基于微分对策的双渠道供应链定价分析

娄华伟， 王 珺

(长春工业大学 数学与统计学院， 吉林 长春 130012)

0 引 言

近年来，线上销售凭借其高效、受众面广、运营成本相对较低等特点得到迅猛发展，对传统的商务销售模式产生了猛烈冲击。为适应新形势的发展环境，大量制造商与时俱进，采取了传统销售和电子销售双渠道模式。因此，制造商与零售商之间在竞争中逐渐地形成直接沟通和交互的情形，学术界称之为双渠道供应链模式。同时，随着第三方物流发展愈加便捷、高效、安全，为制造商们采取双渠道销售模式提供了物流支撑。使得双方之间不但形成了产品供应中上下游之间的合作，而且在制造商线上零售价格与零售商线下零售价格之间也出现了相互竞争。在合作与竞争中，由于缺乏合理的定价机制，使得双方之间在价格定价方面的矛盾越来越突出。严重影响供应链领域的健康发展。因此，促进双方之间科学、合理、有序地进行定价，是实现行业健康绿色可持续发展，迫切需要研究的课题。

在双渠道供应链研究领域，定价决策占据重要位置。近年来，学者们在双渠道供应链定价主要集中在与分散决策权力结构、消费者渠道偏好及定价合约协调等对供应链定价等研究。Choi S C[1]首次在多层级供应链研究领域中系统利用三种渠道权力结构对定价策略进行研究。针对双渠道和多周期的供应链模型，张家权等[2]研究了在多周期的双渠道供应链模型中，零售商与制造商通过折扣契约合同的方式对供应链成员价格定价进行协调，使得双方利润都得到一定程度的优化。Hua Guowei等[3]通过多阶段优化对策和斯坦伯格对策方法，研究了交货期对供应链成员利润和最优定价有着显著影响。Wang Xuantao等[4]研究了在考虑战略库存、快速反应和短视消费者等因素影响下，对零售商最优定价决策的影响。Huang Song等[5]研究了市场规模、消费者渠道偏等因素会对供应链中的最优定价产生较大影响。针对定价对双渠道供应链利润和绩效水平等问题，Robin Hartwig等[6]重点研究了零售商通过战略库存策略提高与制造商在市场价格竞争中的公平度，优化了批发价格，进一步使得自身利润得到提高，同时，也进一步提高了供应链的绩效水平。Xia Nan等[7]运用产品种类优化、价格协调等组合方法分析了定价对成员各自利润的影响。Cao Erbao[8]通过定价和生产最优决策及收益分享合同等组合方式，实现供应链绩效最大化的目的。Xiao Tiaojun等[9]通过分析产品种类和渠道结构，利用斯坦伯格定价模型和在线渠道定制产品的方式研究了对渠道产品价格定价的影响。李富昌等[10]在差别定价条件下，针对产品定价和线上消费群体的不确定性及仓储物流、定价与库存量的多维关系、市场需求不确定性与定价库存最优策略鲁棒性等方面，进行了定价优化等研究。上述文献对供应链定价问题的研究，虽考虑了权力结构、多阶段、多周期以及差别定价等方法协调解决供应链成员的价格竞争，但对价格定价多是采取静态模型分析，缺乏灵活性，从而对研究利润和整体供应链的动态变化存在一定的局限性。而在利用微分对策研究实际应用问题方面，王珺等[11]通过建立动态优化分配模型研究了银行信贷资源动态分配问题，对文中研究双渠供应链动态模型具有一定的借鉴意义。

随着信息时代的全面到来，消费者对产品品质、时间以及价格水平要求越来越高，供应链价格定价就更需要灵活性来适应市场复杂多变的环境。文中通过微分动态下的主从对策模型构建市场动态需求函数和动态利润函数，研究了斯坦伯格解和利润的变化情况。同时，也分析了供应链定价受市场份额比例、市场潜在需求量、双渠道交叉价格弹性系数影响的变化情况，以及动态和静态模型下利润的对比。

1 双渠道供应链决策模型

(1)

(2)

式中：α----市场潜在需求量,α>0;

θ----初始电子直销渠道所占的市场份额比例,0<θ<1;

b----两渠道交叉价格弹性系数,0

当制造商宣布单位批发价格ω后，制造商和零售商的目标函数πm、πr可以分别表示为：

(3)

(4)

1.1 双渠道供应链模型的斯坦伯格解

命题1制造商为主，零售商为从的主从微分对策，斯坦伯格解为：

(5)

(6)

(7)

证明 首先，构造关于制造商和零售商利润的哈密顿函数，则制造商的哈密顿函数为H1(t,Dr,Dm,pr,pm,ω)，即

H1(t,Dr,Dm,pr,pm,ω)=(ω-c)Dr+

(pm-c)Dm+λ1(θα-pm+bpr)+

λ2[(1-θ)α-pr+bpm]，

(8)

其中，λ1、λ2是状态变量的伴随变量，满足伴随方程

(9)

零售商的哈密顿函数为

H2(t,Dr,Dm,ω,pr,pm)=(pr-ω)Dr+

φ1(θα-pm+bpr)+

φ2[(1-θ)α-pr+bpm],

(10)

其中，φ1、φ2是状态变量的伴随变量，满足伴随方程

(11)

然后，先求斯坦伯格对策从者的最优决策。令零售商的哈密顿函数H2关于pr一阶偏导等于0,得

(12)

由式(11)得

(13)

为不违反横截条件

(14)

令

(15)

将式(15)代入式(12)，即Dr-φ2=0。则

所以解得

pr=ρDr+ω,

(16)

