为趋近运动和滑模运动的，当我们设计了幂次指数趋近率后，又将趋近运动分为两个阶段，即远离滑模面的趋近运动和靠近滑模面的趋近运动。我们探索控制器鲁棒性时也分别对这三个阶段进行分析。

设系统存在各种建模误差、参数漂变和外界扰动，则式（20）可表示为：

式中：Δ1、Δ2、Δ3—系统的建模误差及参数漂变的和；Δu—外界扰动量。将这四项综合为Δf(t)可表示成：

其中，Δf(t)=Δ1x1+Δ1x2+Δ3u+Δu

由于在设计控制律时并没有考虑Δf(t)的存在，所以控制率依然使用式（22），但此时的系统已经变化成为式（25）。我们用不变的控制率来控制变化后的系统，所以将式（22）、式（25）、式（21）联立得：

系统运动第一阶段，即从远离滑模面向靠近滑模面运行时，ks将起到主导作用，这时求解微分方程：

将式（28）、式（29）带入式（27）得：

设Δf(t)有界，即：| -Δf(t)|＜F

式中：F—一正常数，则：

其中C1也是与初始位置相关的常数。将式（30）代入式（28）得：

由式（31）可以看出，系统会随着时间的推移而运行到滑模面附近，而靠近的程度由综合扰动的极限区间值F和趋近率中的参数k共同决定。所以，适当的增大参数k不仅可以保证趋近的速度，而且可以保证趋近的程度。

系统运动到第二阶段，即系统在靠近滑模面之后，原来设计的运动方程式（15）使得s值非常小，这时整个运动由综合扰动所影响，原设计的趋近率将由综合扰动所控制，即：

t2-t1代表积分时间差，差值越大将使得s越大，也即远离滑模面。但当离开滑模面超过一定值时，则又自动进入第一阶段。所以当扰动存在时，控制器由第一阶段使得系统靠近滑模面，第二阶段使得系统在短期内处于滑模层内。

第三阶段，即系统朝着相平面原点的运动阶段，也就是使得系统朝着输出误差和误差导数均为零的方向滑动的阶段。既然在第一、二阶段没有使得系统切入滑模面，那么第三阶段的运动问题就值得讨论。第三阶段由式（16）所决定，所以：

其中，C2是一积分常数，从式(34)可以看出，e的第一项决定了系统最终的输出误差。如果综合扰动是有界的，则即使系统无法真正到达滑模面，最终也能使得输出误差被控制到一定范围。且可以通过增大kc值，来使得输出误差趋于零。

5.2 加入综合扰动后的仿真

为了验证上面得出的结论，需要在系统中加入综合扰动来进行分析。在控制器参数均不改变的情况下，加入综合扰动Δf(t)=Asin(πt)。当幅值A比较小时系统能够得到很好的控制效果。随着幅值的增大，输出误差会逐渐增大，为了得到明显的结论，我们选择A=300，带扰动的正弦输出跟踪曲线，如图6所示。

图6 带扰动的正弦输出跟踪曲线Fig.6 Sin Output Tracking Curve with Disturbance

图6可以看出，当使用了较大的扰动之后，期望输出值和实际输出值之间的差值变大。图7更加明显地显示出了误差的变化情况。可以看出，误差无法稳定到零，也即无法实现阀板运动精确跟踪。相轨迹曲线揭示了这一运动的本质情况，如图9所示。即输出相轨迹曲线在运动过程中无法正真到达相平面，并且在零点附近做重复的围绕运动。当然，误差增大的原因是由于采用了较大的扰动，但我们仍可以通过前面的分析而找到解决的方案。从式（34）可以看出，k、c数值的改变可以改变最终误差e的大小。我们选择k=150，c=50之后得到，如图10、图11所示。图10可以看出，参数增大之后明显增加了系统的鲁棒性，可以使得误差值明显减小，而且提高了响应的速度。图11的相轨迹曲线可以看出，输出相轨迹曲线可以很好地切入相平面并运行到原点附近，在原点附近做小范围波动。

图7 带扰动的输出误差曲线Fig.7 Disturbed Output Error Curve

图8 带扰动的输出力矩曲线Fig.8 Disturbed Output Torque Curve

图9 带扰动的幂次指数趋近律相轨迹曲线Fig.9 Phase Trajectory Curve of Power Exponent Reaching Law with Perturbation

图10 修改参数后的正弦输出跟踪曲线Fig.10 Sine Output Tracing Curve after Modifying Parameters

图11 修改参数后的幂次指数趋近律相轨迹曲线Fig.11 The Curve of the Phase of Exponential Reaching Law after Podifying Parameters

以上分析可以看出，当设计之初把参数调大之后就增加了系统的鲁棒性，并提高了响应速度。

5.3 传统PID控制算法对比

传统的PID控制由于算法简单有效而被广泛应用于工业实践。但PID算法无法有效应对参数漂变、建模误差及各种扰动而在电子节气门控制中显示出了局限性。首先针对状态方程（10）及辨识的参数使用PID算法进行控制，经参数调整后得到仿真结果，如图12所示。然后加入综合扰动Δf(t)=Asin(πt)，选择A=140后进行仿真，得到结果，如图13所示。从图12可以看出，传统PID控制算法在参数选择之后，其控制的精度及响应的速度都是理想的。图13可以看出，当系统加入扰动之后，其控制效果明显变差。使用幂次指数趋近律的变结构控制可在控制初期先加大参数，从而解决此问题。但PID控制却为了适应初期的系统而设定好了参数，当系统发生改变时无法再改变参数，因此控制效果变差是不可避免的结果。

图12 PID控制正弦输出跟踪曲线Fig.12 Sine Output Tracking Curve of PID Control

图13 带扰动的PID控制正弦输出跟踪曲线Fig.13 Sine Output Tracking Curve of PID Control with Disturbance

6 结论

电子节气门的控制精度与内燃机的排放控制息息相关，其在使用过程中存在建模不准确、参数漂变、外界扰动的情况，导致传统的控制方案无法应对。提出了基于幂次指数趋近律的变结构控制，并对幂次指数趋近律进行了分析。说明了幂次指数趋近律保证了系统能在有限时间内真正到达滑模面，并且保证了系统是以切入的方式到达而避免了抖动。通过幂次指数趋近律变结构控制在电子节气门上的仿真分析得出了控制精度高响应速度快的结论。提出了通过求解微分方程分三阶段讨论幂次指数趋近律变结构控制算法鲁棒性的方法，并得出了新算法鲁棒性强的结论。求解微分方程来分析鲁棒性避免了李雅普诺夫函数的寻找，使得问题变的更加简单。通过使用传统PID控制算法进行仿真比较，直观地表明了新算法的优点，说明了新算法不仅保障了电子节气门的控制精度，而且能保证系统在存在有界建模误差、参数漂变及扰动的情况下依然具有良好的鲁棒性及控制精度。