一道合肥质检试题的推广

山东省泰安市宁阳县第一中学(271400) 刘才华

题目已知F是抛物线E:y2=2px(p ＞0)的焦点,直线ℓ:y=k(x-m)(m ＞0)与抛物线E交于A,B两点,与抛物线E的准线交于点N.

(1)若k=1 时,|AB|=求抛物线E的方程;

(2) 是否存在常数k, 对于任意的正数m, 都有|FA| · |FB|=|FN|2? 若存在, 求出k的值; 若不存在,说明理由.

这是合肥市2021 届高三第一次教学质量检测理科数学试题第20 题,对于试题的第(2)问,我们容易得到如下

命题1F是抛物线E:y2= 2px(p ＞0)的焦点, 直线ℓ:y=k(x-m)与抛物线E交于A,B两点,与抛物线E的准线交于点N,则对于任意的实数m ∈[0,+∞),都有|FA|·|FB|=|FN|2的充要条件是k2=1.

证明由题意得准线方程为x=则从而

设A(x1,y1),B(x2,y2), 由

得k2x2-2(mk2+p)x+k2m2= 0. 由题意得k /= 0. 由m ∈[0,+∞)得Δ=8mpk2+4p2＞0,且x1+x2=x1x2=m2. 由抛物线焦半径公式得|FA|=x1+则

于是|FA| · |FB|=|FN|2⇔⇔ k2= 1. 则对于任意的实数m ∈[0,+∞), 都有|FA| · |FB|=|FN|2的充要条件是k2=1.

进一步思考,对于椭圆,我们得到如下:

命题2F是椭圆E:=1(a ＞b ＞0)的焦点,直线ℓ:y=k(x-m)与椭圆E交于A,B两点,与椭圆E的对应准线交于点N,椭圆的离心率为e(e≥则对于任意的实数m ∈[-a,a],都有|FA|·|FB|=|FN|2的充要条件是k2=2e2-1.

证明(1) 若F为椭圆E的左焦点, 设椭圆E的半焦距为c, 则F(-c,0), 对应准线方程为x=从而|FN|2=

设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(a2k2+b2)x2-2ma2k2x+a2(m2k2-b2) = 0,则由m ∈[-a,a]得Δ=4a2b2[(a2-m2)k2+b2]＞0,且

由椭圆的焦半径公式得|FA|=a+ex1,|FB|=a+ex2,则

于是

则对于任意的实数m ∈[-a,a],都有|FA|·|FB|=|FN|2的充要条件是k2=2e2-1;

(2)若F为椭圆E的右焦点,同理可证,过程从略.

由(1)和(2)知命题2 成立.

对于双曲线,我们得到如下

命题3F是双曲线E:=1(a,b ＞0)的焦点,直线ℓ:y=k(x-m)与双曲线E交于A,B两点,与双曲线E相应的准线交于点N,双曲线的离心率为e,则对于任意的实数m ∈(-∞,-a]∪[a,+∞),都有|FA|·|FB|=|FN|2的充要条件是k2=2e2-1.

证明(1)若F为双曲线E的左焦点,设双曲线E的半焦距为c,则F(-c,0),对应准线方程为x=从而

设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(a2k2-b2)x2-2ma2k2x+a2(m2k2+b2) = 0,则由题意得a2k2-b2/= 0. 由m ∈(-∞,-a]∪[a,+∞)得Δ=4a2b2[(m2-a2)k2+b2]＞0,且

由双曲线的焦半径公式得|FA|=-a-ex1,|FB|=-a-ex2,则

于是

则对于任意的实数m ∈(-∞,-a]∪[a,+∞), 都有|FA|·|FB|=|FN|2的充要条件是k2=2e2-1;

(2)同理可证F为右焦点时结论成立. 综上命题成立.

注意到抛物线的离心率e= 1,所以命题1、命题2 和命题3 有统一形式的结论,是圆锥曲线中一个统一的性质.