将式(16)代入式(8)中，则

H1(t,Dr,Dm,pr,pm,ω)=(ω-c)Dr+

(pm-c)Dm+

λ1[θα-pm+b(ρDr+ω)]+

λ2[(1-θ)α-(ρDr+ω)+bpm]。

(17)

令制造商的哈密顿函数关于pm、ω一阶偏导等于0，

(18)

(19)

同理，为不违反横截条件，取

(20)

(21)

再将式(20)、式(21)代入式(18)、式(19)，即

(22)

(23)

使式(22)+式(23)得

bρDr+ρDm+b2(pm-c)-(pm-c)=0,

(24)

所以

也即

(25)

由式(22)，得

2ρDr+2b(pm-c)-[ω-c+b(pm-c)]=0,

所以

(26)

(27)

此时，为进一步求得斯坦伯格解的解析解，需要求出Dm、Dr。因此将式(25)～式(27)代入式(1)、式(2)得

(-B+bB2)Dm+b2c,

(28)

(29)

当自治方程稳定时，令式(28)、式(29)等于0。

解方程组得

(30)

将式(30)分别代入式(25)～式(27)中,解得

(31)

(32)

(33)

综上所述，命题1得证。

1.2 斯坦伯格解分析

根据命题1进一步分析相关参数对斯坦伯格解的影响。

1)市场份额θ对双方价格竞争的影响。当0<θ<0.5时，线下零售价格pr高于线上零售价格pm；当0.5<θ<1时，线上零售价格pm高于线下零售价格pr；特别当θ=0.5时，线上零售价格pm与线下零售价格pr相等。如果直销份额大于线下份额，则制造商可以更加灵活定价，达到更大收益；如果线下份额偏多，则制造商需要顾及零售商的收益，定价不宜过高。这说明市场份额对于双渠道供应链定价起到至关重要的作用。θ对均衡解的影响如图1所示。

图1 θ对均衡解的影响(a=100,b=0.2,c=5)

2)市场潜在需求量α对均衡价格的影响。随着市场潜在需求量α的增加，均衡价格pm、ω、pr均呈现上升趋势。且线下零售均衡价格pr较线上零售价格pm增速更快。a对均衡解的影响如图2所示。

图2 a对均衡解的影响(b=0.2,c=5,θ=0.4)

3)两渠道交叉价格弹性系数b对斯坦伯格解的影响。总体来看b与pm、ω、pr呈正比例关系。且当两渠道交叉价格弹性系数在0～0.8时，对斯坦伯格解的影响相对较小，均衡解的变化较为缓慢。当两渠道交叉价格弹性系数在0.8～1.0时，斯坦伯格解的变化较为明显，均衡价格将快速升高。b对均衡解的影响如图3所示。

图3 b对均衡解的影响(a=100,c=5,θ=0.4)

2 动态双渠道定价模型与静态双渠道定价模型的比较

为比较动态模型与静态模型对双渠道供应链整体绩效水平影响度，对动态模型和静态模型的均衡价格、利润、市场需求量进行分析。为保证双方分析比较的合理性，设置相关参数在同一水平，即令α=100、θ=0.4、b=0.2、c=5，对其进行比较分析(静态模型定价参见文献[2])。

2.1 动态模型均衡解与静态模型均衡解的分析比较

与静态模型相比，为体现动态模型下价格定价得到一定程度的优化，对两种模型下的均衡解进行对比分析，其结果如图4所示。

图4 动态模型与静态模型均衡价格对比

pm、ω、pr分别代表动态模型下的制造商线上零售均衡价格、均衡批发价格、线下零售均衡价格；Vm、Vω、Vr分别代表静态模型下的线上零售均衡价格、均衡批发价格、线下零售均衡价格。由图4可知，动态模型下整体均衡价格比静态模型下的均衡价格相对较高，使得供应链定价环境得到一定程度的改善。

2.2 动态模型与静态模型需求量的分析比较

静态模型中未考虑制造商和零售商市场需求量变化，为此，在动态模型中考虑市场需求量，随着时间t的变化对供应链的影响。动态模型与静态模型需求量对比结果如图5所示。

图5 动态模型与静态模型需求量对比

Dm和dm，Dr和dr分别代表动态模型、静态模型下制造商和零售商的需求量。图5中，动态模型下市场需求量高于静态模型下市场需求量。

2.3 动态模型与静态模型下最优利润的分析比较

定价分析的最终目标是使供应链利润得到优化，改善供应链发展环境。因此，通过动态模型与静态模型的成员利润进行比较。动态模型与静态模型制造商利润对比如图6所示。

图6 动态模型与静态模型制造商利润对比

πm、Tm分别代表动态和静态模型下制造商的最优利润；πr、Tr分别代表动态模型和静态模型下零售商最优利润。随着时间t的变化，动态模型下制造商利润呈现出逐渐下降的趋势，始终高于静态模型中制造商利润。

动态模型与静态模型零售商利润对比如图7所示。

图7 动态模型与静态模型零售商利润对比

随着时间t的变化，动态模型零售商利润呈现出逐渐下降的趋势。总体来看，动态模型下制造商利润、零售商利润优于静态模型下制造商利润、零售商利润。

3 结 语

动态双渠道供应链模型对供应链定价及供应链整体水平的提高有着积极性的意义。

1)微分对策模型的Stackelberg解对双渠道供应链的价格定价实现一定程度的优化。

2)电子直销渠道市场份额比例对双渠道供应链定价有着关键性的影响。

当线上销售渠道所占的市场份额比例小于0.5时，直销价格低于传统渠道的零售价格；反之，当其大于0.5时，线上直销价格高于传统渠道的零售价格。