美国加州版教材《乘法分配律》一课教学设计与意图

文|白 灵

【教材内容简介】

California Mathematics（美国加州版）《乘法分配律》一课的内容安排在五年级第一单元《数感、代数和函数》的第10课《代数：分配律》。教材包含三个部分：小型实验室、概念呈现以及定律应用。第一部分：小型实验室，包括三个问题：1.动手操作，求出两种颜色的长方形面积之和，这两个长方形的长分别为6和3，宽均为4；2.画一个模型表示2×（4＋6）＝2×4＋2×6；3.写一个与2×（5＋7）相等的式子，并说明理由。第二部分：概念呈现，出示乘法分配律的文字描述、数字和字母表示。第三部分：定律应用，包括两道例题：一道计算题——用分配律口算4×58；一道生活中的例子——30个学生去渔人码头参观蜡像馆，假设门票是每个学生5元，公共汽车票每个学生3元，这次活动一共应付多少元？

【全课设计说明】

通过教材分析，美国加州版《乘法分配律》一课有如下特点：1.以动手操作引入，有利于学生在实践中发现规律成立的条件；2.在新课引入及在规律探索时，均聚焦于直观模型，这种一致的、反复的强化能帮助学生更好地理解规律的意义；3.除了直观模型，应用部分以生活实例的角度对规律解释进行补充，帮助学生感受数学知识的普适性及应用价值。

基于以上思考，本课教学设计将关注以下几个方面：1.以直观模型为脚手架，贯穿全课始终，力求通过面积模型的聚焦突破规律意义理解的难点；2.通过理清算理和算法，沟通竖式计算与乘法分配律之间的关系，帮助学生串联新旧知识，形成知识网络；3.将乘法对加法的分配律推广到若干个数的和与一个数相乘的一般形式，发展学生思维的灵活性，促进学生对乘法分配律本质的理解。

【教学目标】

1.经历乘法分配律的探索过程，会用符号和文字表示乘法分配律，积累推理经验，培养推理能力。

2.通过摆、画、写、说等多种数学活动，理解乘法分配律的意义，培养发现问题和解决问题的能力。

3.通过动手操作构建乘法分配律的直观模型，感受数学知识和方法的应用价值。

【教学重点】

构建乘法分配律的直观模型并能灵活运用。

【教学难点】

理解乘法分配律的意义，发展推理能力。

【教学准备】

课件、长方形学具（每人一份）。

【教学过程】

一、复习回顾，引入新知

1.课始，教师请学生回忆学过了哪些运算定律。

预设1：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律。

预设2：学生说出每一种运算律的内容。

2.教师进一步引导：这四个运算定律，它们都只涉及一种运算，加法交换律和加法结合律只涉及加法，乘法交换律和乘法结合律只涉及乘法，那么加法和乘法之间会有运算的规律吗？

【设计意图：相较于乘法分配律，由于前四个运算律只涉及一种运算，相对较好理解，通过对已经学习的几个运算律所涉及运算的比较，有利于学生感悟几个运算律之间的区别与联系，对四则运算中的相关运算性质有一个比较完整的认识，并将焦点自然过渡到新知上。回顾旧知时，引导学生用自己的语言清楚地说出它们的意思，不仅为本节课语言描述乘法分配律做好铺垫，也便于学生对自己所理解的运算律本质进行梳理与检查。】

