同构视域下求解线性递推数列的通项公式

福建省晋江市紫峰中学(362200) 王萍钰

一、问题的提出

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《标准》)明确提出:“立德树人,培养学生的数学核心素养”.《标准》中指出数列是一类特殊的函数,是数学中重要的研究对象,是研究其他类型函数的基本工具,是反映自然界变化规律的基本数学模型. 从思想方法上看,数列融计算、推理、猜想、归纳于一体,具有很强的灵活性与综合性,代数的美在数列中得到了淋漓尽致的体现. 数列知识作为高考的必考知识,能全面考查学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力,同时考查学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.

数列的呈现方式主要有两种: 通项公式和递推关系. 用通项公式来呈现数列,每一项的值清楚直白,但项与项之间的内在关系并不是那么明确. 用递推关系来呈现数列,则给出了项与项之间的内在关系,给出了数列的变化规律和构造过程. 可以说,递推是数列的灵魂. 其中,线性递推数列通项公式的求解在高考中屡见不鲜,其丰富的内涵对培养学生思维的逻辑性具有较高的价值. 然而,这也是数列的一个难点内容. 如何帮助学生清晰地理解此类题型解题方法的共性成为笔者考虑的问题.

二、同构思想求解通项公式的缘由

著名数学教育家波利亚对数学解题的过程进行了深入的研究,认为整个解题过程分为四个阶段,即: 弄清问题、拟定计划、实现计划、反思回顾,并给出了具有启发性的“怎样解题”表. 波利亚把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程. 他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”,而是希望通过对于解题过程的深入分析,特别是由已有的成功实践,总结出一般的方法或模式,使得在以后的解题中可以起到启发的作用.[1]

在抽象代数中,同构(isomorphism)指的是具有保持结构的双射(bijection),换句话说,是描述具有不同表现形式的同一结构.[2]简而言之,同构的两个特征: 一个是一个式子中出现两个变量;另一个是适当变形后,两边式子结构相同. 线性递推数列正符合同构的特征. 因此,笔者尝试在此类问题上引入同构思想,求解线性递推数列的通项公式.

三、同构视域下求解线性递推数列的通项公式

(一) 一阶线性递推数列an+1 = Aan +f(n) (A(A-1)/=0)的通项公式

例1已知数列{an}满足a1= 1,an+1= 3an+2,求数列{an}的通项公式.

分析递推式构造的类型关键看“长相”,即后面长什么样,我们就在递推式左右两边构造成什么样. 本题递推式中右边既含有an又含有常数,可看成是an与常数的混合,因此在递推关系式的左边也构造此结构,即an+1与常数的混合.

解析构造an+1+λ= 3(an+λ) (λ /= 0), 即an+1= 3an+ 2λ, 对照已知递推关系式可得λ= 1, 所以有an+1+1 = 3(an+1),即数列{an+1}是以2 为首项,3 为公比的等比数列,则an=2×3n-1-1.

点评数列递推的变形,需要让递推式具有和谐美感. 当递推关系式为an+1=Aan+B(AB(A-1)/=0)型可化为an+1+λ=A(an+λ) (λA(A-1)/= 0),构造新的等比数列. 当然,本题还可用作差法构造{an+1-an}为等比数列,本文不再赘述.

变式1已知数列{an}满足a1=-1,an+1=2an+4×3n-1,求数列{an}的通项公式.

分析本题递推关系式中右边可看成是an与关于n指数式的混合,因此在递推关系式的左边也构造此结构,值得注意的是基于同构思想,递推关系式左边an+1需与n+1 的指数式混合,即考虑到变量n的动态性,也即变量要具有一致性.

解析构造an+1+λ·3n+1= 2(an+λ·3n)(λ /= 0),即an+1=2an-λ·3n,对照已知递推式可得λ=所以有an+1-×3n),即an+1-4×3n=2(an-4×3n-1),则数列{an-4×3n-1}是以-5 为首项,2为公比的等比数列,则an=4×3n-1-5×2n-1.

