寻根问道 追本溯“圆”——《圆》教材解读与教学建议

○李淑民 姜永春

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第四部分“实施建议”中指出，为帮助学生真正理解数学知识，教师应揭示知识的数学实质，注重知识的结构和体系，处理好局部与整体的关系，引导学生感受数学知识的整体性。

圆作为小学数学“图形与几何”中最后出现的一种平面图形和最基础的曲线图形，在整个小学阶段图形的测量体系建构中具有承上启下的作用。本单元的教学，旨在让学生对所学内容整体理解把握，并通过抓住并解决课堂教学中存在的突出问题，回归圆的数学本质，促进学生知识结构和学习方法的迁移，进而提升学生的核心素养。

一、教材解读

1.教材的纵向分析。

从小学低年级开始学生就已经对圆有了直观的认识，并系统学习了长方形、正方形、平行四边形等平面图形，以及它们的周长和面积的测量，进一步对圆的本质属性及度量本质进行深入的认识和理解。本单元的学习，又将为三维图形体积的度量提供研究思想方法的支撑。

2.教材的横向分析。

第一板块，认识度量对象圆，利用学生已有经验抽象出圆的图形，并结合画、折、比、思等活动，探索并掌握圆的基本特征，初步了解扇形。

第二板块，圆周长的测量与应用，通过操作实验，引导学生了解圆周率的意义，得出圆周长的计算公式，并能解决有关圆周长的简单实际问题。

第三板块，圆面积的测量与应用，引导学生通过图形的等积变换，探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题，进一步丰富对圆的基本特征的认识。

3.教材内容编排特点分析。

《圆》单元的学习，是从研究直线图形到研究曲线图形的过渡，对于学生而言是一种跨越和挑战。

（1）合理运用生活素材，凸显其教学价值。

圆在生活中有着广泛应用，所以研究圆的时候，教材十分注重将本单元知识与生活实际相结合，把这些生活素材作为引发学生探究、促进学生思考、加深学生感悟的有效载体。

（2）“做中学”，重视活动经验的积累。

教材在知识编排中，强调以实践活动让学生“做”起来，在“做”的过程中又引发学生的思考，进而主动探索，最终理解概念或得出结论。

（3）感悟数学思想，彰显数学学习的内在价值。

本单元教学中，转化思想、推理思想、极限思想等数学思想的运用与深化，让学生学会数学地思考问题、处理问题，初步体验曲线图形面积研究的特殊方法，体会数学学习的特有魅力和内在价值。

二、教学建议

1.对圆特征的“追本”。

圆是“到定点的距离等于定长的点的集合”，这是圆最本质的特征。考虑到小学生的认知水平，教材没有给出圆的几何学定义，只是在引导学生观察圆形物体的基础上，呈现圆的几何图形，但并不影响学生对圆的本质内涵有所感悟。

疑难问题：师生对圆的本质认识存在困惑。现在仍有许多教师在问“圆是否包括圆里面的部分”“扇形是圆的一部分吗”等问题。教师尚且如此，学生对圆的本质认识更模糊不清。出现此问题的原因是教材中不出现圆的几何学定义，生活中的语言“月亮是圆的”“桌面是圆的”与数学中的“圆”发生了冲突。

破解策略：层层深入学习，认识圆的本质内涵

（1）区分概念认识圆。

对于圆的认识，教师应帮助学生理解圆是一维的曲线，曲线的长度就是圆的周长，而圆的面积是指圆形所占的平面空间大小。另外，使用圆规画圆之后可顺势提出：两脚叉开的线段就是半径，固定针尖的地方就是圆心，把半径绕着圆心旋转一周所画出的图形我们叫做圆。这样就揭示了圆本质的动态形成过程，也明确了圆是一条曲线的特征。

（2）借助扇形认识圆。

扇形的认识是教材修订之后新增加的内容，一方面是为六年级认识和应用扇形统计图提供必要的支撑，另一方面也是为了让学生更好地理解圆的本质特征。

教学时要注意突出扇形与它所在圆的关系，如：介绍“弧”这个概念时，不仅要强调弧是圆上任意两点之间的曲线，而且要强调弧是圆周上的一部分，这样学生就能体会圆通常指的是一条封闭的曲线，而不是这条曲线所围成的平面部分；又如：在突出圆心角和半径决定扇形大小的特点时，帮助学生进一步加深对圆、圆心和半径等概念本质的理解。