二、动手操作，探索规律

1.链接旧知，直观操作。（教材译文片断如下）

（1）动手操作，拿出蓝色和黄色长方形纸片，怎么求两个长方形面积之和？你能想到几种方法解决这个问题？动手摆一摆。

预设1：“分开求”，先分别求出蓝色和黄色的长方形面积，再相加。

预设2：“合并求”，学生发现这两个长方形的宽都是4，可以合并成一个大长方形，直接求大长方形的面积。

（2）进一步聚焦“合并求”这种解法，引导学生思考：只能将宽合并吗？

预设：一定要将宽合并，只有将相同的边合并，才能得到一个规则的图形，以便求面积。

（3）比较“分开求”和“合并求”两种解法，你有什么发现？

预设1：学生发现两个算式“形”上的相同之处，如这两种解法得到的结果形同；都有相同的乘数4；都涉及乘和加两种运算等。

预设2：学生说明这是同一个问题的两种解法，算式意义不同但结果相等。

【设计意图：让学生在动手操作中积累乘法分配律的直观模型经验，为学生理解乘法分配律的意义提供支持，在探索中发现只有相同的边相拼才可以“合并求”面积之和，并通过比较“分开求”和“合并求”两种数值计算的实例，让学生发现规律，引出乘法分配律的等式，初步感受乘法分配律成立的条件。】

2.运用直观，初探规律。

（1）借鉴动手操作的活动，用画一画的方法说明等式2×（4＋6）＝2×4＋2×6。

预设1：学生将两个小长方形（长分别为4、6，宽均为2）拼成一个大长方形（长为10，宽为2），将求两个小长方形的面积之和转化为求大长方形的面积。

预设2：学生将一个大长方形（长为10，宽为2）分成两个小长方形（长分别为4、6，宽均为2），将求大长方形的面积转化为求两个小长方形的面积之和。

（2）基于以上活动，再写一个等式，并说明理由。

【设计意图：从摆长方形实物抽象到画直观模型，学生在模仿画、创造画层层递进的过程中进一步感受乘法分配律成立的条件，理解定律的内涵。“再举一个等式，并用画一画的方法说明理由”由教材“写出一个与2×（5＋7）相等的式子并说明理由”修改而来，问题由封闭改为开放，给学生思维更大的空间，积累更多实例，以便学生通过不完全归纳更好地发现规律。】

3.归纳推理，表示规律。（教材译文片断如下）

（1）引导学生观察黑板上的等式，你有什么发现？

预设1：学生发现两组算式“形”上的相同之处，如这两种解法得到的结果形同；等式一边有括号，一边没有；都有相同的乘数；都涉及乘和加两种运算等。

预设2：学生用自己的语言描述发现的规律，如等式一边都是一个数乘两个数的和，另一边都是括号外的数分别和括号里的数相乘，最后相加。

（2）教师提问：像这样的例子举得完吗？有什么办法能简洁地表示这个规律？

预设：用字母表示，如用a、b、c表示三个数，这个规律用字母表示为a×（b＋c）＝a×b＋a×c。

（3）教师小结：这个规律就是乘法对加法的分配律，也就是乘法分配律，用自己的话说一说它的意思。

预设：学生借助符号表达式描述规律，乘法分配律就是一个数乘两个数的和，就等于这个数分别和括号里的数相乘，再把积相加。

【设计意图：在归纳推理的过程中，鼓励学生猜想，获得乘法分配律的雏形，有前四个运算定律的学习经验，学生较易从具体实例过渡到抽象的符号表示，并能借助符号表达式用自己的话描述规律，在这个过程中感受数学语言的简洁精炼，渗透优化思想，为规律理解的内化奠定基础。】

腔内电生理研究表明，左前分支室速的电生理基质是室间隔局部存在缓慢传导区及左前分支参与构成折返环[5-6]，室速可通过心房或心室起搏诱发。本例患者通过心房早搏刺激成功诱发心动过速。如图5所示，当S2刺激明显提前，激动心房后下传至左前分支时，左前分支处于不应期，激动沿缓慢传导区下传，成功夺获心室形成一次QRS波，QRS波形态不同于窦律QRS波，呈不完全性右束支阻滞图形，S2-V间期稍长于S1-V间期，当激动下传至缓慢传导区与左前分支交汇处时，左前分支经历不应期后恢复传导性，激动便可沿左前分支逆向传导，并再次激动缓慢传导区，构成折返环，如此反复引发心动过速。