点评当递推关系式为an+1=Aan+B · Cn(ABC(A-1)(C-1)/=0)型可化为an+1+λ·Cn+1=A(an+λ·Cn)(λAC(A-1)(C-1)/=0),构造新的等比数列. 当然,本题还可对递推关系式用同除法,化指数干扰项为常数干扰项来求解通项公式,本文均不再赘述.

变式2已知数列{an}满足a1=2an+1- an=6n-3,求数列{an}的通项公式.

分析本题递推式中f(n)为关于n的一次函数,我们只需构造一次函数λn+μ(λ/=0)即可,同时要注意n的动态性.

解析由2an+1- an= 6n -3 变形得2an+1=an+6n-3,构造2[an+1+λ(n+1)+μ]=an+λn+μ即2an+1=an -λn-2λ-μ,对照已知递推式可得λ=-6,μ=15,所以2[an+1-6(n+1)+15]=an-6n+15,即数列{an-6n+15}是以为首项,为公比的等比数列,则an=21×+6n-15.

点评形如an+1=Aan+Bn+C(AB(A-1)/=0)型可化为an+1+λ(n+1)+μ=A(an+λn+μ)(λA(A-1)/=0),构造新的等比数列.

明代理学家朱熹在《朱子全书·论学》中曾提出要“小立课程,大作功夫”.“小立课程”,指的是交给学生的知识不宜过多,要尽可能地简明、扼要. 教学中,我们可以让学生自编题目,改变an+1=Aan+f(n)(A(A-1)/=0)中的f(n),让学生“大作功夫”,在实现多题归一的同时培养学生的发散性思维.

(二) 二阶线性递推数列an+2 = Aan+1 +Ban(AB /=0)的通项公式

例2(2021年八省联考数学第17 题)已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an

(1)略;(2)若a1= 12,求{an}的通项公式.

分析由an+2= 2an+1+3an, 构造an+2+λan+1=(2 +λ)(an+1+λan) (λ(λ+ 2)/= 0), 整理比较系数得λ2+2λ=3,则λ=1 或λ=-3.

解法1若λ= 1 时,则an+2+an+1= 3(an+1+an).此时{an+1+an}是以2 为首项, 3 为公比的等比数列, 则an+1+an=2×3n-1. 此时递推式为一阶线性递推式,用变式1 的方法解得an+1-1×3n-1). 又因则×3n-1.

解法2若λ=-3 时, 则an+2-3an+1=-(an+1-3an). 又因a2-3a1=0,得an+1-3an=0,即=3,则{an}是以为首项,3 为公比的等比数列. 故an=×3n-1.

点评该题递推关系式为二阶线性递推关系an+2=Aan+1+Ban(AB /= 0), 通过拆分中间项可看成是左右两边各是一阶线性递推关系式, 即an+2+λan+1=(A+λ)(an+1+λan) (λ(A+λ)/= 0). 整理比较系数得(A+λ)λ=B,解出λ,将二阶线性递推数列通项公式问题转化为一阶线性递推数列的通项公式问题. 这里需指出,如果求得λ有两个值,即存在两种组合,任选其中一种组合方式即可. 本文仅仅从二阶递推出发解决此题,其他解法本文均不赘述.

四、结束语

已知数列递推式求通项公式的方法多,需要教师在教学的过程中从不同的问题中渗透同一思想,帮助学生体会知识的生成过程,并通过反思与总结让学生的数学思想方法更加系统化,使学生的解题思路更加开阔,从浩瀚的题海中解脱出来,选择恰当的解题策略,有的放矢,进而收到良好的教学效果,提升学生的数学素养.

以上是笔者对线性递推数列求通项公式的一些粗浅认识和思考. 需要特别强调的是数列问题思想性、综合性强,限于篇幅,笔者在此仅抛砖引玉,不当之处,敬请各位读者批评指正.