（3）多样练习认识圆。

认识圆的练习不可或缺，教学中我们可通过不同形式的练习帮助学生不断深化对圆本质特征的理解。

如：让学生在只有直尺情况下画圆的练习，通过学生画出若干个长度相等的线段，然后连接线段的各顶点即画出圆，使学生直观体会圆就是到一个点的距离等于定长的点的集合，它是一维图形的本质特征。

又如，教师引入问题：“一头牛被拴在绳子长3米的柱子上，牛能吃到草的最远位置在哪？”让学生通过观察圆的动态形成过程，加强知识与生活的联系，体会圆的本质特征。

学生在多样的练习中不断获得新的感悟，既可使原有的认识更加全面、更加深刻，也能为后续学习提供更多有益的启示。

2.对圆周率内涵的追问。

圆的周长计算公式并不复杂，但是公式中的圆周率“π”是如何得到的，这是一个颇具挑战性和吸引力的问题。

疑难问题：学生圆周率实验得到的数据和预想有误差。在教学过程中，受实验工具、测量方法、操作技能等因素的影响，学生有时会得不到“圆的周长是直径的3倍多一些”的结论。如何让学生真切感受“圆的周长总是直径的π倍”这一结论的丰富内涵呢？

破解策略：读、做结合，培养科学态度

（1）丰富探究活动，客观感受范围。

在测量计算和比较不同圆形纸片周长与直径的比值之前，让学生先在给定的正方形内画一个最大的圆，再照样子在圆内画一个正六边形，并思考“正方形和正六边形的周长各是圆直径的几倍”，使学生初步认识到“圆的周长应该在此圆直径的3～4倍之间”。

这样，可以引导学生从不同的角度，初步感受圆周率是一个客观存在的固定的数，从而又让他们在提出猜想、验证猜想的过程中，真切感受到“圆的周长总是直径的π倍”这一结论的合理性，积累探索性活动经验，从而提升思维水平。

（2）数据分析处理，培养科学态度。

对圆周率的实验，除了在操作细节进行规范、使数值尽量精确外，更重要的是对收集到的数据进行科学的数据分析。

比如：可以让学生对一个圆的周长进行多次测量，然后取多次数据的平均值作为最后的测量结果；另外，有时为了使推断更加合理，需要收集更多的数据。可以在每小组获得的数据基础上，收集并整理全班同学的测量数据，通过对数据的整理、比较、分析、推断得到更为科学的结论，这不仅能让学生养成用数据说话的习惯，还能培养学生科学的学习态度。

（3）操作和阅读结合，体会人类文明。

圆周率的出现经历了一个漫长的不断精确的过程，从古至今很多的数学家都做出了杰出的贡献，他们当中既有中国的数学家刘徽、祖冲之，也有古希腊的数学家阿基米德、英国数学家奥特雷德等。

人教版教材中的“你知道吗”栏目，以及教师用书中的“备课资料”中都介绍了圆周率的研究历史。教师应引导学生操作与阅读相结合，真正了解圆周率的内涵、数值、取值习惯等，不仅能让他们受到爱国主义教育，也能使他们感受到数学家的探索精神和坚定意志，体会数学是人类文明的共同成果。

3.对圆度量本质的“溯源”。

关于度量，史宁中教授在《小学数学教学中的若干问题》一书中指出，要度量就必须确定度量单位，而度量就是计算所要度量的图形包含多少个度量单位。从一维图形长度单位的累加，到二维图形面积单位的密铺，再到三维图形体积单位的堆积，都指向度量的本质“度量单位个数累加的结果”。

疑难问题：对于曲线图形圆的测量，难点在于：人们无法通过与长度单位、面积单位的直接比较和测量，来精确计量出圆的周长和面积。教学过程中发现教师能让学生通过“化曲为直”转化成学过的图形，并寻找各元素之间的关系，推导出计算公式。但为什么要化曲为直？化曲为直与度量本质有何关系？通过对圆的测量教学能否打通小学图形测量内容的隔断墙？