三、理解意义、应用规律

1.例1：口算4×58。（教材译文片断如下）

（1）独立口算，把口算的过程用横式记录下来。

预设1：从高位算起，先算4×50＝200，再算4×8＝32，最后算200+32＝232。

预设2：结合竖式过程，从低位算起，先算4×8＝32，个位是2，往十位进3，再算4×5＝20，20+3＝23，分别写在百位和十位上，答案是232。

（2）将横式写成综合算式，你能用今天所学的知识解释这些横式吗？

预设1：画面积模型解释，4×58表示长为58，宽为4的一个大长方形，它可以分成长分别为50和8、宽都为4的两个小长方形，将求大长方形的面积转化为求两个小长方形的面积之和。

预设2：将58写成50+8，4×58＝4×（50+8）＝4×50+4×8，满足乘法分配律。

预设1：发现乘法分配律与计算简便之间的关系，如乘法分配律可以使计算简便。

预设2：发现乘法分配律与竖式计算之间的关系，如竖式计算的过程就运用了乘法分配律。

2.例2：30个学生去渔人码头参观蜡像馆，假设门票是每个学生5元，公共汽车票每个学生3元，这次活动一共应付多少元？

（1）教师提问：你能用几种方法解决这个生活中的问题？独立试一试。

预设1：“分开求”：分别计算门票总价钱和车票总价钱，再把它们相加。

预设2：“合并求”：每个学生都要付门票和车票，先求每个学生需要付的总费用，再乘人数。

（2）进一步引导学生思考，通过解决问题，你有什么发现？

预设1：发现这两种解法满足乘法分配律，是同一个问题的不同解法，它们的解题思路不同，算式的意义也不同，但结果是相等的。

预设2：发现乘法分配律除了能用来简算，生活中解决问题时也能用到。

预设3：发现乘法分配律除了用面积模型解释，还可以用生活中的例子来解释。

【设计意图：两道例题着力引导学生将乘法分配律的学习与简便计算应用及解决现实生活中的实际问题结合起来，注意解决问题策略的多样化，从而发展学生思维的灵活性与连贯性，提高学生分析问题、解决问题的能力。例1将原题略作修改补充，因为四年级的学生早已能快速口算一位数乘两位数，只是他们并不知道用到的知识是“乘法分配律”，通过写横式、画模型串联新旧知识，帮助学生理清算理与算法的关系，将零散的知识聚点成网。例2将乘法分配律的学习与运用乘法分配率解决实际问题结合起来，突出乘法分配律学习的价值，既补充了从生活实例的角度解释乘法分配律，也让学生感受到乘法分配律存在的合理性与普适性。】

四、拓展提升、巩固规律

1.独立解决：计算8×625，能用乘法分配律解答吗？

预设1：结合竖式过程，8分别和各数位上的数字相乘，再相加，得到8×625＝8×（600+20+5）＝8×600+8×20+8×5＝4800+160+40＝5000。

预设2：结合面积模型，（如下图）得到8×625＝8×（600+20+5）＝8×600+8×20+8×5＝4800+160+40＝5000。

2.教师进一步引导，乘法对加法的分配律可以由一个数乘两个数的和，推广到一个数乘三个数的和，那么，四个数、十个数的和呢？乘法分配律还成立吗？

预设1：成立，结合竖式计算的过程说明理由。

预设2：成立，结合面积模型说明。

3.教师小结：乘法对加法的分配律可以推广到若干个数的和与一个数相乘。

【设计意图：这道练习是一道补充习题，意在将乘法分配律推广到更一般的形式，通过结合竖式计算的过程，借助直观模型，有效发散学生思维，帮助学生感受知识的连贯性，加深对乘法分配律意义的理解。】

五、总结收获、回顾规律

教师提问：通过今天的学习，你有什么收获？你还有什么问题？

六、课后思考、迁移规律

课后讨论：乘法对减法有分配律吗？如果有，是怎样的？你能说明它成立吗？

【设计意图：通过课后讨论，帮助学生将乘法对加法的分配律迁移到乘法对减法的分配律，补充这一知识点，有利于学生形成知识闭环，帮助学生感受规律应用的灵活性，更深刻地理解乘法分配律的本质。】