基于Pro/ENGINEER渐开线变位齿轮齿廓坐标方程的修正

, , (. ， 70043； . ， 70043)

1 引言

目前，基于Pro/ENGINEER变位齿轮建模的问题前人已多有研究，可是仍有很多学者按照标准渐开线方程来建立变位齿轮模型，在变位时使用对标准渐开线按一定参数进行旋转的操作方法来完成齿轮变位。这种方法所建立的模型与实际变位齿轮相差很大，本文的研究以期能修正这种错误。

要建立准确的变位齿轮建模，首先要从实际变位齿轮的成形入手，明确齿廓的形成过程，建立正确的齿廓渐开线方程，从而达到精准的建模目的。

2 齿轮的变位渐开线方程

根据机械原理，当用标准齿条刀具加工齿轮时，若刀具分度线与轮坯的分度线相切时，加工出来的齿轮为标准齿轮[1]，以分度圆为基准，若刀具分度线远离或靠近齿轮轮坯中心距离xm时,所切制的齿轮称为变位齿轮，其中m为齿轮模数，而x称变位系数，远离x为正值，靠近x为负值。

如图1[1]所示，用标准齿条刀加工齿轮时，齿条插刀与轮坯的范成运动相当于齿轮与齿条的啮合运动[1]，直线NP为渐开线齿轮传动的啮合线，P点是标准齿轮的啮合点，当齿条沿径向线OP远离xm位移时，而啮合线的位置总是不变[1]，所以啮合点由原来的P点沿啮合线移到K点，根据它们的几何图可得：

(1)

图1 标准齿条刀加工齿轮图

其中α为压力角，从(1)式中可以看出，啮合点K的位置随x的值变化而变化，当x=0时，K点和P点重合。

在加工过程中，齿廓上的渐开线部分都是在齿轮啮合点上被切制而成，根据这一点，可以将齿轮啮合线看作是渐开线的发生线，回到渐开线的形成过程，来研究渐开线方程。如图1和图2所示，是将齿轮啮合线看作是渐开线的发生线，P点和K点分别是标准齿轮和变位齿轮的啮合点，同时也是渐开线形成的轨迹点，P点渐开线的坐标方程由机械原理可得：

(2)[1]

(3)

图2 渐开线形成的轨迹点

根据(2)和(3)式可写出 K点渐开线的渐开线方程：

(4)

再将u弧度制转换为角度制时，K点渐开线的坐标方程为：

(5)

由于K点是齿轮变位后的渐开线方程，那么式(5)式就是变位齿轮齿廓的渐开线坐标方程。

3 参数化变位齿轮的设计

本设计应用Pro/E软件建模为主[2]，主要介绍如何运用(5)式的变位渐开线方程建立准确的齿轮模型。

3.1 建立齿轮参数和关系式

3.1.1 参数

在软件的主菜单“工具”栏里点击“参数”并添加[3],如表1的参数所示：

表1 参数表

3.1.2 关系式

在软件的主菜单“工具”栏里点击“关系”，并添加如下关系：

d=z*m

db=d*cos(ang)

ha=(hax+x)*m

hf=(hax+cx-x)*m

da=d+2*ha

df=d-2*hf

ang1=(180*tan(ang))/pi-ang

ang2=90/z+ang1

ddx=x*m*sin(ang)

if hax<1

rr=0.46*m

endif

if hax>=1

rr=0.38*m

Endif

3.2 建立齿轮模型

3.2.1 创建渐开线

齿轮齿廓的渐开线方程是建立精确齿轮模型的基础。在软件的“曲线”创建里使用“从方程”建立齿廓曲线，缺省坐标为PRT_CSY_DEF，并建立笛卡尔坐标方程[4]：

r=db/2

u=t*90

x=r*sin(u)-cos(u)*(r*u*pi/180+ddx)

y=r*cos(u)+sin(u)*(r*u*pi/180+ddx)

z=0

其中上面的坐标方程就是(5)式的表达式，输入到方程编辑器中，并保存，就会生成精确的渐开线。

3.2.2 创建齿廓曲线

渐开线创建后，在编辑里选择特征操作，以坐标轴Z轴为中心，对渐开线进行旋转操作，旋转角度为ang2，将产生第二渐开线，接下来以RIGHT面为中心对第二条渐开线进行镜像，将产生第三条渐开线，第二、三条渐开线就是所要建立的齿廓曲线。

3.2.3 生成齿轮实体

第一步，建立拉伸单齿实体，以FRONT面为草绘面，以坐标中心为中心，绘制如图3所示的草图，修剪如图4后并拉伸，拉伸长度为齿宽b 。

第二步，建立齿根圆，以FRONT面为草绘面，以坐标中心为中心，绘制如图5所示的圆并拉伸，拉伸长度为齿宽b 。

第三步，建立齿根倒圆，以FRONT面为草绘面，绘制如图6所示的两个小圆，小圆半径为rr(参数)，修剪如图7后并拉伸，拉伸长度为齿宽b，建成后如图8所示 。

图3草图 图4修剪

图5齿根圆 图6绘齿根倒圆

图7倒圆修剪 图8齿廓

图9单齿阵列 图10再生实体

第四步，建立全齿齿轮，将建立的单齿实体和齿根倒圆实体进行圆周阵列，圆周阵列的角度为360/Z，阵列数为齿数Z，最后得如图9的齿轮实体。

以上就是建立齿轮模型的所有过程，为了验证是否变位，在参数里将齿数Z=12，变位系数X=0.4，再生实体，得到如图10的变位齿轮。

4 结语

本文采用正确的渐开线变位齿轮齿廓坐标方程，在Pro/ENGINEER中建立准确的齿轮模型，解决了以往齿轮模型与实际模型误差很大的问题，实现了精确建模的理论及方法。

[1] 孙恒，陈作模.机械原理[M].北京：高等教育出版社，1996：289，297，286，276，256.

[2] 黄勇.三维CAD软件在渐开线直齿圆柱齿轮中的参数化设计[J].机械传动.2005,29(6)：33-35.

[3] 李燕.基于Pro/E的齿轮三维参数化特征造型设计[J].制造技术与机床,2003 (7)：30-32.

[4] 程相文，钱淑丽.基于Pro/E Wildfire的斜齿轮精确建模[J].机械设计与制造，2005(8)：60-61.