破解策略：梳理测量过程，感悟度量本质

（1）借助已有的知识经验探究化曲为直的原因。

圆的周长是对一维长度的度量，圆的面积是对二维面积的测量，本来可用度量工具“直尺”和“小方格”先进行测量，进而感受周长是长度单位的累加，面积是面积单位的累加。

因为圆是曲线图形，不容易直接测量，教师在教学中可增加梳理原来学过图形的测量结果和方法的环节，测量结果的梳理可以让学生猜测圆的测量可能与什么元素（直径、半径）有关，测量方法的梳理可让学生确定研究的方向——化曲为直、转化成可测量的直直的线和长方形来探究（平行四边形、三角形、梯形的面积度量源头仍是长方形）。梳理的过程激活了学生已有的知识经验，使学生理解了“为什么要化曲为直”，它是对圆测量研究中必用的方法和策略。

（2）利用化曲为直的结果感悟度量的本质。

根据确定的研究方向，学生把圆化曲为直再对周长进行测量，给了圆周长一个合适的数值，测量过程中学生不仅感悟到转化思想和推理思想的运用，还体会到圆的周长同样是“长度单位个数的累加”的度量本质；对于圆的面积，学生在观察飞镖板的过程中，悟到化曲为直的方法，动手操作把圆从内部打开，平均分成多个近似的小三角形，再拼成一个近似的长方形，体会转化思想。但此时绕不开的是π的无理数情形，对于此问题，张奠宙教授在《小学数学教材中的大道理》一书中提出：当长方形的长和宽涉及无限时需要用极限方法来解决。

教学过程中教师可再启发学生想象：如果把圆平均分成更多的份数，拼成的图形会有什么变化？同时结合呈现更多份数的拼图，以及虚线、长方形等帮助学生合乎情理地联想到：平均分的份数越多，拼成的图形就会越来越接近长方形，感悟了极限思想的运用，由此圆形的面积用归结为长方形的面积“πr×r”得以解决，同时体会到圆的面积同样是“面积单位个数累加的结果”的度量本质。

（3）通过梳理测量过程打通度量内容的“隔断墙”。

通过对所有学过图形的周长和面积测量过程的进一步梳理，让学生在“想一想”“说一说”中体会：对于图形周长的测量，是用长度单位的累加给直直的线一个数值的过程，如果是曲线，那就化曲为直再进行长度单位的累加；对于图形面积的度量，最基础的图形长方形是用面积单位“小正方形”直接累加得到“长×宽”求出面积，平行四边形的面积无法直接测量，是通过剪拼、拼摆等方式，归结为长方形的面积“底×高”得到的（三角形、梯形也由此解决），圆的面积是把曲线图形化曲为直后归结于长方形的面积“πr×r”得到的。无论是长×宽、底×高、底×高÷2、（上底+下底）×高÷2，还是πr×r，它们本质都指向：一行多少个面积单位×一共多少行=面积，即面积单位个数累加的数值就是二维图形面积的大小。

整个梳理的过程，把周长和面积测量的基本思想和方法贯通起来，使学生体会到不管测量什么图形的周长和面积，其本质皆为“度量单位个数的累加的结果”，度量单位是一切图形测量的本源，而这种思想和方法将为今后学习三维图形体积的测量奠定研究的基础。

资料存盘

1.《圆》课标解读。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的第二学段中提出：探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征；掌握测量、识图和画图的基本方法。

2.圆和圆盘。

众所周知，我国小学数学基本上是从西方移植而来的。英文中circle，我们直译为圆，其含义是一维的曲线。但是，英文中还有一个词disk，专指二维的圆形的图形，《英汉大辞典》解释为“圆盘、圆板、圆片、圆平面”。因此，在英文里圆和圆盘是两个不同的词。但是，在汉语里两者混同起来了。

3.面积的定义。

几何学的基本度量之一，是用以度量平面或曲面上一块区域大小的正数。通常以边长为单位长的正方形的面积为度量单位。