β扰动的食饵有病的随机食饵与捕食者系统的渐近行为

刘振文， 郑凯鸿

(吉林建筑科技学院 基础科学部， 吉林 长春 130022)

0 引 言

传染病的传播发生在人与人，人与动物或动物与动物之间。对于疾病流行规律的把握是对疾病防控的关键，传染病动力学研究很好地处理了这类问题[1-2]。种群动力学揭示了种群的内在发展规律，学者们对于传染病动力学和种群动力学的研究已有相当多的成果，对于这两者相结合的生态流行病模型的研究也受到越来越多的关注[3-8]。Yanni Xiao等[9]建立了如下生态流行病模型

(1)

考虑到自然界中生态系统会受到环境噪声的干扰，导致系统中某些参数发生变化，文中修正文献[8]提出的系统(1)。首先，令

得到确定性系统

(2)

对系统(2)中β进行扰动，令系统中的β为

则系统(2)化为

(3)

式中：B(t)----布朗运动;

σ2----环境白噪声的强度,σ2>0。

1 系统(3)的随机渐近行为

1.1 系统(3)的正解存在唯一性

证明 对t≥0，考虑系统

(4)

(5)

则

S(t)+I(t)≤

(6)

式中：D3=S(0)+I(0)。

若证明这个解是几乎必然全局的，就等价于证明τe=∞几乎必然成立。选择足够大的k0≥0，使得S(0),I(0)和Y(0)全部位于区间[1/k0,k0]内，对每一个整数k≥k0，定义

或

max{S(t),I(t),Y(t)≥k}}。

(7)

P{τ∞≤T}>ε,

(8)

则存在一个整数k1≥k0,使得

P{τ∞≤T}≥ε,

(9)

(10)

所以上述函数的非负性是显然的。使用Itǒ公式，有

(11)

其中

(12)

首先, 令

满足

其次, 取a′>0充分小和合适的b′>0,满足

和

和

则有

(13)

因此

(14)

则推得

E[V(S(τkΛT),I(τkΛT),Y(τkΛT))]≤

(15)

当k≥k1时，令Ωk={τk≤T} 且由式(9), 有P(Ωk) ≥ε，注意到对每一个ω∈Ωk, 在S(τk,ω),I(τk,ω)和Y(τk,ω)中至少有一个达到k或1/k,因此

V′(S(τkΛT),I(τkΛT),Y(τkΛT))≥

(16)

E[1Ωk(w)V′(S(τkΛT),I(τkΛT),Y(τkΛT))]≥

εh′(k),

(17)

从定理可以得到

I(t)>0,Y(t)>0,S(t)+I(t)≤K},

(18)

是系统(3)的正不变集，从现在开始总是假设初始值(S(0),I(0),Y(0))∈Г。

1.2 系统(3)的渐近性质

1.2.1 确定性系统的平衡点E1=(K，0,0)

显然系统(2)一定有有界平衡点E1=(K，0,0)。但E1=(K，0,0)不是系统(3)的平衡点。此时我们给出系统(3),解得收敛率。

定理2令(S(t),I(t),Y(t))为系统(3)满足初始条件 (S(0),I(0),Y(0))的解。若如下条件成立

1)Kβ>c;

则有

和

几乎必然成立。

证明 由随机比较定理有，I≤X，这里X是方程

(19)

即

(20)

由Itǒ公式，则

(21)

有

log(X(t))=log(X(0))+

KσB(t)。

(22)

令

F(t)=logX(0)+KσB(t),

(23)

则

几乎必然成立。所以

(24)

其中，选取足够大的噪声强度σ2,使得

即I(t)以指数几乎必然趋于0。换句话说，已感染者依概率1死亡。同样有

dlogY=(kPI-d)dt,

(25)

则

(26)

所以

(27)

即Y(t)以指数几乎必然趋于0。换句话说，捕食者依概率1死亡。

(28)

这里σ2充分小，且

(29)

定义

(30)

由Itǒ公式和式(27)可得

(31)

式中：Q=σSIdB(t)。

其中

(32)

(33)

其中

(34)

(35)

其中

kPR2Y+d(R-1)Y≤

kPR2Y,

(36)

则

(37)

定义

(38)

则

σ(F-1)Q。

(39)

令

(40)

则由Itǒ公式

(41)

其中

+k(σ)=

k(σ)=

(42)

其中

(43)

(44)

(45)

因此

(46)

其中

(47)

下面定义

(48)

其中V3=Y，从式(9)知道

LV3≤kPR2Y,

(49)

所以有

(50)

最后，定义

V=MV1+V4。

(51)

(52)

这样得到

(53)

其中

(54)

σ2充分小，且

dV=LVdt+σ[MR1I+R1SI+FR2SI+

(55)

将上式两边从0到t积分得

(56)

这是一个实值连续局部鞅，且M(0)=0，而

(57)

则由强大数定律有

(58)

再由式(55)有

(59)

进一步有

(60)

定理得证。

从式(32)可以看出,系统(3)的解与E2在时间均值下的不同之处在于只与白噪声的强度有关,噪声强度越弱，系统(3)的解越稳定，所以当σ充分小时，可以认为有一种近似稳定性。